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hallo!
hab mal wieder 2 fragen.
1)
ich hab hier nen satz über minoren:
Sei A [mm] \in [/mm] M(m x n, K) und r [mm] \in \IN, [/mm] dann ist äquivalent:
i) rangA=r
ii) es gibt einen r-reihigen Minor [mm] \not= [/mm] 0 und für k > r ist jeder k-reihige Minor = 0.
der autor hat [mm] \IN [/mm] mit 0 definiert. seh ich das richtig, dass dann dieser satz falsch ist, denn für r=0 gibt es laut satz die determinante einer 0-reihigen matrix, was wohl nicht sein kann.
sehe ich es ferner richtig, den satz ohne weitere einschränkung durch folgende bedingung zu berichtigen?
A [mm] \in [/mm] M(m x n, K) [mm] \setminus [/mm] {0} oder r [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}
das 'oder' wegen: rangA=0 <=> A=0
(wobei man natürlich trotzdem beide bedingungen stellen könnte, aber eines reicht)
richtig?
2)
nur ne frage nebenbei:
wie ist eine primzahl genau (gängig) definiert?
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 03.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
für primzahlen gibt es viele (äquivalente) definitionen. zwei sind ![[]](/images/popup.gif) hier bei wikipedia gegeben.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, das siehst du völlig richtig. 
Ich würde es dann so formulieren:
Für $A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n,K)$ gilt genau dann $A=0$, wenn $Rang(A)=0$ gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle $k$-reihigen Minoren mit [mm] $0
Für beliebige $A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n, K)$ mit [mm] $A\ne [/mm] 0$ und [mm]r \in \IN \setminus \{0\}[/mm], $r [mm] \le \min\{m,n\}$, [/mm] sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:
1) $Rang(A)=r$.
2) Es gibt einen $r$-reihigen Minor, der nicht verschwindet und für $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\min(m,n) \ge [/mm] k > r$ verschwindet jeder $k$-reihige Minor.
Viele Grüße
Julius
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moment mal dann sehe ich das aber falsch, in der grundfrage habe ich argumentiert, dass eine bedingung reicht. du hast aber jetzt A und r [mm] \not= [/mm] 0 vorausgesetzt, was ich glaub ich auch nötig ist, denn:
angenommen A [mm] \in [/mm] M(m x n, K) bel. und r ungleich 0:
sei A=0 und r eine bel. natürliche zahl ungleich 0 (natürlich darf r nicht größer als min(m,n) sein; diese beschränkung, auch bei k, ist in diesem satz denk ich aber immer vorausgesetzt, oder?)
dann gilt: rangA [mm] \not= [/mm] r und der satz folgert u.a. dass es für k>r (k [mm] \le [/mm] min(m,n); steht nicht da, aber a priori vorausgesetzt, oder?) einen k-reihigen minor [mm] \not= [/mm] 0 gibt. das ist bei A=0 aber nicht der fall!
angenommen A ungleich null und r [mm] \in \IN (\IN [/mm] mit 0):
sei r=0 und A eine bel. matrix [mm] \in [/mm] M(m x n, K) und A ungleich 0. es gilt: rangA [mm] \not= [/mm] r und der satz folgert: jeder r-reihige minor ist 0, insbesondere ex ein 0-reihiger minor, unsinn!
erst bei A [mm] \not= [/mm] 0 und r [mm] \not=0 [/mm] gibt es keine probleme mehr.
ist diese argumentation nun endlich vollständig?
noch was, das ich schon angesprochen habe:
müsste nicht auch noch, wenn man ganz streng ist, hinschreiben:
r [mm] \le [/mm] min(m,n) und k [mm] \le [/mm] min(m,n)
aber da hab ich noch nicht alles bedacht...
eieiei, ein etwas komplizierter satz mit den einschränkungen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> angenommen A [mm]\in[/mm] M(m x n, K) bel. und r ungleich 0:
> sei A=0 und r eine bel. natürliche zahl ungleich 0
> (natürlich darf r nicht größer als min(m,n) sein; diese
> beschränkung, auch bei k, ist in diesem satz denk ich aber
> immer vorausgesetzt, oder?)
> dann gilt: rangA [mm]\not=[/mm] r und der satz folgert u.a. dass es
> für k>r (k [mm]\le[/mm] min(m,n); steht nicht da, aber a priori
> vorausgesetzt, oder?) einen k-reihigen minor [mm]\not=[/mm] 0 gibt.
