Abbildung k-linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen.
Wie ihr ja wisst ist mein Lineare Algebra Verständnis nicht besonders groß und von daher benötige ich dringend, wirklich dringend Hilfe. Wir haben den nächsten Übungszettel erhalten, in dem ich 100% benötige, da ich ansonsten leider nicht die Klausurzulassung erhalten werde. Deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand bei diesem Zettel und natürlich den nächsten Zetteln, die noch kommen werden helfen würde.
Die erste Aufgabe wäre:
Es sei V der Vektorraum aller 3 x 3 - Matrizen über einem Körper K.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
f:V [mm] \to [/mm] K, [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }
[/mm]
k-linear ist.
Kann mir da jemand helfen? Was der erste Schritt ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Fr 27.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Andre,
wie ist die Abbildung f denn nun definiert, das hast Du uns noch nicht verraten.
Und was ist mit k-linear gemeint? Soll k der zugehörige Körper K sein?
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Ich habe diese Aufgabe noch einmal eingestellt. Weil bei dieser Ausfertigung hier ein Fehler drin ist. Nach der Matrix muss noch stehen:
[mm] \mapsto [/mm] a11 + a22 + a33
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst zeigen, dass das selbe raus kommt, wenn du:
1.) 2 Matrizen addierst und dann unter f abbildest und
2.) wenn du eine Matrix unter f abbildest, dann die andere Matrix unter f abbildest und dann beide Sachen addierst.
In Formelschreibweise: Es muss gelten f(A+B)=f(A)+f(B).
Das ist der erste Schritt. Danach musst du noch zeigen, dass f(k*A)=k*f(A) ist, mit [mm] \in [/mm] K.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
da doch a unbekannt ist muss die Matrix doch linear sein, oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
ich meinte die Abbildung nicht die Matrix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Könnte die Lösung folgende sein?
[mm] f(x+\lambday) [/mm] = f(x) + [mm] \lambdaf(y)
[/mm]
eingesetzt würde gelten:
H [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 } [/mm] = a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda [/mm] b11 + [mm] \lambda [/mm] b22 + [mm] \lambda [/mm] b33
= a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda(b11 [/mm] + b22 + b33)
= V [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 }
[/mm]
Hätte ich damit die K - Linearität gezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Könnte die Lösung folgende sein?
[mm] f(x+\lambda [/mm] y) = f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)
eingesetzt würde gelten:
H [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 } [/mm] = a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda [/mm] b11 + [mm] \lambda [/mm] b22 + [mm] \lambda [/mm] b33
= a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda(b11 [/mm] + b22 + b33)
= V [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 }
[/mm]
Hätte ich damit die K - Linearität gezeigt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du kannst deine Beiträge auch bearbeiten. Du musst also nicht, sobald dir iwas nicht gefällt was du mal geschrieben hast, das gleiche nochmal neu schreiben!
Das macht das auch alles übersichtlicher und damit freundlicher für die, die das lesen um zu antworten!
Was zu zeigen ist hast du ja schon gesagt! $f(A+ [mm] \lambda [/mm] B) = f(A) + [mm] \lambda [/mm] f(B)$.
Jetzt musst das nur noch mal ganz exakt aufschreiben. Was soll das "H" und das "V" in der Gleichung?
Als Tipp:
Schreibe $ A + [mm] \lambda [/mm] B = [mm] \pmat{ a11 + \lambda b11 & a12 + \lambda b12 & a13 + \lambda b13 \\ a21 + \lambda b21 & a22 + \lambda b22 & a23 + \lambda b23 \\ a31+ \lambda b31 & a32 + \lambda b32 & a33 + \lambda b33 } [/mm] $. Warum ist das so?
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Habe ich noch nicht gezeigt, wieso das so ist? Mit der Glerichung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Kann ich das jetzt zum ersten Teil aus Aufgabe 1 so aufschreiben?
Also: k-linear: [mm] f(A+\lambda{B}) [/mm] = f(A) [mm] +\lambda{f(b)}?
[/mm]
+plus die Formel ausschreiben? So wie du es schon angefangen hattest?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Kann ich als Lösung schon was aufschreiben?
|
|
|
| |
|
Immer wieder eine neue Frage zu stellen, um den Artikel zu pushen bringt dir meiner Ansicht nach nix.
Was du tun könntest, wäre aufzuschreiben was du als Lösung aufschreiben möchtest, und dann das hier kontrollieren lässt.
Ich habe dir schon geschreiben wie du anfangen sollst!
