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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | | G= { [mm] \bruch{a}{b} [/mm] | a,b [mm] \in \IZ \wedge [/mm] b ungerade} [mm] \subseteq \IQ [/mm] |
Ich muss zeigen das (G, +) eine abelsche Gruppe ist.
Ich weiß, dass ich die 5 Eigenschaften zeigen muss.
Aber weiß immer nie, wie ich es umsetzen soll :(
Ich versuche mal die Abgeschlossenheit (G1) zu zeigen:
zz. [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm]
G2 Assoziativität
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] G (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)
aber wie gehts weiter?
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Huhu,
> Ich versuche mal die Abgeschlossenheit (G1) zu zeigen:
>
> zz. [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm]
Aha, und wie weiter?
Wo ist jetzt die Abgeschlossenheit?
Abgeschlossenheit heisst doch, dass mit [mm] $g_1,g_2 \in [/mm] G$ auch [mm] $g_1 \circ g_2 \in [/mm] G$.
Hier ist [mm] $\circ$ [/mm] nun + und damit musst du zeigen: [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2 \in [/mm] G$
Wie sieht [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] denn aus? Welche Eigenschaft muss ein Element erfüllen, damit es in G liegt?
Das musst du nun für [mm] $g_1 [/mm] + [mm] g_2$ [/mm] nachprüfen (und wirst dafür vermutlich die Eigenschaft [mm] $g_1,g_2 \in [/mm] G$ benutzen müssen)
> G2 Assoziativität
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in[/mm] G (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] c = a [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm]
> c)
>
> aber wie gehts weiter?
Auch hier gilt ja nun [mm] $\circ [/mm] = +$.
Die musst du aber nur begründen, nicht zeigen. Was weisst du denn über [mm] $(\IQ, [/mm] +)$ ? Nun ist (G,+) eine Teilmenge von [mm] (\IQ,+) [/mm] und damit vererben sich grundlegende Recheneigenschaften wie Assoziativität und Kommutativität.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:14 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Balsam |
"Welche Eigenschaft muss ein Element erfüllen, damit es in G liegt?
Das musst du nun für nachprüfen (und wirst dafür vermutlich die Eigenschaft benutzen müssen) "
Es muss die Eigesnchaft [mm] \bruch{a}{b} [/mm] | a,b [mm] \in [/mm] Z und b muss ungerade sein
Aber wie mache ich das nun mit der Addition?
Ich habe echt Probleme bei Gruppen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
nimm dir mit [mm] $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$, [/mm] zwei Elemente aus G (d.h. es sind $a, b, c, d [mm] \in \IZ$ [/mm] und $b, d$ ungerade) und zeige, dass die Summe [mm] $\frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{c}{d}$ [/mm] wieder in G liegt, indem du zeigst, dass die Summe wieder ein Bruch wird mit Elementen aus [mm] $\IZ$ [/mm] im Zähler und Nenner und dem ungeradem Nenner.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich weiß zwar was du meinst aber ob ich das richihtg umgesetzt habe ist die Frage...
$ [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{c}{d} [/mm] $ = [mm] \bruch{d*a + b*c}{b*d}
[/mm]
so? aber was ist mir den ungeraden Zahlen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ....?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:48 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Balsam |
... ist natürlich ungerade
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Genau, und damit liegt [mm] $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ [/mm] wieder in G und du hast Abgeschlossenheit bewiesen, da für zwei beliebige Elemente der Gruppe die Summe wieder in der Gruppe liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:05 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Balsam |
ok vielen dank erst mal
aber wie schreibe ich das mathematisch korrekt hin?
Und wie gehe ich nun bei der Assozitivität vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:22 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
> ok vielen dank erst mal
> aber wie schreibe ich das mathematisch korrekt hin?
Seien $x, y [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow \exists [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IZ, [/mm] b,d$ ungerade: $x = [mm] \frac{a}{b}, [/mm] y = [mm] \frac{c}{d} \Rightarrow [/mm] x+y = [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{c}{d} [/mm] = [mm] \frac{ad+bc}{bd}$. [/mm] Da $ad+bc, bd [mm] \in \IZ$ [/mm] und [mm] $bd\:$ [/mm] ungerade ist, ist somit $x+y [mm] \in [/mm] G$ und somit G abgeschlossen unter Addition.
> Und wie gehe ich nun bei der Assozitivität vor?
Du nimmt dir nun eben drei Elemente $x,y,z [mm] \in [/mm] G$ (d.h. man kann sie alle wieder als Brüche in bekannter Form schreiben) und rechnest nach, dass $(x+y)+z = x+(y+z)$ gilt. Alternativ (falls du dir Arbeit sparen willst) verwendest du, wie in der ersten Antwort erwähnt, dass sich die Rechenregeln aus [mm] $(\IQ,+)$ [/mm] auf diese Gruppe G übertragen, da es sich um eine Untergruppe handelt.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 20.03.2011 | | Autor: | Balsam |
Dann versuche ich es mal weiter:
Kann ich die Assoziativität nicht einfach so zeigen
$ (x+y)+z =x + y+ z = x+(y+z) $
da es sich nur um Addition handelt ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 20.03.2011 | | Autor: | Balsam |
Kann mir jemand bitte behilflich sein?
