Algebraische Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K [mm] \subseteq [/mm] L eine algebraische Körpererweiterung und [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in [/mm] L.
Sind die Körpergrade
m = [mm] [K(\alpha):K] [/mm]
und
n = [mm] [K(\beta):K] [/mm]
teilerfremd, so gilt
[mm] [K(\alpha,\beta):K] [/mm] = m*n. |
Hallo allerseits!
Mir ist die Aufgabe nur soweit klar, daß ich die Gradformel anwenden kann, sobald ich weiß, daß
[mm] [K(\alpha,\beta):K(\alpha)] [/mm] = n
bzw.
[mm] [K(\alpha,\beta):K(\beta)] [/mm] = m
gilt. Aber ich habe irgendwie entweder ein Brett vor dem Kopf, oder ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Mein Informations-/Wissensstand über Körpererweiterungen basiert auf den Büchern von Bosch und Jantzen/Schwermer, falls das irgendwem hilft. Ich habe auch noch das Buch von Hungerford da. Das nur so als Hinweise, falls mir jemand sagen möchte "Du, schau Dir doch einfach den und den Satz an!". 
Bin für jede Hilfe dankbar. Die Aufgabe ist eine Aufgabe auf dem aktuellen Übungsblatt - den Rest habe ich schon, nur diese eine Aufgabe fuchst mich einfach. *grummel*
Liebe Grüße,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 22.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo Alex,
hmm, ich hätte auf die Schnelle folgenden Ansatz zu bieten: Wegen
$K [mm] \subseteq K(\alpha) \subseteq K(\alpha,\beta)$ [/mm]
und
$K [mm] \subseteq K(\beta) \subseteq K(\alpha,\beta)$
[/mm]
gelten doch
$m = [mm] [K(\alpha) [/mm] : K] [mm] \Bigl.\;\Bigm|\;\Bigr. [K(\alpha,\beta) [/mm] : K]$
sowie
$n = [mm] [K(\alpha) [/mm] : K] [mm] \Bigl.\;\Bigm|\;\Bigr. [K(\alpha,\beta) [/mm] : K]$.
Also wird [mm] $[K(\alpha,\beta) [/mm] : K]$ vom kgV von $m$ und $n$ geteilt, was gerade $mn$ ist. Das liefert eine Abschätzung von [mm] $[K(\alpha,\beta) [/mm] : K]$ nach unten. Jetzt brauchst Du nur noch eine Abschätzung nach oben. Aber die dürfte nicht so schwierig sein, denke ich.
Hoffe, das hilft.
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