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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Do 25.09.2008 | | Autor: | makke306 |
| Aufgabe | | [mm] y=x^{tanx}*(5x^2*e^{1/x}) [/mm] |
Hallo! Stimmt das?
[mm] y'=x^{tanx}*lnx*(5x^2*e^{1/x})+x^{tanx}*(10x*e^{1/x}+5x^2*e^{-1/(x^2)})
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f(x)=\underbrace{x^{tan(x)}}_{u}\cdot{}\underbrace{(5x²e^{\bruch{1}{x}})}_{v}
[/mm]
Das ganze musst du mit der Produktregel ableiten, aber für u' brauchst du nochmal die Kettenregel, genau wie für v' die Produktregel und Kettenregel
Also.
[mm] v(x)=\underbrace{5x²}_{w}*\underbrace{e^{\bruch{1}{x}}}_{z}
[/mm]
[mm] v'(x)=\underbrace{10x}_{w'}*\underbrace{e^{\bruch{1}{x}}}_{z}+\underbrace{5x²}_{w}*\underbrace{\left(-\bruch{1}{x²}*e^{\bruch{1}{x}}\right)}_{z' (Kettenregel)}
[/mm]
[mm] u(x)=x^{\tan(x)}
[/mm]
[mm] u'(x)=\underbrace{(1+\tan²(x))}_{\text{Innere Ableitung}\tan(x)}*\underbrace{x^{x}(1+\ln(x))}_{\text{Äussere Ableitung}x^{x}}
[/mm]
Jetzt das ganze noch zusammensetzen.
Also:
[mm] f(x)=\underbrace{x^{tan(x)}}_{u}\cdot{}\underbrace{(5x²e^{\bruch{1}{x}})}_{v}
[/mm]
[mm] f'(x)=\underbrace{(1+\tan²(x))*x^{x}(1+\ln(x))}_{u'}\cdot{}\underbrace{(5x²e^{\bruch{1}{x}})}_{v}+\underbrace{x^{tan(x)}}_{u}\cdot{}\underbrace{\left[10xe^{\bruch{1}{x}}+5x²\left(-\bruch{1}{x²}*e^{\bruch{1}{x}}\right)\right]}_{v'}
[/mm]
Marius
Ach ja: Die Ableitungen der einzelnen Funktionen habe ich ![[]](/images/popup.gif) hierher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 25.09.2008 | | Autor: | makke306 |
Hallo! Dankeschön für deine ausführliche Antwort=) aber könntest du mir noch einmal erklären wie man das y=x^(tanx) ableitet das verstehe ich nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Do 25.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo! Dankeschön für deine ausführliche Antwort=) aber
> könntest du mir noch einmal erklären wie man das y=x^(tanx)
> ableitet das verstehe ich nicht...
Mit der Kettenregel.
[mm] x^{tan(x)}
[/mm]
die innere Funktion ist [mm] \tan(x), [/mm] hat also die Ableitung [mm] (1+\tan²(x))
[/mm]
Die Äussere Funktion ist dann [mm] x^{x} [/mm] und hat die Ableitung [mm] x^{x}(1+\ln(x))
[/mm]
(Links dazu siehe vorherige Antwort)
Und da für die Ableitung einer verketteten Funktion gilt:
f'(x)="innere Abl"*"äussere Abl." kommt eben genau diese Funktion zustande.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 25.09.2008 | | Autor: | makke306 |
Achso...Aber die Ableitung von tanx ist doch [mm] 1/(cos^2(x)) [/mm] oder?
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Hallo makke306,
> Achso...Aber die Ableitung von tanx ist doch [mm]1/(cos^2(x))[/mm]
> oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
was dasselbe ist wie [mm] $1+\tan^2(x)$, [/mm] denn [mm] $\frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)+1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 25.09.2008 | | Autor: | makke306 |
Achso... Alles klar danke=)
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