Ableitungen der Zweinorm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Zweinorm Z mit [mm] Z=\wurzel[2]{x^2+y^2} [/mm].
[mm] f:R^2->R
[/mm]
(x,y)->Z |
Dann ist die erste Ableitung nach x:
[mm] D_{1}f=xZ^{-1} [/mm]
leite ich nun diese Ableitung erneut nach x ab, komme ich nciht so recht voran:
[mm] D_{11}f=D_{1}(D_{1}f)= Z^{-1}+x(-1)Z^{-2}2x=Z^{-1}-2x^2Z^{-2}[/mm]
Ist das richtig? Hier ist doch die Produktregel ((uv)'=u'v+uv') anzuwenden, oder?
Ich habe irgendwie eine als richtige Lösung etwas vorliegen, was zu meiner Lsg nicht passen mag.
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Hi grüß dich,
> Berechne alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der
> Zweinorm Z mit [mm]Z=\wurzel[2]{x^2+y^2} [/mm].
> [mm]f:R^2->R[/mm]
> (x,y)->Z
> Dann ist die erste Ableitung nach x:
>
> [mm]D_{1}f=xZ^{-1}[/mm]
>
> leite ich nun diese Ableitung erneut nach x ab, komme ich
> nciht so recht voran:
>
> [mm]D_{11}f=D_{1}(D_{1}f)= Z^{-1}+x(-1)Z^{-2}2x=Z^{-1}-2x^2Z^{-2}[/mm]
>
> Ist das richtig? Hier ist doch die Produktregel
> ((uv)'=u'v+uv') anzuwenden, oder?
Entweder die Produkt- oder halt die Quotientenregel.
Ich mache das mal mit der Quotientenregel: [mm] (u/v)'=(u'v-uv')/v^2
[/mm]
Wir haben also [mm] g(x,y):=\partial_xZ(x,y)=\frax{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Also
u=x
u'=1
[mm] v=\sqrt{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] v'=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
[/mm]
Somit haben wir:
[mm] \partial_xg(x,y)=\frac{1*\sqrt{x^2+y^2}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
}{\sqrt{x^2+y^2}^2}
[/mm]
[mm] =\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}-\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}
[/mm]
[mm] =\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}^3}
[/mm]
Fertsch die Laube.
Die Ableitungen nach y sind ja dann analog - da das ganze symmetrisch ist.
Liebe Grüße
>
> Ich habe irgendwie eine als richtige Lösung etwas
> vorliegen, was zu meiner Lsg nicht passen mag.
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Hallo, danke f d Antwort.
Es sollte mei mir jedoch per Produktregel im Endergebnis dasselbe herauskommen, oder? Wo ist denn da der Fehler?
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Hi,
Du hattest:
$ [mm] D_{11}f=D_{1}(D_{1}f)= Z^{-1}+x(-1)Z^{-2}2x=Z^{-1}-2x^2Z^{-2} [/mm] $
Wobei bei dir [mm] D_1f=xZ^{-1} [/mm] ist.
Dann ist mit Produktregel
[mm] D_{11}f=Z^{-1}-x*Z'*Z^{-2}
[/mm]
Der letzte Summand ist eben mit Kettenregel zu behandeln. Es scheint so, als hättest du das nicht beachtet.
Mal nebenbei: Ich finde deine Bezeichnungen nicht wirklich gut. Besser wäre, wenn du D_xZ schreibst, oder noch besser [mm] \frac{\partial}{\partial{x}}Z(x,y). [/mm] ich bin da auch immer ein bisschen nachlässig und schreibe häufig abkürzend [mm] \partial_x{f}. [/mm] Also Index jedoch Zahlen zu verwenden ist nicht wirklich gut.
Liebe Grüße
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[mm] D_{11}f=Z^{-1}+x(Z^{-1})' [/mm]
[mm] (Z^{-1})' =(-1)Z^{-2}2x [/mm]
wobei [mm] (-1)Z^{-2} [/mm] die äußere Ableitung ist und 2x die Innere.
So komme ich aber nicht auf das Ergebnis.
Wo ist der Fehler?
Zu den Bezeichnungen:
Wenn der Kontext/die Bedeutung der Notation klar ist, ist die meinige m E sogar die bessere Schreibweise, weil der mathematischen Natur entsprechend minimalistisch. Die Scnhreibweisen sind jedenfalls gleichbedeutend. Deine Schreibweise ist eher bei Nat.wissenschaftlern, meine bei Mathematikern gänging. So zumindest mein Eindruck. Dennoch habe ich auch erst Deine Schreibweise gelernt und ja, sie hat Vorteile: Immerhin taucht die Ableitungsvariable darin konkret auf, sodass man weiß, was man vorhat.
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Hiho,
> [mm](Z^{-1})' =(-1)Z^{-2}2x [/mm]
Das ist falsch, Rechne das nochmal nach und du wirst feststellen, dass es nicht stimmt. Du vernachlässigst nämlich, dass Z selbst wieder eine Funktion in x ist und nicht nur von [mm] x^2 [/mm] abhängt. Die innere Ableitung ist also eine andere.