Im ersten Semester gibt es (meiner Ansicht nach) 2 wichtige Sachen, die du lernen sollst, das eine sind die Grundlagen, ganz klar. Aber ähnlich wichtig ist auch die Fähigkeit, Mathematik richtig und logisch zu formulieren! Letzteres musst du nun zeigen!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Ich möchte es jetzt so aufschreiben:
1. Aufgabe.)
a.) k-linear wäre, wenn gilt:
1.) [mm] f(\lambda{a}) [/mm] = [mm] \lambda{f(a)}
[/mm]
2.) f(a+b) = f(a) + f(b) , für alle a,b [mm] \in [/mm] V und für alle [mm] \lambda \in [/mm] K
Zu 1.)
f [mm] (\lambda{\pmat{a11 & a12 & a13 \\ a12 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33}}) [/mm] = [mm] \lambda{f(\pmat{a11 & a12 & a13 \\ a12 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33})}
[/mm]
[mm] \pmat{\lambda{a11} & \lambda{a12} & \lambda{a13} \\ \lambda{a21} & \lambda{a22} & \lambda{a23} \\ \lambda{a31} & \lambda{a32} & \lambda{a33}}=\pmat{\lambda{a11} & \lambda{a12} & \lambda{a13} \\ \lambda{a21} & \lambda{a22} & \lambda{a23} \\ \lambda{a31} & \lambda{a32} & \lambda{a33}}
[/mm]
zu 2.)
die Lösung habe ich schon mal geschrieben
Ist es dann so richtig?
|
|
|
| |
|
> Ich möchte es jetzt so aufschreiben:
>
> 1. Aufgabe.)
>
> a.) k-linear wäre, wenn gilt:
>
> 1.) [mm]f(\lambda{a})[/mm] = [mm]\lambda{f(a)}[/mm]
> 2.) f(a+b) = f(a) + f(b) , für alle a,b
> [mm]\in[/mm] V und für alle [mm]\lambda \in[/mm] K
>
> Zu 1.)
>
> f [mm](\lambda{\pmat{a11 & a12 & a13 \\ a12 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33}})[/mm]
> = [mm]\lambda{f(\pmat{a11 & a12 & a13 \\ a12 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33})}[/mm]
>
> [mm]\pmat{\lambda{a11} & \lambda{a12} & \lambda{a13} \\ \lambda{a21} & \lambda{a22} & \lambda{a23} \\ \lambda{a31} & \lambda{a32} & \lambda{a33}}=\pmat{\lambda{a11} & \lambda{a12} & \lambda{a13} \\ \lambda{a21} & \lambda{a22} & \lambda{a23} \\ \lambda{a31} & \lambda{a32} & \lambda{a33}}[/mm]
Dass das stimmt ist leicht zu sehen, aber du schreibst es nicht gut auf!
Fange an mit [mm] $f(\lambda [/mm] A) = $...Matrixschreibweise... =... Anwenden von f...=... [mm] =$\lambda [/mm] f(A)$.
Diese w.A. Beweise sind nicht gern gesehen!
>
> zu 2.)
>
> die Lösung habe ich schon mal geschrieben
>
> Ist es dann so richtig?
>
>
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
so wie du es mir empfohlen hast habe ich es doch aufgeschrieben gehabt.
Ich hatte doch geschrieben:
f(a + [mm] \lambda{b}) [/mm] = f(a) + [mm] \lambda{f(b)}
[/mm]
Gut, ich hatte H und V noch verwendet. Aber diese Buchstaben sind ja leicht durch f und K zu ersetzen, oder?
|
|
|
| |
|
Ich kann dir nicht folgen was du mit dem K oder dem f aussagen willst!
Zwischen dem $f(a + [mm] \lambda* [/mm] b)$ und dem $f(a) + [mm] \lambda [/mm] *f(b)$ fehlt doch noch genau der Weg, der dazu führt, also genau das, was du zeigen sollst!
Ich schreib dir das nicht alles hin!
$f(A + [mm] \lambda [/mm] B) = [mm] f(\pmat{ a11 + \lambda b11 & a12 + \lambda b12 & a13 + \lambda b13 \\ a21 + \lambda b21 & a22 + \lambda b22 & a23 + \lambda b23 \\ a31+ \lambda b31 & a32 + \lambda b32 & a33 + \lambda b33 })=$ [/mm] ... jetzt f anweden... usw... $= f(a) + [mm] \lambda [/mm] *f(b)$.
So ist das schöner!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Also für k-linear:
[mm] f(a+\lambda{b}) [/mm] =...Matrix...=...f anwenden, als die Matrix zu zwei Matrizen auftrennen...= f(a) + [mm] \lambda{f(b)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du wendest nie bei deinem Aufschreiben f an. du schreibst nur einfach f.
aber du musst das spezille gegebene f aufschreiben, also einmals [mm] f(A+\lambda [/mm] B) umnd einmal [mm] f(A)+\lambda*f(B)
[/mm]
aber für f die Funktionsvorschrift wirklich hinschreiben!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Wie meinst du deine Schreibweise? Wie sollte es besser aussehen? Und wie soll ich den zweiten Teil aufschreiben?
|
|
|
|
