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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Fr 10.02.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Es sei A = (1, 0, 1) und B = (0, 1, 0). Geben Sie in
Hessescher Normalenform die Ebene E an, deren Punkte von
beiden Punkten A und B denselben Abstand besitzen.
Bestimmen Sie eine Ebene F so, dass sie die
Verbindungsstrecke von A und B enthält und einen
Richtungsvektor (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] besitzt. Geben Sie die
Schnittgerade von E und F an. |
Hallo,
also ich habe mir zunächst gedacht, dass ich einfach von A
nach B den Richtungsvektor berechne und den als
Normalenvektor für meine Ebene E nehme, aber wie mache ich
weiter? Habe dann noch den Betrag ausgerechnet und denke
mir, dass ich die Ebene zwischen die beiden Punkte packe
und sie hätte dann zu beiden Punkten den Abstand
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Mit der zweiten Ebene habe ich nur ein Problem. Ich habe
einen Richtungsvektor gegeben und der andere ist der
Normalenvektor der Ebene E, aber wie komme ich auf meinen
Stützvektor für die Parameterform oder kann ich einfach mit
den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor errechnen
und dann die Normalenform der Ebene F angeben, aber wie
würde ich dann das "d" in
[mm] \vec{r} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = d
berechnen? Mir fällt auf, dass ich bei beiden Ebenen keine
Idee habe, wie ich auf das "d" komme, da ich keinen
weiteren Punkt der Ebene besitze.
Gruß
al3pou
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Hi,
> also ich habe mir zunächst gedacht, dass ich einfach von A
> nach B den Richtungsvektor berechne und den als
> Normalenvektor für meine Ebene E nehme, aber wie mache ich
> weiter?
Bis hierhin war es ein guter Ansatz, den Normalenvektor verwendest du.
> Habe dann noch den Betrag ausgerechnet und denke
> mir, dass ich die Ebene zwischen die beiden Punkte packe
> und sie hätte dann zu beiden Punkten den Abstand
>
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
Es muss immer wieder gesagt werden: in der Vektorrechnung ist ja gerade einer der großen Vorteile, dass Längen und damit auch Abstände in einem Vektor des [mm] \IR^n [/mm] bereits 'eingepreist' sind. Man rechnet also besser mit Vektoren als mit Längen.
Die Normalenform einer Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] lautet ja
E: [mm] \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)*\overrightarrow{n}=0
[/mm]
Hier ist n der Normalenvektor und P ein beliebiger Punkt auf E. Weiter ist die Gleichung äquivalent zu
[mm] \overrightarrow{x}*\overrightarrow{n}=\overrightarrow{p}*\overrightarrow{n}
[/mm]
woraus man die Konstante d auf der rechten Seite der Koordinaten/Normalenform sofort mit
[mm] d=\overrightarrow{p}*\overrightarrow{n}
[/mm]
bekommt. Welchen Punkt nimmst du hier wohl für P (entgegen deiner Annahme ist ein Punkt eindeutig gegeben!)?
> Mit der zweiten Ebene habe ich nur ein Problem.
Steht in der Aufgabe irgendwo, dass du ihre Gleichung bestimmen musst? Lies nochmal ganz genau die Aufgabenstellung... 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Fr 10.02.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, also den Punkt finde ich nicht wirklich in der
Aufgabenstellung, aber wenn ich einfach mit
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
rechne
[mm] \vec{a} [/mm] * 0.5 [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{p}
[/mm]
dann ist doch [mm] \vec{p} [/mm] der Ortsvektor zu dem Punkt der auf
der Ebene E liegt oder etwa nicht. Ich nehme einfach die
Hälfte und da die Ebene direkt zwischen den beiden Punkten
liegt müsste es doch richtig sein.
In der Aufgabenstellung steht doch "Bestimmen Sie eine
Ebene F..." also muss ich doch eine Gleichung aufstellen.
Gruß
al3pou
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Hallo,
> Okay, also den Punkt finde ich nicht wirklich in der
> Aufgabenstellung, aber wenn ich einfach mit
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> rechne
>
> [mm]\vec{a}[/mm] * 0.5 [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vec{p}[/mm]
>
> dann ist doch [mm]\vec{p}[/mm] der Ortsvektor zu dem Punkt der auf
> der Ebene E liegt oder etwa nicht. Ich nehme einfach die
> Hälfte und da die Ebene direkt zwischen den beiden Punkten
> liegt müsste es doch richtig sein.
richtig gedacht, nur falsch aufgeschrieben. Den Mittelpunkt bekommst du mit
[mm] \overrightarrow{m}=0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}+0,5*\overrightarrow{AB}.
[/mm]
> In der Aufgabenstellung steht doch "Bestimmen Sie eine
> Ebene F..." also muss ich doch eine Gleichung aufstellen.
Asche auf mein Haupt, das hatte ich überlesen. Die Schnittgerade lässt sich unmittelbar angeben, die Ebenengleichung musst du noch bestimmen. Du hast jedoch hierzu allle Zutaten: zwei Richtungsvektoren und jede Menge Punkte auf F...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 11.02.2012 | | Autor: | al3pou |
okay, ich habe jetzt die Gleichung für Ebene E aufgestellt:
E : [mm] \vec{r} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
und da die ja in Hessescher Form angegeben werden soll muss
ich doch durch den Betrag des Normalenvektors teilen also:
E : [mm] \vec{r} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Die zweite Ebene soll die Verbindungsgerade [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]
enthalten also wäre die Parameterform:
F : [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt kann ich doch die zweite in die erste Gleichung
einsetzen und erhalte damit folgende Gleichung nach [mm] \mu [/mm]
aufgelöst:
[mm] \mu [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] + [mm] 3\lambda
[/mm]
Das setze ich nun wieder in meine Ebenengleichung von F ein
und erhalte damit die Schnittgerade zu:
g: [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{-0.5 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] r\vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Hoffe das stimmt so alles.
Gruß
al3pou
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Hallo,
die erste Version der Gleichung von E passt, ich würde aber zwei Dinge anders machen: den Ortsvektor bezeichnet man gewöhnlich mit x, und ich würde das ganze noch mit -1 durchmultiplizieren zu
[mm]E: \overrightarrow{x}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}=\bruch{1}{2}[/mm]
Bei der HNF hast du zwei Fehler gemacht: rechts muss natürlich auch durch Wurzel 3 dividiert werden. Außerdem ist die Schreibweise
[mm] \overrightarrow{x}*a\overrightarrow{r}
[/mm]
nicht gut. Obwohl aus dem Kontext hervorgeht, dass der Malpunkt hier für mdie Multiplikation mit einem Skalar steht (und das Symbol für das Skalarprodukt weggelassen wurde), ist das in meinen Augen eine missverständliche Schreibweise. Ziehe entweder den Bruch hinter den Richtungsvektor, setze sinnvolle Klammern, oder multipliziere ihn in den Richtungsvektor hinein.
Die Gleichung von F passt. Bei der Bestimmung der Schnittgeraden g von E und F ist dir m.A. nach ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Ich bekomme als Richtungsvektor
[mm] \overrightarrow{r}_g=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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