1./2. ableitung von term < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Kleinunternehmen soll im Jahr 0 eine Inbestitionsausgabe in Höhe von 50 000 Euro durchgeführt werden.
Der Gegenwatrswert C der Investition ist in Abhängigkeit vom Zinssatz i gegeben durch
C(i)= -50000 + [mm] \bruch{125000}{1+i } [/mm] + [mm] \bruch{100000}{(1+i)^{2}}- \bruch{194700}{(1+i)^{3}}
[/mm]
Frage a): für welchen Zinssatz ist der Kaptalwert 0 ?
b)Für welchen Zinssatz i wird der Kapitalwert maximal? |
Frage a habe ich rausbekommen, aber ist davon nicht abhängig.
Probleme habé ich bei b) mit der 1. Ableitung, weil man ja die Extremwerte ausrechnen muss, also die 1. Ableitung =0 setzten muss.
Der lange Term C(i) muss ja durch teilweise abgeleitet werden, oder? Und dann teilweise mit Quotientenregel bzw. Kettenregel, ich habe zwar das Endergebnis zu dem TErm, aber ich versuche jetzt schon seit einer Stunde vergeblich darauf zu kommen , er lautet [mm] \bruch{-100 (1250 (i)^2 + 4500(i) -2591)}{(1+i)^{4}} [/mm] , den Nenner bekomme ich so auch raus, aber oben kommt jedesmal was anderes raus! Bitte helft mir... schreib am Montag eine Klausur...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Hallöchen!
Hast ja ´ne tolle Aufgabe zu lösen  :
Also :
1.Schritt: die letzten drei Therme zu einem Bruch erweitern (2. Therm mit [mm] (1+i)^2 [/mm] erweitern, 3. Therm mit (1+i) erweitern.) Der erste und letzte Therm bleiben unverändert, weil der erte them beim Ableiten eh weg fällt und der letzte Therm bereits den benötigten Hauptnenner besitzt.
2. Schritt: jetzt kannst du den Bruch weiter zusammenfassen, wenn du da Probleme hast, dann schreib das bitte, ansonsten will ich mir die Schreibarbeit sparen  . Den ersten Therm lässt du dabei unverändert und schreibst ihn einfach nach jeder Umformung mit.
Du hast nun den Ausdruck: [mm] \bruch{100·(1250·i^2 + 3500·i + 303}{(1+i)^3} [/mm]
Beacht hier, dass du erst [mm] (1+i)^2 [/mm] nach der 1. Binomischen Formel ausrechnest, dann alle [mm] i^2 [/mm] Therme, alle i Therme und dann noch die Therme ohne i zusammenfasst. Dann kannst du noch überall einen faktor 100 rausziehen.
3. Schritt: Jetzt kommt das entscheidende,
Die Ableitung des Zählers lautet: 100(2500i+3500)
Die Ableitung des Nenners lautet: [mm] 3(1+i)^2
[/mm]
Mit der Quotientenregel folgt nun: C´(i)= [mm] \bruch{((100(2500i+3500))*(1+i)^3)-(100·(1250·i^2 + 3500·i + 303)(3(1+i)^2)}{(1+i)^6}
[/mm]
im Zähler kannst du jetzt [mm] 100*(1+i)^2 [/mm] heraus ziehen und die [mm] (1+i)^2 [/mm] kürzen, so dass du den gewünschten Nenner erhälst.
Wir betrachten also im Folgenden nur noch den Zähler:
bis jetzt lautet er: [mm] 100((2500i+3500)(1+i)-3*(1250i^2+3500i+303)
[/mm]
Kann es sein, dass du hier immer den Faktor 3 im hinteren therm vergessen hast?
die 100 bleiben vorne stehen,
(2500i+3500)*(1+i)= [mm] 2500i^2+6000i+3500
[/mm]
und [mm] -3*(1250i^2+3500i+303)=-37500i^2-10500i-909
[/mm]
macht zusammen also [mm] 100(2500i^2+6000i+3500-37500i^2-10500i-909)=-100(1250·i^2 [/mm] + 4500·i - 2591), also den gewünschten Zähler
p.s. ich habe gesehen, dass irgendwann mal in einer Gleichung [mm] \Delta [/mm] steht. Das hat keine Bedeutung. Ich habe die einzelnen Therme mit Derive geschrieben, weil ich das scneller kann und dann jeweils kopiert und eingefügt. Dabei sind dann wohl die Deltas entstanden.
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hallo
danek für die schnelle Antwort,
nur leider verstehe ich nicht ganz deine Zusammenfassung unter Schritt 1/2
und zwar habe ich bei der Ableitung genau wie du die -50000 weggelassen, weil die ja eh wegfällt.
dann habe ich einfach jeden Bruch für sich abgeleitet, und dann erst danach sie alle auf einen Hauptnenner gebracht, sodass dann bei mir rauskommt
[mm] \bruch{-12500 (1+i)^{2} - 20000 (1+i) +584100}{(1+i)^{4}}
[/mm]
ich jetzt nach ewig langem rechnen nicht auf dein zwischenergebnis, wie hast du das gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo smile-kazu!
Auch ich bin den Weg gegangen, die drei Brüche separat abzuleiten.
Allerdings unterschlägst Du hier einige Nullen im Zähler:
[mm]C'(i) \ = \ \bruch{-12500\red{0}*(1+i)^{2} - 20000\red{0}*(1+i) +584100}{(1+i)^{4}} \ = \ -100*\bruch{1250*(1+i)^{2}+2000*(1+i) -5841}{(1+i)^{4}}[/mm]
Kommst Du damit nun auf das vorgegebene Ergebnis, indem Du die einzelnen Klammern im Zähler ausmultiplizierst und zusammenfasst?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Sa 20.05.2006 | | Autor: | smile-kazu |
Hallo, sie haben Recht, das war durchaus ein Fehler, aber ich habe jetzt auch noch den Hauptfehler, der mir immer wieder wiederfahren ist, gefunden, beim Ausklammern von -100 habe ich die Rechen/Vorzeichenregel in der Klammer nicht beachtet, daher Sachen die eigentlich subtrahiert werden sollten addiert und andersrum.
Vielen Dank für die schnelle und gute Hilfe!!!!
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