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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 Mo 23.01.2006
Autor: Janyary

Aufgabe
Ableitung der Funktion bilden und jeweiligen gueltigkeitsbereich angeben.

a) [mm] f(x)=arctan\bruch{x+1}{x-1} [/mm]

b) [mm] f(x)=x^{a^{x}} [/mm]

bei der b hab ich zuerst an kettenregel oder so gedacht, weiss aber trotzdem nicht, wie ich es so richtig anfangen soll und bei der a hab ich wirklich ueberhaupt keine idee.
hoffe ihr koennt mir helfen.

lg, Jany :)
        
Bezug
Ableitung: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mo 23.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Jany!


Die Idee mit der MBKettenregel bei der ersten Aufgabe ist sehr gut:

[mm] $\left[ \ \arctan\left(\bruch{x+1}{x-1}\right) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)^2}*\blue{\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)'} [/mm] \ = \ ...$


Die innere Ableitung (blauer Term) musst Du nun mit der MBQuotientenregel ermitteln ...



> b) [mm]f(x)=x^{a^{x}}[/mm]

Hier zunächst umformen:

[mm] $x^{a^x} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x)} \ \right]^{a^x} [/mm] \ = \ [mm] e^{a^x*\ln(x)}$ [/mm]


Nun wieder die MBKettenregel in Verbindung mit der MBProduktregel für die innere Ableitung.

Zudem gilt: [mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 23.01.2006
Autor: Janyary

also zur a)

die ableitung des blauen terms ist   [mm] \bruch{2x}{(x-1)^{2}} [/mm]

wenn ich das mit  [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{x+1}{x-1})^{2}} [/mm] multipliziere, erhalte ich [mm] \bruch{x}{x^{2}+1} [/mm]
ist das so richtig fuer die ableitung?

zur b)

also hab mir [mm] f(x)=x^{a^{x}} [/mm] umgeformt in [mm] f(x)=e^{a^{x}*lnx} [/mm]

hab nun zuerst die ableitung von [mm] a^{x}*lnx [/mm] gebildet, das ist [mm] a^{x}*(lna*lnx+ \bruch{1}{x}) [/mm]

die ableitung meiner umgeformten f(x) muesste also
[mm] a^{x}*(lna*lnx+ \bruch{1}{x})*e^{a^{x}*lnx} [/mm] sein.
ist das so richtig?




Bezug
                        
Bezug
Ableitung: a.) falsch, b.) richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mo 23.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Janyary!


> also zur a)
>  
> die ableitung des blauen terms ist   [mm]\bruch{2x}{(x-1)^{2}}[/mm]

[notok] Da habe ich etwas anderes erhalten: [mm] $\bruch{-2}{(x-1)^2}$ [/mm]

Hast Du bei der MBQuotientenregel im Zähler auch das Minuszeichen beachtet?

  
> wenn ich das mit  [mm]\bruch{1}{1+(\bruch{x+1}{x-1})^{2}}[/mm]
> multipliziere, erhalte ich [mm]\bruch{x}{x^{2}+1}[/mm]
> ist das so richtig fuer die ableitung?

[notok] Logischerweise Folgefehler ...


  
> zur b)

> die ableitung meiner umgeformten f(x) muesste also
> [mm]a^{x}*(lna*lnx+ \bruch{1}{x})*e^{a^{x}*lnx}[/mm] sein.

[ok] Das habe ich auch erhalten ...


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 23.01.2006
Autor: Janyary

oh ja, genau das hab ich *grml*

dann ist das die ableitung:   [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] ?
Bezug
                                        
Bezug
Ableitung: Jetzt richtig!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 Mo 23.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Janyary!


So ist es richtig! [ok]


Gruß vom
Roadrunner

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