Begriff: "geschlossene Form" < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:48 Sa 29.12.2012 | | Autor: | pavelle |
Hallo zusammen,
kann mir jemand sagen was genau der Ausdruck "geschlossene Form" bedeutet und wo die Unterschiede zwischen einer nicht geschlossenen Form liegen? Kann es sein, dass der Begriff in Beziehung mit expliziter, impliziter Darstellung eines Differentials/Integrals steht?
Die Frage bezieht sich auf eine Aufgabe in der die Clausius-Clapeyronsche-Gleichung (Thermodynamik) so weit vereinfacht werden soll, um sie geschlossen integrieren zu können.
Die Clausius-Clapeyronsch Gleichung lautet [mm] dp/dT=h_v/(T_s*(v''-v'))
[/mm]
p: Druck
[mm] T_s: [/mm] Siedetemperatur
[mm] h_v: [/mm] Verdampfungsenthalpie
v': spezifisches Volumen der siedenden Flüssigkeit
V'': spezifisches Volumen des gesättigten Dampfes
Ich verstehe nicht warum die genannte Gleichung nicht in geschlossener Form sein sollte. Der rechte Ausdruck besteht nur aus unabhängigen Konstanten.
Vielen Dank
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Hallo,
vermutlich ist folgender Sachverhalt gemeint: nicht für jede riemann-integrierbare Funktion kann man das unbestimmte Integral durch einen Funktionsterm angeben (Musterbeispiel: [mm] exp(-x^2)). [/mm] Das bedeutet ja aber nicht, dass es keine Stammfunktion gibt, denn es gibt ja das bestimmte Integral, da wir vonb riemann-integrierbaren Funktionen sprechen. In einem solchen Fall lässt sich die Stammfunktion immer noch mittels einer unendlichen Reihe angeben, die aber - wie der Name schon sagt - eben nicht in geschlossener Form darstellbar ist.
Differentialgleichungen löst man durch Integration, und um eine solche handelt es sich wohl, wenn ich auch um ehrlich zu sein an dieser Stelle von den Schreibweisen nichts verstehe.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 29.12.2012 | | Autor: | pavelle |
Erstmal Danke für die Antwort.
Ich glaube ich sollte erstmal einen Schritt zurückrudern und verstehen was mit geschlossener Form eines Integrals gemeint ist.
Trotz ausgiebiger Internet- und Literaturrecherche bin ich auf keine Erläuterung des Begriffs gekommen.
Könnte man dazu Beispiele nennen, zb in Bezug auf die Grundintegrale?
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Hallo,
es ist bspw.
[mm]\integral{x*e^{x^2} dx}=\bruch{1}{2}*e^{x^2}+c[/mm]
geschlossen darstellbar, während dies für
[mm]\integral{e^{x^2} dx}[/mm]
nicht möglich ist, obwohl der Integrand eine integrierbare Funktion ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 29.12.2012 | | Autor: | pavelle |
Hi,
ok, das heißt letztendlich, dass eine geschlossene Form eine eindeutige Lösung verfügt, dagegen eine nicht geschlossene Form nur durch zb numerische Ansätze approximiert lösbar ist. oder?
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> Hi,
> ok, das heißt letztendlich, dass eine geschlossene Form
> eine eindeutige Lösung verfügt, dagegen eine nicht
> geschlossene Form nur durch zb numerische Ansätze
> approximiert lösbar ist. oder?
Hallo pavelle,
nein, ich denke nicht, dass es um die Frage der Eindeutigkeit
geht.
Bei deinem Beispiel sehe ich aber auch nicht, was der
Autor mit "nicht geschlossener Form" gemeint haben
könnte. Stehen auf der rechten Seite der Gleichung
vielleicht Ausdrücke, welche auch noch von p abhängig
sind ?
Leider kann ich das selber auch nicht beurteilen, weil ich
den Zusammenhang nicht kenne.