Ich habe noch einen weiteren Versuch
( [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d} [/mm] ) + [mm] \bruch{e}{f} [/mm] = [mm] \bruch{ad + bc}{bd} [/mm] + [mm] \bruch{e}{f}= \bruch{((ad + bc) f) + (bde)}{bdf}= \bruch{a}{b}+ (\bruch{c}{d} [/mm] + [mm] \bruch{e}{f})
[/mm]
ich schaffe jedoch deinn vorletzten schritt nicht...
bitte helft mir :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 20.03.2011 | | Autor: | Lippel |
nabend
> Kann mir jemand bitte behilflich sein?
>
> Ich habe noch einen weiteren Versuch
>
> [mm](\bruch{a}{b} + \bruch{c}{d}) + \bruch{e}{f} = \bruch{ad + bc}{bd} + \bruch{e}{f}= \bruch{((ad + bc) f) + (bde)}{bdf}= \red{ \bruch{(adf + bcf) + bde}{bdf} = \bruch{adf + (bcf + bde)}{bdf} = \bruch{adf + b(cf + de)}{bdf} = \bruch{adf}{bdf} + \bruch{b(cf + de)}{bdf} = \bruch{a}{b} + \bruch{cf + de}{df} = \bruch{a}{b} + (\bruch{cf}{df} + \bruch{de}{df})} =\bruch{a}{b}+ (\bruch{c}{d} + \bruch{e}{f})[/mm]
Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 20.03.2011 | | Autor: | Lippel |
> Dann versuche ich es mal weiter:
>
> Kann ich die Assoziativität nicht einfach so zeigen
>
> [mm](x+y)+z =x + y+ z = x+(y+z)[/mm]
>
> da es sich nur um Addition handelt ?
Naja, nur weil da das Zeichen "+" steht, heißt das ja noch nicht, dass die Verknüpfung assozaitiv ist. Du kannst prinizpiell ja erstmal jede Verknüpfung so nennen wie du willst.
Der springende Punkt ist: [mm] $(\IQ,+,\cdot)$ [/mm] ist ein Körper und damit [mm] $(\IQ,+)$ [/mm] abelsche Gruppe. [mm] $G\:$ [/mm] ist eine Teilmenge dieser Gruppe, und wir verwendende auch genau diese "+" aus [mm] $\IQ$. [/mm] Damit übertragen sich Assoziativität und Kommutativität auch auf die Gruppe [mm] $G\:$. [/mm] Du musst also nur noch zeigen, dass das Inverse jedes Elementes aus [mm] $G\:$ [/mm] auch wieder in [mm] $G\:$ [/mm] liegt.
LG Lippel
Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 20.03.2011 | | Autor: | Balsam |
okay vielen dank erstmal
dann versuche ich mal G3 das neutrale Element zu zeigen:
zz. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] Q e [mm] \circ [/mm] x = x
$ [mm] \bruch{d\cdot{}a + b\cdot{}c}{b\cdot{}d} [/mm] $
a= 0 b=0 x=a/b
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \circ [/mm] x = 0
kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> okay vielen dank erstmal
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> dann versuche ich mal G3 das neutrale Element zu zeigen:
>
> zz. [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] Q e [mm]\circ[/mm] x = x
>
> [mm]\bruch{d\cdot{}a + b\cdot{}c}{b\cdot{}d}[/mm]
>
> a= 0 b=0 x=a/b
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\circ[/mm] x = 0
>
> kann man das so machen?
Nein, b muss ungerade sein nach der Definition von G. Du würdest dann ja auch durch 0 teilen! Also kann b nicht 0 sein, du bist aber nah dran. Wir suchen [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] sodass [mm] $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}= \frac{c}{d}$ [/mm] und es gilt: [mm] $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} [/mm] = [mm] \frac{ad+bc}{bd}$. [/mm] Was kannst du anderes für [mm] $b\:$ [/mm] wählen?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Balsam |
Ist es nicht egal, was ich für b wähle da jede zahl durch 0 = 0 ergibt?
also wähle ich z.b b=0.5
und wie schreibe ich das ordentlich auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ist es nicht egal, was ich für b wähle da jede zahl durch
> 0 = 0 ergibt?
>
> also wähle ich z.b b=0.5
Zum zweiten mal: b muss eine ungerade, ganze Zahl sein.
> und wie schreibe ich das ordentlich auf?
Probier es mal aus und poste es hier, dann schauen wir weiter.
LG Lippel
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