Abbildung prüfen (Inj, Surj.) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 30.12.2007 | | Autor: | Lamarr |
| Aufgabe | | [mm] f_2 [/mm] : [mm] \IN \times \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , (n,x) -> [mm] f_2 [/mm] (n,x) := 2n + [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] |
Guten Mittag allerseits,
ich weiß bei dieser Aufgabe, dass sie nicht injektiv sein kann, da f(1,1) = 5/2 = f(1,-1) ist,
allerdings bin ich mir bei der Surjektivität nicht sicher. In der Musterlösung wurde es über abschätzen gemacht (?), was ich sehr seltsam finde, daher habe ich folgendes gemacht:
2n + [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] = y (setze y)
[mm] \gdw [/mm] (Setze 2n = 0 -> n=0)
[mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] = y
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = 1 + [mm] x^2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{z}-1}
[/mm]
Kann ich das auch so beweisen, dass sie nicht surjektiv ist, da für eine Bereich y < 1 das ganze nicht mehr definiert ist, und daher die Abbildung nicht surjektiv ist?
Danke für jegliche Hilfe
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 30.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo Lamarr,
Ich würde sagen, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist, und es folgendermaßen begründen:
$ [mm] f(\mathbb{N} \times \mathbb{R}) \not= \mathbb{R} [/mm] $
denn es werden keine negativen Zahlen getroffen.
[mm] $\underbrace {2n}_{\ge 0} [/mm] + [mm] \underbrace {\frac{1}{1+x^2}}_{\ge 0} \ge [/mm] 0$
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