Ableitung Umkehrfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Beule-M |
Hallo,
ich hätte gern eine Hilfestellung zu folgender Aufgabe:
Wie verhält sich die Kurve y=f(x) gegeben durch x [mm] e^{y}-y+1=0 [/mm] in der Umgebung des Punktes (-1,0)?
Ich benötige also die Ableitung der Funktion um den Anstieg der Funktion im gegebenen Punkt zu ermitteln.
Da sich diese Funktion nicht nach y auflösen lässt, dachte ich, ich bilde die Umkehrfunktion und davon die erste Ableitung. Der reziproke Wert dieser Ableitung ist die Ableitung meiner gegebenen Funktion und durch einsetzen von -1 für X ergibt sich der Anstieg im gegebenen Punkt.
Aber mein Ergebnes ist falsch. Nur implizite Differentiation würde zum Ergebnis führen.
Habe ich da was falsch verstanden?
|
|
| |
|
Hallo Matthias
[mm] $x*e^y [/mm] - y + 1 = 0 $ abgeleitet nach x gibt
[mm] $(1*e^y [/mm] + [mm] x*y'*e^y) [/mm] - y' = 0$
also
[mm] $y'*(x*e^y [/mm] - 1) = [mm] -e^y$
[/mm]
[mm] $y'=\frac{e^y}{1 - x*e^y}$, [/mm] für x=-1, y=0 also [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 19.06.2005 | | Autor: | Beule-M |
Hallo und danke,
genau so hätte ich es rechnen müssen, aber warum funktioniert mein Ansatz mit der Umkehrfunktion nicht?
Ist denn der reziproke Wert der Ableitung von der Umkehrfunktion nicht gleich der Ableitung der Funktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Beule-M!
Wieso, es funktioniert doch! 
Es gilt:
[mm] $x(y)=\frac{y-1}{e^y}$,
[/mm]
also:
$x'(y) = [mm] \frac{e^y - (y-1)e^y}{e^{2y}} [/mm] = [mm] \frac{2e^y-y}{e^y}$,
[/mm]
und daher:
$y'(-1) = [mm] \frac{1}{x'(y(-1))} [/mm] = [mm] \frac{1}{x'(0)} [/mm] = [mm] \frac{1}{ \frac{2-0}{e^0}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
