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| Aufgabe | Es sei f: M [mm] \to [/mm] M' eine Abbildung. Beweisen Sie: f ist genau dann surjektiv, wenn Folgendes Gilt:
Für jede weitere Menge M'' und je zwei beliebige Abbildungen g,h: M' [mm] \to [/mm] M'' gilt g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h. |
Hallo Leute,
also bei der Aufgabe habe ich anscheinend die rechtsrichtung " [mm] \Rightarrow [/mm] " gezeigt; Surjektivität f(M) = M', f(M') = M'':
g(M') = g(f(M)) = (g [mm] \circ [/mm] f)(M) = (h [mm] \circ [/mm] f)(M) = h(f(M)) = h(M').
So, jetzt brauche ich aber anscheinend noch ne Rückrichtung, Linksrichtung " [mm] \Leftarrow [/mm] " und da weiss ich nich so genau.
Ich glaube es hat was mit dem g = h zu tun...
Kann mir da einer weiterhelfen? Wäre nett...
mfG
adrenaline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mi 01.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein "Hinrichtung" ist leider auch schon falsch.
Du kannst aus g(M')=h(M') nicht folgern, dass g=h ist !
g=h bedeutet, dass FÜR JEDES m' aus M' gilt : g(m')=h(m')
und dies musst du auch so benutzen !
also für die "Hinrichtung":
sei f surjektiv, dann gibt es für jedes m' aus M' ein x, so dass f(x)=m'
aber dann gilt ja auch, wenn
$ [mm] h(m')=h(f(x))=h\circ [/mm] f(x)=g [mm] \circ [/mm] f(x)=g(f(x))=g(m')$ (für ein beliebiges m')
Für die Rückrichtung solltest du dir mal überlegen, was dabei schief gehen kann, wenn f nicht surjektiv ist, dann kann zwar g°f=h°f sein, aber... ?
(und dies dann natürlich auch ordentlich zusammen schreiben)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
danke erst einmal für deine Antwort. Ich frage mich aber gerade, warum man für M' unbedingt "für ein beliebiges m' aus M' " sagen muss und nicht einfach M' sagen kann. Jedes beliebige m' aus M' spiegelt doch genau M' wieder, oder nicht? Also könnte man doch allgemein behaupten für jedes M gibt es ein M' so dass gilt, f(M) = M'. Anschliessend die Folgerung bzw "Hinrichtung".
Zu der "Rückrichtung" könnte man villeicht davon ausgehen, dass g [mm] \not= [/mm] h ist, weil genau dann die Surjektivität wiederlegt wird?
Ich versuchs mal nach deiner Methode, die höchstwharscheinlich auch richtig ist ;).
Für jedes m' aus M' gibt es ein m aus M, so dass gilt f(m) = m', das gilt anscheinend nur dann wenn für jede weitere Mende M'' und je zwei weitere Abbildungen g,h gilt g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] g = h gilt. Geht man nun davon aus, dass g [mm] \not= [/mm] h wäre, so müsste die Behauptung wiederlegt sein.
Sei also g: M' [mm] \to [/mm] M'' und h: N [mm] \to [/mm] N', wobei N,N' [mm] \subset [/mm] M sind.
g(m'') = g(f(m') = (g [mm] \circ [/mm] f)(m') [mm] \not= [/mm] (h [mm] \circ [/mm] f)(n) = h(f(n)) = h(n')
g(m'') [mm] \not [/mm] h(n').
Irgendwie hab is das Gefühl das es völliger Schwachsinn ist, aber ein anderer Lösungsweg ist mir nicht eingefallen.
Wäre dankbar für eine Antwort
mfG
adrenaline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 02.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> danke erst einmal für deine Antwort. Ich frage mich aber
> gerade, warum man für M' unbedingt "für ein beliebiges m'
> aus M' " sagen muss und nicht einfach M' sagen kann. Jedes
> beliebige m' aus M' spiegelt doch genau M' wieder, oder
> nicht? Also könnte man doch allgemein behaupten für jedes M
> gibt es ein M' so dass gilt, f(M) = M'. Anschliessend die
> Folgerung bzw "Hinrichtung".
naja - g=h bedeutet eben, dass FÜR JEDES EINZELNE x gelten muss g(x)=h(x) - es bedeutet NICHT, dass nur der Bildraum von g und h gleich sein müssen.