> Wenn der Kontext/die Bedeutung der Notation klar ist, ist
> die meinige m E sogar die bessere Schreibweise, weil der
> mathematischen Natur entsprechend minimalistisch.
Nein.
> Die Scnhreibweisen sind jedenfalls gleichbedeutend. Deine
> Schreibweise ist eher bei Nat.wissenschaftlern, meine bei
> Mathematikern gänging. So zumindest mein Eindruck.
Da täuschst du dich.
> Dennoch habe ich auch erst Deine Schreibweise gelernt und ja, sie
> hat Vorteile: Immerhin taucht die Ableitungsvariable darin konkret auf, sodass man weiß, was man vorhat.
Was bei dir offensichtlich noch notwendig ist, daher verwende die korrekte Schreibweise, dann bist du auch nicht so fehleranfällig.
Gruß,
Gono.
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Zur Ableitung:
Ich hab jetzt mal die Norm ausgeschrieben und damit gerechnet:
[mm] ((\wurzel{x^2+y^2})^{-1})'_{x} = (-1)(\wurzel{x^2+y^2})^{-2}\bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2}}2x [/mm]
Ist die KEttenregel hier richtig 2x angewendet?
Zur Notation:
"> Wenn der Kontext/die Bedeutung der Notation klar ist, ist
> die meinige m E sogar die bessere Schreibweise, weil der
> mathematischen Natur entsprechend minimalistisch.
Nein."
Dann ist es vlt. eine Geschmacksfrage.
"> Die Schreibweisen sind jedenfalls gleichbedeutend. Deine
> Schreibweise ist eher bei Nat.wissenschaftlern, meine bei
> Mathematikern gänging. So zumindest mein Eindruck.
Da täuschst du dich. "
Warum existiert diese Schreibweise dann und wird verwendet? Stell es doch mal richtig, was nicht zutreffend ist.
"
> Dennoch habe ich auch erst Deine Schreibweise gelernt und ja, sie
> hat Vorteile: Immerhin taucht die Ableitungsvariable darin konkret auf, sodass man weiß, was man vorhat.
Was bei dir offensichtlich noch notwendig ist, daher verwende die korrekte Schreibweise, dann bist du auch nicht so fehleranfällig. "
Sorry, aber mglw. hat das eine nichts mit dem anderen zu tun. ("korrekte Schreibweise" bzgl. meines Problems wäre besser gleichbedeutend mit dem korrekten Ausschreiben und Ableiten der Norm. Das hat nichts mit der definierten Notation von Ableitungen zu tun)
Es gibt m. E. auch nicht DIE korrekte Schreibweise. Das würde ja bedeuten, dass meine Schreibweise inkorrekt wäre. Für diesen Fall würde ich Dir sonst die Kontaktdaten meines Profs geben, denn ICH habe mir das nicht ausgedacht.
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Hi,
> Zur Ableitung:
> Ich hab jetzt mal die Norm ausgeschrieben und damit
> gerechnet:
>
>
> [mm]((\wurzel{x^2+y^2})^{-1})'_{x} = (-1)(\wurzel{x^2+y^2})^{-2}\bruch{1}{2\wurzel{x^2+y^2}}2x [/mm]
>
> Ist die KEttenregel hier richtig 2x angewendet?
Ja, das passt so!
Wir wollen dich ja nicht mit den Hinweisen bzgl. der Notation ärgern. Wir geben dir eben nur den Hinweis, dass es im allgemeinen keine gute Notation ist. Dies würde ich sogar einem Prof schreiben.
Man bezeichnet durchaus manchmal $Df$ die Jacobimatrix von f. Das ist durchaus üblich. Dann würde aber [mm] D_1 [/mm] wenig Sinn ergeben.
Zumal: Wo ist denn das Problem [mm] D_x [/mm] anstatt [mm] D_1 [/mm] zu schreiben? Zusätzlich die Zahlen einzuführen führt doch eher zu Verwirrung. Ich sag es so, wie es ist: Üblich ist deine Notation nicht.
Darf ich mal fragen, ob dein Prof ein Skript hat, wo man eventuell mal die Einführung der Notation nachvollziehen kann?
Liebe Grüße
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Ich finde andere, etwa v Euch genannte, Notationen besser. Keine Frage.
Die v mir vorgestellte Notation ist bzgl der Einführung partieller Ableitungen schon konsistent:
[ich hoffe ich krieg es aus dem Kopf richtig zusammen:]
Sei [mm] f:M->R^n, [/mm] a aus M aus R
Die Bezeichnung [mm]D_{k}[/mm] mit k=1...n für die part. Ableitung kommt daher, dass diese Ableitungen in einem Pkt. [mm] a=(a_{1}..a_{n}). [/mm] aus M auf Parallelen zu der jeweiligen [mm]x_{k}[/mm]-Achse laufen, also die "Richtungen der jeweiligen Abelitungsvariable" [mm]x_{1},x_{2},...,x_{k},[/mm].