> das ist bei A=0 aber nicht der fall!
>
> angenommen A ungleich null und r [mm]\in \IN (\IN[/mm] mit 0):
> sei r=0 und A eine bel. matrix [mm]\in[/mm] M(m x n, K) und A
> ungleich 0. es gilt: rangA [mm]\not=[/mm] r und der satz folgert:
> jeder r-reihige minor ist 0, insbesondere ex ein 0-reihiger
> minor, unsinn!
>
> erst bei A [mm]\not=[/mm] 0 und r [mm]\not=0[/mm] gibt es keine probleme
> mehr.
> ist diese argumentation nun endlich vollständig?
Ja, sehr gut! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> noch was, das ich schon angesprochen habe:
> müsste nicht auch noch, wenn man ganz streng ist,
> hinschreiben:
> r [mm]\le[/mm] min(m,n) und k [mm]\le[/mm] min(m,n)
> aber da hab ich noch nicht alles bedacht...
Du hast Recht. Ich verbessere das bei mir jetzt mal. Vielen Dank für den Hinweis!
> eieiei, ein etwas komplizierter satz mit den
> einschränkungen...
Auf jeden Fall... in Büchern werden die Voraussetzungen manchmal etwas stiefmütterlich behandelt. 
Viele Grüße
Julius
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neineinein, jetzt hab ich noch was sehr seltsames festgestellt, schön langsam stresst mich dieser satz... bevor ich aber das erläutern kann, muss ich wissen was das äquivalente zu dieser äquivalenzaussage ist. was ich meine:
wenn gilt A => B dann gilt ja auch [mm] \neg(B) [/mm] => [mm] \neg(A)
[/mm]
und gilt A <=> B dann auch [mm] \neg(A) [/mm] <=> [mm] \neg(B)
[/mm]
insgesamt: (A <=> B) <=> [mm] (\neg(A) [/mm] <=> [mm] \neg(B))
[/mm]
jetzt frag ich mich wie schaut das hier bei diesem satz aus, ich hab meine version schon bei meiner argumentation oben benützt, diese version ist aber falsch! ergo auch meine argumentation, was langsam übel wird.
nochmal die aussagen:
i) rangA=r
ii) es gibt einen r-reihigen minor [mm] \not= [/mm] 0 und für k>r ist jeder k-reihige minor = 0
es gelte i <=> ii
was ist [mm] \neg(i) [/mm] und [mm] \neg(ii)
[/mm]
es müsste dann [mm] \neg(i) [/mm] <=> [mm] \neg(ii) [/mm] gelten!
irgendwas ist seltsam an dem satz...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 So 06.03.2005 | | Autor: | calabi-yau |
also, endlich (!!!) habe ich das problem vollständig analysiert und gelöst.
zuerst mal zu meiner letzten frage:
die antwort ist einfach, aber ich hab da irgendwie am anfang falsch gedacht:
[mm] \neg(i) [/mm] ist: rangA [mm] \not= [/mm] r ist klar
[mm] \neg(ii) [/mm] ist: alle r-reihigen minoren = 0 oder ( [mm] \vee [/mm] ) für k>r ex. ein k-reihiger minor [mm] \not= [/mm] 0
es gilt dann auch [mm] \neg(i) [/mm] <=> [mm] \neg(ii)
[/mm]
es ist oben noch einiges falsch, der satz muss folgendermaßen abgeändert werden (bzw. die unbestimmten müssen sein):
r [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}
r [mm] \le [/mm] min{m,n}
k [mm] \in \IN
[/mm]
k [mm] \le [/mm] min{m,n}
k>r
A [mm] \in [/mm] M(m x n; K)
so ist der satz 1.) richtig und 2.) nicht weiter eingeschränkt, es funktioniert also auch die kombination r [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0} bel. und A=0. würde man noch A [mm] \not= [/mm] 0 voraussetzen, so würde der satz eingeschränkt werden.
ich bin mir ziemlich sicher, dass das jetzt richtig ist. ich verzichte jetzt auch auf argumentation, wers dennoch nicht glaubt, der kann ja nachfragen.
julius, könntest du deine antwort dann noch verbessern? dann wärn wir mit dem thema hier fertig...
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