Abstandberechnung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade den ABstand zwischen dem Punkt
P(4|2|1) und der folgende Ebene zu berechnen: E : 2x1 + 2x2 + x3 = 1.
Mein Rechenweg war der folgende:
Hesschen Normalform aufstellen: E: (x-(2/0/3)) * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
DAnn setzte ich meinen Punkt in x ein.
Wenn ich das aber ausrechne komme ich auf 2 LE. In der Lösung, die ander berechnet wurde steht jedoch 4. Wo liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 26.02.2012 | | Autor: | murmel |
Die HESSE-Normalenform:
[mm]E: \bruch{2}{3}\,x_1 + \bruch{2}{3}\,x_2 + \bruch{1}{3}\,x_3 = \bruch{1}{3} [/mm]
Dann ist der Abstand $A$ deines Punktes $P$ von der Ebene und $d = 1/3$ der Abstand der Ebene zum Nullpunkt:
[mm]A = \left| \vec{n} \circ \vec{p} \textcolor{blue}{- d} \;\right| [/mm]
[mm]A = \left| \begin{pmatrix} 2/3\\ 2/3\\ 1/3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \textcolor{blue}{- \bruch{1}{3}} \;\right| \quad = \bruch{8}{3} + \bruch{4}{3} + \bruch{1}{3} \textcolor{blue}{- \bruch{1}{3}} = 4
[/mm]
Gruß
murmel
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