www.vorwissen.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Das gesammelte Wissen der Vorhilfe
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Spektraler Radius Ungleichung
Spektraler Radius Ungleichung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Spektraler Radius Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 So 29.01.2023
Autor: Jellal

Hi zusammen,

kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr ist?

Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller Spaltenvektor passender Laenge.

Gilt dann [mm] ||Ax||_{2}^{2} [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2} [/mm] mit [mm] \rho(B) [/mm] als spektralem Radius von Matrix B?

VG.
Jellal

        
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 29.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja das gilt, nur fehlt bei dir halt die Begründung…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Di 31.01.2023
Autor: Jellal

Begruendung, hmm ^_^"

Bezug
        
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Mo 30.01.2023
Autor: fred97


> Hi zusammen,
>  
> kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr
> ist?
>  
> Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller
> Spaltenvektor passender Laenge.
>  
> Gilt dann [mm]||Ax||_{2}^{2}[/mm] = [mm]x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
> mit [mm]\rho(B)[/mm] als spektralem Radius von Matrix B?
>  
> VG.
>  Jellal

Die Spektralnorm einer quadratischen Matrix $B$ ist def. durch

   [mm] $||B||_2= \max \{ ||Bx||_2: ||x||_2=1\}.$ [/mm]

Ist $B$ symmetrisch , so ist [mm] $||B||_2= \rho(B).$ [/mm]

Ist $A$ wie in Deiner Frage, so ist $B: =A^TA$ symmetrisch.

Kommst Du damit weiter ?


Bezug
                
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Di 31.01.2023
Autor: Jellal

Hallo Fred,

danke fuer die Antwort!

Noch nicht ganz.
Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
[mm] \rho(A^TA) [/mm] = [mm] ||A^TA||_2 \ge [/mm] || [mm] A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2}, [/mm] also

[mm] ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2 [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2} [/mm]

Aber mit welcher Magie wird [mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax [/mm] ?


VG und sorry fuer die spaete Reaktion!

edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm] u^T [/mm] v [mm] \le ||u||_2 ||v||_{2}, [/mm]
also gilt fuer mich [mm] x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}. [/mm]

Korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 01.02.2023
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke fuer die Antwort!
>  
> Noch nicht ganz.
>  Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
>  [mm]\rho(A^TA)[/mm] = [mm]||A^TA||_2 \ge[/mm] || [mm]A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2},[/mm]
> also
>  
> [mm]||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
>  
> Aber mit welcher Magie wird [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2[/mm] =
> [mm]x^{T}A^{T}Ax[/mm] ?
>  
>
> VG und sorry fuer die spaete Reaktion!
>  
> edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
>  Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm]u^T[/mm] v [mm]\le ||u||_2 ||v||_{2},[/mm]
>  
> also gilt fuer mich [mm]x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}.[/mm]
>  
> Korrekt?  

Korrekt


Bezug
                                
Bezug
Spektraler Radius Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:00 Mi 01.02.2023
Autor: Jellal

Vielen Dank!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorwissen.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]