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Quadratwurzel einer reellen Zahl

Definition Quadratwurzel einer reellen Zahl

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl $ x $ (im Zeichen $ \wurzel{x} $) ist definiert als diejenige nichtnegative reelle Zahl $ w $ (also $ w=\wurzel{x} $), so dass $ w^2=x $ gilt.

In mathematischen Symbolen:
Für jedes $ x \in \IR $, $ x \ge 0 $ ist $ \wurzel{x} \in \IR $ jene Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:
1.) $ \wurzel{x} \ge 0 $
2.) $ (\wurzel{x}\, )^2=x $.

Die Zahl (oder den Term) unter dem Wurzelzeichen nennt man Radikand.


Beispiele.

1.) Es gilt $ \wurzel{9}=3 $, nicht aber $ \wurzel{9}=-3 $.
Mit anderen Worten:
$ -3\not=\wurzel{9}=3 $.

2.) Es gilt $ \wurzel{10000}=100 $.

3.) $ \wurzel{16}=4 $.


Bemerkungen.

Quadratwurzel ohne TR: Quadratwurzelbestimmung

1.) In einem Quadrat der Seitenlänge 1 cm hat die Diagonale die Länge $ \wurzel{2} $ cm (nach Pythagoras).

2.) Wir führen den Beweis, dass $ \wurzel{2} $ keine rationale Zahl ist.
Beweis:
Angenommen, $ \wurzel{2} \in \IQ $. Dann existieren $ p \in \IZ $, $ q \in \IZ \setminus\{0\} $, so dass gilt:
$ (\star) $ $ \wurzel{2}=\frac{p}{q} $.
O.B.d.A. können wir den Bruch $ \frac{p}{q} $ als vollständig gekürzt annehmen.
Aus der Gleichung $ (\star) $ folgt:
$ (\star \star) $ $ p^2=2q^2 $.
Die letzte Gleichung impliziert, dass $ p^2 $ und damit auch $ p $ gerade sein muss (beachte dabei: $ q^2 \in \IZ $).
(Denn: Ist $ p $ ungerade, also $ p=2\cdot{}k+1 $ (mit einem festen $ k \in \IZ $), so gilt:
$ p^2=4k^2+4k+1=2\cdot{}(2k^2+2k)+1 $ und wegen $ r:=(2k^2+2k) \in \IZ $ ist $ 2r $ gerade, also $ p^2=2r+1 $ ungerade! Folglich kann, wenn $ p^2 $ gerade ist, auch $ p $ nur gerade sein!)
Weil wir nun (o.B.d.A.) den Bruch $ \frac{p}{q} $ als vollständig gekürzt angenommen haben, folgt deswegen, dass $ q $ ungerade sein muss. (Denn wären $ p $ und $ q $ beide gerade, so hätten sie ja den gemeinsamen Teiler $ 2 $, und damit wäre der Bruch $ \frac{p}{q} $ nicht vollständig gekürzt.)

Falls also $ \wurzel{2}=\frac{p}{q} $ (mit $ p \in \IZ $ und $ q \in \IZ \setminus\{0\} $) gilt, so müssen demnach $ p $ gerade und $ q $ ungerade sein. Es existieren also $ k_1,k_2 \in \IZ $, so dass:
(I) $ p=2\cdot{}k_1 $ und
(II) $ q=2\cdot{}k_2+1 $ gelten.
Setzen wir (I) und (II) in $ (\star \star) $ ein, so folgt:
$ (2\cdot{}k_1\,)^2=2\cdot{}(2\cdot{}k_2+1\,)^2 $
$ \gdw $
$ 4k_1^2=2\cdot{}(4k_2^2+4k_2+1) $
$ \gdw $
$ 2k_1^2=4k_2^2+4k_2+1 $
$ \gdw $
$ (\star \star \star) $$ 2k_1^2=2\cdot{}(2k_2^2+2k_2)+1 $

Nun ist aber $ a:=k_1^2\in \IZ $ und deswegen ist $ 2a $ eine gerade Zahl. Andererseits ist $ b:=2k_2^2+2k_2 \in \IZ $ und deswegen ist $ 2b+1 $ eine ungerade Zahl. Mit diesen Definition von $ a $ bzw. $ b $ gilt aber:
$ (\star \star \star) $$ 2k_1^2=2\cdot{}(2k_2^2+2k_2)+1 $
$ \gdw $
$ 2a=2b+1 $.

Die letzte Gleichung würde aber bedeuten, dass eine gerade Zahl mit einer ungeraden Zahl übereinstimmen würde. Das ist offenbar ein Widerspruch und der Beweis, dass $ \wurzel{2} \notin \IQ $ gilt, ist hier zu Ende.    $ \Box $

3.) Man beachte, dass i.A. die Gleichungen
(1.) $ x^2=r $ und
(2.) __$ x=\wurzel{r} $ (für ein festes $ r \in \IR $, $ r > 0 $) nicht äquivalent sind. Für z.B. $ x \in \IR $ gilt stets, dass aus __(2.) die Gleichung (1.) folgt. Jedoch folgt aus der Gleichung (1.) nicht stets die Gleichung (2.), denn die Gleichung (1.) besitzt auch die Lösung $ -\wurzel{r} $, welche in (2.) nicht enthalten ist.

Es gelten aber, für (z.B.) $ x \in \IR $, folgende äquivalente Umformungen der Gleichung (1.):
$ x^2=r $ $ \gdw $ $ |x|=\wurzel{r} $ $ \gdw $ $ x=\pm\wurzel{r} $
($ \gdw $ $ x=\wurzel{r} $ $ \vee $ $ x=-\wurzel{r} $).

Erstellt: Mo 11.10.2004 von Marcel
Letzte Änderung: Fr 04.02.2005 um 13:24 von informix
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