Abstandaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 Do 24.07.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Abstand eines Festen Punktes A (x0 /y0) ZU EINEM pUNKT P(x/y) auf dem Graphen einer Funktion f lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: d(x) = [mm] \wurzel{(x-x0)^2 + (f(x)-y0)^2}
[/mm]
Es sollen die Punkte eines Funktionsgraphen bestimmt werden,die von A einen minimalen oder maximalen Abstand haben.
a) Warum ist es zulässig als Zielfunktion auch das Abstandsquadrat g(x)= [mm] (d(x))^2 [/mm] zu verwenden?
b)Bestimmen sie den minimalen und maximalen Abstand vvon A zum Graphen von f.
1. A(0/0) und f(x) [mm] =4-x^2
[/mm]
2.A(1/3) UND f(x)= 3x [mm] -(1/2)x^2 [/mm] mit x größer =0 und x kleiner =6 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo ,kann mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein?
ich verstehe beim besten willen dieESE aUFGABE NICHT...
ich weiss nicht wie die mit dem Satz des pythagoras auf d(x) schließen und verstehe ansonsten auch nicht die Aufgabenstellung....also eher nicht was ich da genau machen sol...
wäre nett wen mir wer hilft...
danke
robert
|
|
| |
|
Hallo!
Wie berechnest du denn den Abstand zwischen zwei Punkten [mm] (x_1|y_1) [/mm] und [mm] (x_2|y_2) [/mm] ?
Verbinde die beiden Punkte doch mal, und ergänze die Verbindungslinie zu einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Katheten parallel zur x und y-Achse sind. Die Länge der Katheten kannst du ausrechnen: [mm] |x_2-x_1| [/mm] und [mm] |y_2-y_1|
[/mm]
Und dann mittels Pythagoras auch die Länge der Hypothenuse, welche ja grade der Abstand ist. Bis hier hin solltest du das können.
Nun wird der zweite Punkt durch einen Punkt auf einer Funktionskurve gegeben: (x|f(x)) . Denk mal drüber nach, daß das eine Beschreibung der Kurve ist!
Wird dir nun klar, wie die auf die Abstandsformel kommen?
Generell hat die Formel nun einen freien parameter, an dem du drehen kannst: x
Damit verschiebst du den zweiten Punkt!
Damit solltest du nun wissen, was du machen mußt: Die Extrema der Abstandsfunktion finden. Also diese Formel nach x ableiten, =0 setzen, und nach x auflösen.
Jetzt raten die dir aber zur Vereinfachung, daß du das Wurzelzeichen weg lassen kannst.
Warum? Denk mal dran, daß die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist. Was passiert, wenn das, was unter der Wurzel grade ein Minimum / Maximum hat? Dann hat auch die gesamte Funktion mit wurzel ein Minimum / Maximum!
Überlege dir mal, warum das so ist (z.B. auch mit einfachen beispielen), aber für die Aufgabe kannst du erstmal benutzen, daß du das Wurzelzeichen weglassen kannst.
|
|
|
|