LG, Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> ok, das heißt letztendlich, dass eine geschlossene Form
> eine eindeutige Lösung verfügt, dagegen eine nicht
> geschlossene Form nur durch zb numerische Ansätze
> approximiert lösbar ist. oder?
nein, das mit Sicherheit nicht - denn Stammfunktionen sind stets immer nur
bis auf eine Konstante (=konstante Funktion) eindeutig. Deswegen sollte
man auch lieber von EINER Stammfunktion sprechen, oder man spricht von
einem Repräsentanten der Klasse der Stammfunktionen oder oder oder...
Ist halt auch alles ein wenig Definitionssache!
Ich habe hier:
![[]](/images/popup.gif) Link, S.100 (intern gezählt) (klick!)
mal gefunden, was jemand 'geschlossen darstellbar' nennt.
Zudem: Was genau meinst Du damit, wenn Du sagst, dass man
Stammfunktionen 'dann nur numerisch approximieren können soll'? Bei
[mm] $$\int e^{x^2}dx$$
[/mm]
würde ich die Potenzreihendarstellung der [mm] $e\,$-Funktion [/mm] benutzen:
[mm] $$\int \Big(\sum_{k=0}^\infty \frac{(x^2)^k}{k!}\Big)dx=\sum_{k=0}^\infty \int x^{2k}/k!\;dx=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)*k!}\,,$$
[/mm]
und schon hab' ich auch eine Stammfunktion von [mm] $e^{x^2}$ [/mm] da stehen.
(Natürlich muss ich eigentlich begründen, warum ich das so machen darf... )
Leider ist sie 'nicht 'elementar' darstellbar' (jetzt muss man ein wenig
danach suchen, was in obigem Link der Autor unter elementaren
Funktionen versteht; dazu braucht man wohl einen anderen Auszug aus
dem Skript; ich finde das alles ein wenig 'willkürlich', denn schon alle
trigonometrischen Funktionen sind meiner Meinung nach nun auch nicht so
elementar, und warum sollte man nicht $x [mm] \mapsto e^{x^2}$ [/mm] irgendeinen
Namen geben und sie dann elementar nennen? Ich denke aber mal, dass
vielleicht jemand diese Dinge auch mal ganz sauber und weniger vage,
eventuell mit Potenzreihendarstellungen oder sowas, definiert hat - aber
das weiß ich nicht!!).
Gruß,
Marcel
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> Hallo zusammen,
> kann mir jemand sagen was genau der Ausdruck "geschlossene
> Form" bedeutet und wo die Unterschiede zwischen einer nicht
> geschlossenen Form liegen? Kann es sein, dass der Begriff
> in Beziehung mit expliziter, impliziter Darstellung eines
> Differentials/Integrals steht?
>
> Die Frage bezieht sich auf eine Aufgabe in der die
> Clausius-Clapeyronsche-Gleichung (Thermodynamik) so weit
> vereinfacht werden soll, um sie geschlossen integrieren zu
> können.
>
> Die Clausius-Clapeyronsch Gleichung lautet
> [mm]dp/dT=h_v/(T_s*(v''-v'))[/mm]
>
> p: Druck
> [mm]T_s:[/mm] Siedetemperatur
> [mm]h_v:[/mm] Verdampfungsenthalpie
> v': spezifisches Volumen der siedenden Flüssigkeit
> V'': spezifisches Volumen des gesättigten Dampfes
>
> Ich verstehe nicht warum die genannte Gleichung nicht in
> geschlossener Form sein sollte. Der rechte Ausdruck besteht
> nur aus unabhängigen Konstanten.
>
> Vielen Dank
Guten Tag pavelle,
falls es wirklich stimmen sollte, dass der Ausdruck auf der
rechten Seite nur aus Konstanten aufgebaut ist, dann hätte
dieser gesamte Ausdruck ebenfalls einen konstanten Wert K.
Als Differentialgleichung hätten wir dann
[mm]dp/dT\ =\ K[/mm]
mit der - sehr wohl geschlossenen - Lösung(s-Schar)
$p(T)\ =\ [mm] K*T\,+\,C\qquad (\,C\in\IR\,)$
[/mm]
Ganz sooo simpel ist aber wohl die Chose nicht ... 
LG
Al-Chwarizmi
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