Es wird eine Fktn [mm]\gamma_{k}[/mm] eingeführt, die die Punkte aus M auf diesen Achsen-Parallelen, die durch a gehen, durchläuft.
Die partielle Ableitung ist dann [mm](f\circ\gamma_{k})'(a_{k})[/mm] und wird mit [mm]D_{k}f[/mm] bezeichnet.
Das ist jetzt mal der Ansatz für die einfache Ableitung.
[mm][/mm]
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Wenn das stimmt, dann ist das gleichbedeutend mit
(1) [mm] (Z^{-1})'_{x} = (-1)Z^{-2}\bruch{1}{2Z}2x=-\bruch{x}{Z^3} [/mm]
Vorher war schon mit der Produktregel fuer die partielle Ableitung zweiten Grades nach x (mit [mm] (Z)'_{x}=x/Z=xZ^{-1} [/mm] )
(2) [mm] D_{1}(D_{1}f)=((Z)'_{x})'_{x}= Z^{-1}+x(Z^{-1})'_{x} [/mm]
Setze ich jetzt (1) in (2) ein, sollte die richtige Lsg herauskommen:
[mm] D_{1}(D_{1}f)=((Z)'_{x})'_{x}= Z^{-1}-\bruch{x^2}{Z^3} [/mm]
Ist das äquivalent zu ("Soll-Lsg.") [mm] y^2Z^{-3} [/mm] ?
Edit:
Ja, es ist tatsächlich äquivalent, wenn man das ganze Ding auseinanderschraubt und nen Hauptnennerbildet und dann wieder zusammenschraubt. Zefix! Was für ein Akt!
Danke für's Gespräch, gerade auch an mich...:)
[mm] [/mm]
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Hiho,
> Ja, es ist tatsächlich äquivalent, wenn man das ganze
> Ding auseinanderschraubt und nen Hauptnennerbildet und dann
> wieder zusammenschraubt. Zefix! Was für ein Akt!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono.
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Ich bin gerade (über die eigentliche Aufgabe hinaus...) bei
[mm] D_{1222} = (\bruch{x^3+2xy^2}{Z^5})'_{y} [/mm]
wobei die part. Abl. in der Klammer, dei jetzt nach y abgeleitet werden soll, richtig ist.
Ich komme auf
[mm] - \bruch{x^3y+6xy^3}{Z^7} [/mm]
Ist das richtig?
Ich wollte es mit Wolframalpha überprüfen, aber das sieht mir komisch aus:
www.wolframalpha.com und dann [mm] f(y)=(x^3+2xy^2)/((x^2+y^2)^{5/2}) [/mm] eingeben
Hab ich etwas falsch eingegeben?
[mm] [/mm]
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Hallo,
> Ich bin gerade (über die eigentliche Aufgabe hinaus...)
> bei
>
> [mm]D_{1222} = (\bruch{x^3+2xy^2}{Z^5})'_{y}[/mm]
>
> wobei die part. Abl. in der Klammer, dei jetzt nach y
> abgeleitet werden soll, richtig ist.
>
> Ich komme auf
>
> [mm]- \bruch{x^3y+6xy^3}{Z^7}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Bis auf den ersten Summanden im Zähler erhalte ich das auch.
Also hat sich einer von uns beiden verrechnet.
Um herauszufinden, wer, poste deine Rechnung, dann können wir uns durchhangeln ...
Übrigens stimmt Wolframs Ergebnis mit meinem überein, was darauf hindeutet, dass es wohl stimmen könnte ...
>
> Ich wollte es mit Wolframalpha überprüfen, aber das sieht
> mir komisch aus:
> www.wolframalpha.com und dann
> [mm]f(y)=(x^3+2xy^2)/((x^2+y^2)^{5/2})[/mm] eingeben
>
> Hab ich etwas falsch eingegeben?
Offenbar ... zumal da ein Vorzeichen nicht stimmt ...
Gehe auf
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=573b80650294c6eb196b6552d4396ebb
und tippe hinter $f(x,y)$ den Funktionsterm ein und lasse dir nacheinander die Ableitungen ausgeben, nach x, dann vom Ergebnis nach y usw...
Gruß
schachuzipus
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Also, in der Tat stimmt die von mir als "defenitiv richtig" bezeichnete partl. Ableitung, die ich dann erneut ableiten will, NICHT. Vorzeichenfehler, sodass ich nach dessen Korrektur dann auch auf ein richtiges Ergebnis komme.
$ [mm] D_{1222} [/mm] = [mm] (\bruch{-x^3+2xy^2}{Z^5})'_{y}=(9x^3*y-6xy^3)Z^{-7} [/mm] $
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Wie wandelt man eine Frage in eine Mitteilung um?
Ich konnte nur den Weg andersherum finden.
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