Beispiel:
M'=M''={1,2}
g(1):=1 und g(2):=2 aber h(1):=2 und h(2):=1
dann gilt zwar g(M')=h(M') aber es gilt eben nicht, dass g=h ist...
> Zu der "Rückrichtung" könnte man villeicht davon ausgehen,
> dass g [mm]\not=[/mm] h ist, weil genau dann die Surjektivität
> wiederlegt wird?
nein, leider nicht wirklich..
>
> Ich versuchs mal nach deiner Methode, die
> höchstwharscheinlich auch richtig ist ;).
>
> Für jedes m' aus M' gibt es ein m aus M, so dass gilt f(m)
> = m', das gilt anscheinend nur dann wenn für jede weitere
> Mende M'' und je zwei weitere Abbildungen g,h gilt g [mm]\circ[/mm]
> f = h [mm]\circ[/mm] f [mm]\Rightarrow[/mm] g = h gilt. Geht man nun davon
> aus, dass g [mm]\not=[/mm] h wäre, so müsste die Behauptung
> wiederlegt sein.
>
> Sei also g: M' [mm]\to[/mm] M'' und h: N [mm]\to[/mm] N', wobei N,N'
> [mm]\subset[/mm] M sind.
>
> g(m'') = g(f(m') = (g [mm]\circ[/mm] f)(m') [mm]\not=[/mm] (h [mm]\circ[/mm] f)(n) =
> h(f(n)) = h(n')
>
> g(m'') [mm]\not[/mm] h(n').
>
sorry, aber das ist ein wenig wirr - es wird nicht klar genug, wovon du ausgehst und was du zeigen bzw. widerlegen willst
(mal ganz abgesehen davon, dass plötzlich N und N' auftauchen..)
Ich mach dir mal den Anfang für die Rückrichtung:
also es gelte :
aus [mm] $g\circ [/mm] f = [mm] h\circ [/mm] f$ folgt g=h
Was bedeutet denn das?
es bedeutet : wenn für jedes x AUS DEM BILDRAUM von f gilt g(x)=h(x), dann soll schon g=h gelten (also auch für y, die evtl nicht im Bildraum von f liegen, aber dennoch in M'...)
wir gehen also von Obigem aus !
Angenommen f wäre NICHT surjektiv, dann gibt es ein y aus M', dass nicht im Bildraum von f liegt, setze also [mm] $g(y)\not= [/mm] h(y)$ beliebig, was passiert dann mit der Behauptung, von der wir ausgegangen sind?
noch ein Zusatz : wieviel Elemente muss M'' mindestens haben, damit der Beweis der Rückrichtung überhaupt richtig ist ?
(Kannst du durch ein Gegenbeispiel zeigen, dass die Rückrichtung und damit die ganze Behauptung bei weniger Elementen sogar falsch wird ?)
> Irgendwie hab is das Gefühl das es völliger Schwachsinn
> ist, aber ein anderer Lösungsweg ist mir nicht
> eingefallen.
lass dich davon aber nicht entmutigen - bedenke immer:
Sprechen lernt man durch sprechen und beweisen durch beweisen !
versuche es einfach weiter - mit ein wenig Übung kommt auch die Erfahrung und dann auch der Erfolg - und traue dich immer zu eigene Ansätzen nur aus Fehlern lernt man richtig.
viele Grüße
DaMenge
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Ok, danke für die Ausführliche Erklärung!!
Also so wie ich das jetzt verstanden habe:
Jedes x aus dem Urbild wird abgebildet auf ein m' aus M' im "Zielbild", so das gilt f(x) = m', falls die Bedingung g=h erfüllt wird, den Beweis hierfür hatten wir ja schon.
