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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Singulärwertzerlegung
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Singulärwertzerlegung: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:00 So 09.01.2011
Autor: Sabine...

Aufgabe
Zu einer regulären Matrix A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] gibt es orthogonale Matrizen U, V [mm] \in [/mm] O(n) sowie eine Diagonalmatrix D mit A = [mm] UDV^{T} [/mm] , D = [mm] diag(\sigma_{1}, [/mm] ... , [mm] \sigma_{n}) [/mm]  und  [mm] \sigma_{1} \ge \sigma_{2} \ge [/mm] . . . [mm] \ge \sigma_{n} [/mm] > 0 (Singulärwertzerlung).

a) ||A||, [mm] ||A^{-1}|| [/mm] und cond(A) sind mit Hilfe der [mm] \sigma_{i} [/mm] darzustellen. (Normen = Euklidische Vektornorm und entsprechende Matrixnorm)
b)  Konstruieren Sie Vektoren x, [mm] \Delta{x}, [/mm] b, [mm] \Delta{b} [/mm] mittels Singulärwertzerlung, sodass die linearen Gleichungssysteme Ax  =  b   und A(x + [mm] \Delta{x}) [/mm] = (b + [mm] \Delta{b}) [/mm] erfüllt sind und
||b|| = ||A||*||x||, [mm] \bruch{||\Delta{x}||}{||x||} [/mm] = [mm] cond(A)\bruch{||\Delta{b}||}{||b||} [/mm] gilt.



Hallo,

Aufgabenteil a) konnte ich nun auch ohne eure Hilfe lösen:

||A|| = [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] ||A^{-1}|| [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sigma_n} [/mm] sowie [mm] cond(A)=\bruch{\sigma_1}{\sigma_n} [/mm]

Ich brauche aber noch dringend bei b) eine Idee!

Ich danke euch sehr!

Gruß
Sabine

        
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Singulärwertzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:26 Mo 10.01.2011
Autor: Sabine...

Weiß denn niemand Rat? ;-(

Bezug
                
Bezug
Singulärwertzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Mi 12.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Singulärwertzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 11.01.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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