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Ableitungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mo 24.01.2005
Autor: Joghurtbecherdeckel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen!

Da ich leider 'ne total Matheniete bin, hab ich da mal ne Frage:

Ich hab etliche Aufgaben bekommen um an diesen die Ableitungsregeln zu erklären nur leider bin ich mir bei zwei nicht ganz sicher, ob ich die wirklich richtig gelöst hab.

Die erste wäre $ f (x)  = [mm] 3x^{2} [/mm] * [mm] e^{-4x} [/mm] $

Hier hab ich mein "unerschöpfliches" Wissen zur Ableitung von Produkten genutzt und dabei folgendes rausbekommen:
$ f '(x)  = [mm] 6x*e^{-4x} [/mm] + [mm] 3x^{2}*(-4)*e^{-4x}$ [/mm]
was zusammengefasst das ist:
$ f '(x)  = [mm] e^{-4x} (6x+3x^{2}) [/mm] $   ???


Die andere Aufgabe wäre :

$ f (x)  =  [mm] \bruch{4}{(2x+1)^{2}} [/mm] $

Um die Quotientenregel anzuwenden brauch ich ja für v die Ableitung von $ [mm] {(2x+1)^{2}} [/mm] $ . (?)
Hierbei muss ich die Verkettungsregel anwenden.
$ f '(x) = 4x(2x+1) $
Wäre das richtig?

Die Quotientenregel ist mir dann aber nicht mehr so ganz schlüssig (wegen dem Quadrat).


Wäre wirklich sehr nett wenn mir jemand sagen könnte, ob das richtig ist oder nicht.

Vielen Dank

Jana



        
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mo 24.01.2005
Autor: Bastiane

Hallo Joghurtbecherdeckel!
(cooler Name - *lol*)
[willkommenmr]

> Die erste wäre [mm]f (x) = 3x^{2} * e^{-4x}[/mm]
>  
> Hier hab ich mein "unerschöpfliches" Wissen zur Ableitung
> von Produkten genutzt und dabei folgendes rausbekommen:
>  [mm]f '(x) = 6x*e^{-4x} + 3x^{2}*(-4)*e^{-4x}[/mm]
> was zusammengefasst das ist:
>  [mm]f '(x) = e^{-4x} (6x+3x^{2})[/mm]   ???

[daumenhoch]
super! das stimmt! Man könnte es allerdings auch so zusammenfassen (aber das ist nur eine Schönheitssache: der eine mag es so lieber, der andere anders):
[mm] f'(x)=6xe^{-4x}-12x^2e^{-4x} [/mm]

> Die andere Aufgabe wäre :
>  
> [mm]f (x) = \bruch{4}{(2x+1)^{2}}[/mm]
>  
> Um die Quotientenregel anzuwenden brauch ich ja für v die
> Ableitung von [mm]{(2x+1)^{2}}[/mm] . (?)
>  Hierbei muss ich die Verkettungsregel anwenden.
> [mm]f '(x) = 4x(2x+1)[/mm] [notok] Hier ist ein Faktor x zu viel! (informix)
>  Wäre das richtig?

[daumenhoch] auch das stimmt! So schlecht scheinst du doch gar nicht zu sein!?! :-) [notok]
  
> Die Quotientenregel ist mir dann aber nicht mehr so ganz
> schlüssig (wegen dem Quadrat).

So, bei der Quotientenregel steht ja im Zähler: "Ableitung des Zählers mal den Nenner - Ableitung des Nenner * den Zähler"
und im Nenner steht der Nenner zum Quadrat. Und was dich verwirrt, ist wahrscheinlich, dass das Quadrat nochmal quadriert wird, oder? Daraus wird dann aber einfach ein "hoch 4". ;-)
Also haben wir:
[mm] f'(x)=\bruch{-4(4x(2x+1))}{(2x+1)^4} [/mm]
[mm] =\bruch{-16x}{(2x+1)^3} [/mm] (einfach gekürzt)

Sind jetzt alle Unklarheiten beseitigt? *gg*
Ansonsten frag ruhig nochmal nach. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

Bezug
                
Bezug
Ableitungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 24.01.2005
Autor: Joghurtbecherdeckel

Vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort. :-)


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Bezug
Ableitungen: kleiner Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Di 25.01.2005
Autor: informix

