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Forum "Integrieren und Differenzieren" - AWP mit Variation der Variable
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AWP mit Variation der Variable: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:24 Di 21.11.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Bestimmen Sie gemäß der Methode Variation der Konstanten die allgemeine Lösung zu

[mm] y^{\prime}(x)=-\frac{y(x)}{x}+1 [/mm]

und ermitteln Sie eine spezielle Lösung für den Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2}. [/mm]


Mir ist dazu folgende Definition gegeben:
Es seien g, h: J [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig sowie [mm] (\xi, \eta) \in [/mm] J [mm] \times \mathbb{R} [/mm] und J [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] ein Intervall. Dann ist

[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} h(t) \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t} g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} t\right) [/mm]

eindeutige Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung [mm] y^{\prime}=g(x) [/mm] y+h(x) mit Anfangswerten [mm] y(\xi)=\eta. [/mm] Diese existiert in ganz J.

Nun hätte ich die Aufgabe folgendermaßen versucht zu lösen:
Gegeben ist die Differentialgleichung in der Form [mm] y^{\prime}(x)=g(x) [/mm] y+h(x), wobei [mm] g(x)=-\frac{1}{x} [/mm] und [mm] \( [/mm] h(x)=1.

Die allgemeine Lösung gemäß der Methode der Variation der Konstanten ist:

[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x} g(t) d t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} h(t) \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t} g(s) d s\right) d t\right) [/mm]

Nun setzte ich g(x) und h(x) ein:

[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) d t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} 1 \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t}-\frac{1}{s} d s\right) d t\right) [/mm]

Für das Integral [mm] \int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) [/mm] d t erhalten ich dann:

[mm] -\int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) [/mm] d [mm] t=-\ln |x|+\ln |\xi| [/mm]

Diese Ausdrücke in die allgemeine Lösung einsetzten:

[mm] y(x)=\exp (\ln |x|-\ln |\xi|)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} \exp (-\ln |t|+\ln |\xi|) d t\right) [/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} \frac{\xi}{t} d t\right) [/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot(\eta+\xi \cdot(\ln |x|-\ln |\xi|)) [/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\eta+\xi \cdot \ln \left|\frac{x}{\xi}\right|\right) [/mm]

Nun kann ich doch den Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2} [/mm] verwenden, um die Konstanten [mm] \eta \) [/mm] und [mm] \xi [/mm] zu bestimmen:

y(2)=|2| [mm] \cdot\left(\eta+\xi \cdot \ln \left|\frac{2}{\bar{\xi}}\right|\right)=\frac{3}{2} [/mm]

Setzen [mm] \xi=2 [/mm] ein:
2 [mm] \cdot\left(\eta+2 \cdot \ln \left|\frac{2}{2}\right|\right)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot(\eta+2 \cdot \ln 1)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot(\eta+2 \cdot 0)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot \eta=\frac{3}{2} [/mm]
[mm] \eta=\frac{3}{4} [/mm]
Also erhalte ich [mm] \eta=\frac{3}{4}. [/mm] Nun [mm] \eta=\frac{3}{4} [/mm] in die allgemeine Lösung einsetzten:

y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\frac{3}{4}+2 \cdot \ln \left|\frac{x}{2}\right|\right) [/mm]

Damit lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung [mm] y^{\prime}(x)=-\frac{y(x)}{x}+1 [/mm] mit dem Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2}: [/mm]

y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\frac{3}{4}+2 \cdot \ln \left|\frac{x}{2}\right|\right) [/mm]

Habe ich das so richtig gelöst?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!


        
Bezug
AWP mit Variation der Variable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Di 21.11.2023
Autor: fred97

Hallo Euler,

1. Die Lösung des Amfangswertproblems existiert auf einem (offenen) Intervall J, welches den Punkt 2 enthält,  somit ist $J=(0, [mm] \infty)$. [/mm] Du kannst dir also die Beträge sparen.

2. Ob die von Dir gefundene Funktion die DGL löst,  kannst Du doch durch Differenzieren leicht selbst überprüfen.

Gruß
Fred



Bezug
                
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AWP mit Variation der Variable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 21.11.2023
Autor: Euler123

Hallo Fred,
Danke für deine Antwort und deinen ersten Hinweis. Zweitens ist mir schon klar und das passt auch - vielmehr wollte ich eigentlich wissen, ob ich das Prinzip der Variation der Konstanten so korrekt angewendet habe - aber dass scheint nun ja so zu passen??
LG Euler

Bezug
                        
Bezug
AWP mit Variation der Variable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 03.12.2023
Autor: Martinius

Hallo Euler123,

mit dem Hinweis von Fred, die Beträge wegzulassen, lautet Deine Lösung:

[mm] $y=x*\left(\frac{3}{4}+2*ln \left( \frac{x}{2} \right) \right)$ [/mm] zu Deiner DGL:  [mm] $y'=-\frac{y}{x}+1$ [/mm]

Die linke Seite ist:  [mm] $y'=2*ln\left( \frac{x}{2} \right)+\frac{11}{4}$ [/mm]  und die rechte Seite ist:  [mm] $-\frac{y}{x}+1=-2*ln \left( \frac{x}{2} \right) +\frac{1}{4}$ [/mm]

Damit wäre Deine Lösung nicht richtig - so ich mich nicht verrechnet habe.

Wenn ich, als Nicht-Mathematiker, die DGL "zu Fuß" löse, o erhalte ich:

[mm] $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$ [/mm]


LG, Martinius

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AWP mit Variation der Variable: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Do 23.11.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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