Jetzt geht man einfach davon aus, dass f nicht surjektiv ist, was bedeuten würde, dass ein y aus M' existiert, welches nicht im Zielbild von f abgebildet wird.
So müsste man also zeigen, dass g(y) [mm] \not= [/mm] h(y) ist, damit Bewiesen wird, dass f nur dann surjektiv sein kann wenn die Bedingung für f(x) = m' bei g = h erfüllt wird.
Beh: f ist nicht surjektiv, falls f [mm] \not= [/mm] h
Sei y aus M', das von keinem Element im Urbild (M) getroffen wird.
zzg: f(y) [mm] \not= [/mm] h(y)
Nehmen wir an g und h wären ungleich
dann gibt es ein y aus M' mit
g(y) = m'' und h(y) = m''' wobei m'' und m''' Elemente aus M'' sind.
m'' = g(y) = g(f(y)) = (g [mm] \circ [/mm] f)(y) = (h [mm] \circ [/mm] f)(y) = h(f(y)) = h(y) = m'''
m'' [mm] \not= [/mm] m'''
Ich glaube das diese Lösung auch falsch ist, aber mehr fällt mir nicht ein.
Also verstanden habe ich es schon denke ich, allerdings kann ich es nicht wiedergeben.
Ausserdem noch eine Frage: g muss nicht unbedingt gleich h sein damit f surjektiv ist glaube ich, weil nehmen wir an
für g:
M' hat x Elemente die auf x-1 Elemente von M'' abgebildet werden
für h:
M' hat x Elemente die auf x Elemente abgebildet werden
so ergibt sich g(x) [mm] \not= [/mm] h(x) und trotzdem wäre f surjektiv.
Auf deine Frage, wieviel Elemente M'' haben muss:
Ich glaube mindestens ein Element um im falle von g=h surjektivität zu folgern und mindestens 2 um es zu wiederlegen.
Dabei denke ich daran, dass ein Element im Bildbereich mehrfach getroffen werden kann von Elementen aus dem Urbildbereich.
Ich hoffe, das ich nicht schon wieder nur "Müll" rede, aber dafür gibt es ja glücklicherweise dieses coole Forum :)
mfG
adrenaline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 So 05.03.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo adrenaline!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit, deine Frage beantworten. Nun muss ich sie für Interessierte markieren.
Falls ich die Fälligkeit verlängern sollte, schreibe bitte eine private Nachricht an mich!
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 07.03.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo!
Habe die Frage laut Wunsch von adrenaline verlängert.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo und guten Nachmittag zusammen an alle Freunde
von Abbildungen und ihrer Wirkenskraft,
Du bist also gerade bei der Richtung [mm] ''\Leftarrow''.
[/mm]
Angenommen also:
[mm] f\colon M\to [/mm] M' ist eine Abbildung, und fuer JEDE Menge M'' und JEDES Paar
g,h von Funktionen [mm] g,h\colon M'\to [/mm] M'' folgt aus
[mm] \forall x\in M\:\: [/mm] g(f(x))=h(f(x))
schon bereits
[mm] \forall y\in M'\:\: [/mm] g(y)=h(y).
Wir wollen zeigen: f ist surjektiv.
Annahme: f ist nicht surjektiv.
Dann gibt es also [mm] y_0\in [/mm] M' mit
[mm] \forall x\in M\:\: f(x)\neq [/mm] y
(d.h. [mm] y\in M'\setminus [/mm] f(M)).
Waehle nun [mm] M''=\{0,1\} [/mm] und [mm] g,h\colon M'\to [/mm] M'' wie folgt:
g(y)=h(y)=0 fuer alle [mm] y\in M'\setminus\{y_0\}
[/mm]
und [mm] g(y_0)=1, h(y_0)=0.
[/mm]
Dann gilt offenbar [mm] g\circ f=h\circ [/mm] f, aber nicht g=h.
also fuehrt die Annahme, f sei nicht surjektiv, zum Widerspruch.
Klar soweit ?
Vielel Gruesse,
Mathias
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