Hallo Jana,
[willkommenmr]
>  
> Ich hab etliche Aufgaben bekommen um an diesen die
> Ableitungsregeln zu erklären nur leider bin ich mir bei
> zwei nicht ganz sicher, ob ich die wirklich richtig gelöst
> hab.
>  
> Die erste wäre [mm]f (x) = 3x^{2} * e^{-4x}[/mm]
>  
> Hier hab ich mein "unerschöpfliches" Wissen zur Ableitung
> von Produkten genutzt und dabei folgendes rausbekommen:
>  [mm]f '(x) = 6x*e^{-4x} + 3x^{2}*(-4)*e^{-4x}[/mm]
> was zusammengefasst das ist:
>  [mm]f '(x) = e^{-4x} (6x+3x^{2})[/mm]   ???  [ok]  
>
> Die andere Aufgabe wäre :
>  
> [mm]f (x) = \bruch{4}{(2x+1)^{2}}[/mm]
>  
> Um die Quotientenregel anzuwenden brauch ich ja für v die
> Ableitung von [mm]{(2x+1)^{2}}[/mm] . (?)
>  Hierbei muss ich die Verkettungsregel anwenden.
> [mm]f '(x) = 4x(2x+1)[/mm]    [notok]
>  Wäre das richtig?

nein, wie du in diesem Fall leicht überprüfen könntest:
$v(x) = [mm] (2x+1)^2 [/mm] = [mm] 4x^2+4x+1$ [/mm]  
$v'(x) = 8x+4 = 4(2x-1)$
oder mit Kettenregel:
$v'(x) = 2*2*(2x+1)$
> Die Quotientenregel ist mir dann aber nicht mehr so ganz
> schlüssig (wegen dem Quadrat).

>
[mm]f (x) = \bruch{4}{(2x+1)^{2}}[/mm]
hierbei würde ich gar nicht die Quotientenregel anwenden. ;-)
[mm]f (x) = \bruch{4}{(2x+1)^{2}}= 4*(2x+1)^{-2}[/mm]
$f'(x) = [mm] 4*(-2)*2*(2x+1)^{-3} [/mm] = [mm] -16*(2x+1)^{-3}$ [/mm]
mit Quotientenregel geht's natürlich auch:
$f'(x) = [mm] \bruch{0 - 4* 2*2*(2x+1)}{(2x+1)^4} [/mm] = [mm] -16*(2x+1)^{-3}$ [/mm]

alles klar?
Bezug
                
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 25.01.2005
Autor: Joghurtbecherdeckel

Ja stimmt ohne die Quotientenregel ist es verständlicher. Danke.

Ich hab aber noch ein weiters Problem

Die Formel wäre $ f = ln (2 + [mm] 3x^2) [/mm] $

$ u(x) = ln x $                         $ v(x) = 2+ [mm] 3x^2 [/mm] $
$ u'(x) = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]                  $ v'(x) = 6x $

Aber wie gehts nun weiter mit der Formel für die Produktregel (?).
Bei mir kommt nun Blödsinn raus.


LG

Jana
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Ableitungen: Kein Produkt !!!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 25.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Joghurtbecherdeckel ;-) !!!


> Ich hab aber noch ein weiters Problem
> Die Formel wäre [mm]f(x) = ln (2 + 3x^2)[/mm]
>  
> [mm]u(x) = ln x[/mm]                         [mm]v(x) = 2+ 3x^2[/mm]
> [mm]u'(x) = \bruch{1}{x}[/mm]
>                  [mm]v'(x) = 6x[/mm]

[notok] [notok]


[aufgemerkt] Hierbei handelt es sich nicht um ein Produkt!!!

Wir haben hier die ln-Funktion mit dem Argument [mm] "$2+3x^2$". [/mm]
Es liegt eine sog. "verkettete Funktion" vor.

Um hier die Ableitung bilden zu können, müssen wir die MBKettenregel ("äußere Ableitung" × "innere Ableitung") anwenden!


Äußere Funktion: $ln(z)$ mit [mm] $\left[ ln(z) \right]' [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}$ [/mm]

Innere Funktion: [mm] $2+3x^2$ [/mm] mit [mm] $\left( 2+3x^2 \right)' [/mm] = 6x$


Probiere es doch mal und poste hier Deine Ergebnisse ...

Loddar

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Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 25.01.2005
Autor: Joghurtbecherdeckel

Wäre  $ f' =  [mm] \bruch{1}{(2 + 3x^2)} [/mm] * 6x $
richtig?
Bezug
                                        
Bezug
Ableitungen: Richtig ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Di 25.01.2005
Autor: Loddar


> Wäre [mm]f'\red{(x)} = \bruch{1}{(2 + 3x^2)} * 6x[/mm]  richtig?

"Wäre" nicht, aber es IST richtig ... [daumenhoch]



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