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Pythagoras
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Pythagoras

Satz des Pythagoras

Voraussetzungen und Behauptung

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.


Bemerkungen.

(1) Sind $ a $, $ b $ und $ c $ die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks und liegt der rechte Winkel der Seite $ c $ gegenüber, so gilt:

$ a^2 + b^2 = c^2 $

(2) Auch im Dreidimensionalen gilt die Erweiterung dieses Satzes durch doppelte Anwendung:
Die Raumdiagonale in einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c hat die Länge:

$ d = \wurzel{a^2+b^2+c^2} $



Beweis nach Garfield


{picture file=img/wiki_up//Satz des Pythagoras.jpg}


In das Quadrat 1 mit der Seitenlänge $ a+b $ ist ein Quadrat 2 mit der Seitenlänge $ c $ eingefügt worden.

Jede Ecke des 2. Quadrats berührt je eine Seite des 1. Quadrats.

Das bedeutet, dass im 1. Quadrat das 2. Quadrat ist und noch 4 identlische rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlänge  a, b und c.

Wir wissen demnach, dass die Fläche des 1. Quadrats gleich dem Quadrat seiner Seitenlänge ist, also $ A1=(a+b)^2 $.

Die Summe der Flächen der 4 Dreiecke und der Fläche des 2. Quadrats entspricht der Fläche des 1. Quadrats $ A1 $.

Die Summe dieser Flächen ergibt die folgende Fläche: $ A2=4\cdot{}0,5ab+c^2=2ab+c^2 $

Nun werden die beiden Flächenformeln gleichgesetzt, da $ A1=A2 $ gilt.

Also:
$ (a+b)^2=2ab+c^2 $

$ a^2+2ab+b^2=2ab+c^2 $ nun wird auf beiden Seiten $ 2ab $ abgezogen

$ \Rightarrow  a^2+b^2=c^2 $

q.e.d (:biggrin:)




siehe auch: [link]Wikipedia

Erstellt: So 10.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mo 04.09.2006 um 21:38 von informix
Weitere Autoren: Fugre
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