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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Sa 24.04.2010 | | Autor: | nicom88 |
| Aufgabe |
Die Punkte A (5 | 2 | 8) und B (3 | 3 | 5) liegen auf der Schnittgeraden zweier Ebenen, E1 und E2, des IR³.
Ferner ist P (4 | 7 | 5) ein Punkt von E1 und Q (2| 3 | 8) ein Punkt von E2.
a)Weisen Sie nach, dass die beiden Ebenen sich rechtwinklig schneiden!
b)Unter welchen Winkeln schneidet die Gerade PQ die beiden Ebenen?
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Heyho, und zwar würde ich euch bitten, kurz meine Anmerkungen zu dieser Frage anzugucken und ggf. auf Fehler hinzuweissen =)
Also, zuerst habe ich die Schnittgeradengleichung aufgestellt.
Ich habe den Punkt A als Ortsvektor der Geraden genommen und den Verbindungsvektor von A und B als Richtungsvektor.
Verbindungsvektor [mm] A-B=\vektor{2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
Geradengleichung: x= [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 8} [/mm] + r [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
Nun habe ich die beiden Ebenengleichungen aufgestellt. Dazu habe ich einfach die Geradengleichung genommen und einen Richtungsvektor mit Parameter hinzugefügt.
Der neue Richtungsvektor setzt sich zusammen aus jeweils dem Punkt A minus dem jeweiligen Punkt der Ebene (P oder Q), also die Verbindungsvektoren.
E2: x= [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 8} [/mm] + s [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
E1: x= [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 8} [/mm] +u [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] v\vektor{1 \\ -5 \\ 3}
[/mm]
Nun habe ich von beiden Ebenen den Normalenvektor gebildet und deren Skalarprodukt berechnet. Das Skalarprodukt ergab Null, also sind beide Vektoren orthogonal zueinander, somit schneiden sich die beiden Ebenen rechtwinklig.
n von E1 [mm] \vektor{12 \\ -3 \\ -9}
[/mm]
n von E2 [mm] \vektor{3 \\ 9 \\ 1}
[/mm]
Zu b). Da bin ich etwas überfragt.
Ich habe erst einmal die Gerade PQ bestimmt: x= [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 5} [/mm] + w [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ 3} [/mm] (Ortsvektor P und Verbindungsvektor PQ)
Die Formel für die Berechnung des Schnittwinkels lautet:
cos [mm] \alpha=\bruch{a*b}{|a|*|b|}
[/mm]
Theoretisch müsste ich doch nur als Vektoren den Normalenvektor einer Ebene und den Richtungsvektor der Geraden einsetzen, um den Schnittwinkel berechnen zu können, oder? Das dann jeweils bei den beiden Ebenen, um die Schnittwinkel zu bekommen.
Vielen Dank für eure Zeit und Mühe!!
ein schönes Restwochenende wünsche ich!
Nicom88
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Hallo,
aufgabe a) ist richtig.
bei aufgabe b) ist ein kleiner trick von nöten. nutze die tatsache, dass der cosinus ein um 90 grad verschobener sinus ist. Es ist also [mm] cos(x)=sin\left(\bruch{\pi}{2}-x\right) [/mm] . Mit anderen Worten kannst du den cosinus hier einfach durch einen sinus ersetzen um die 90°, die duch den Normalenvektor zusätzlich da sind auszugleichen. Dann solltest du das ergebnis erhalten :)
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 25.04.2010 | | Autor: | nicom88 |
Hey vielen Dank für die schnelle Antwort =)
Aber irgendwie bekomme ich das nicht hin...
Ich bekomme entweder mehr oder weniger als 180° heraus, was eigentlich ja nicht sein kann.
Kannst du mir Zwischenergebnisse geben?^^
In der Rechnung eben habe ich z.B. für [mm] \alpha [/mm] = 28,26° und für /beta = 49,39°
Der Richtungsvektor der Geraden PQ bleibt doch bei beiden Rechnungen gleich oder? also da würde sich ja nur ein Vorzeichen sonst ändern...
Ich steh irgendwie aufm Schlauch... sry^^
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Hallo,
mit den von dir angegebenen vektoren, stimmen die ergebnisse. habe jetzt die normalenvektoren nicht anchgeprüft.
Lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:35 Do 03.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Hey, kommt spät aber egal^^
Wie muss ich mir das anschaulich vorstellen? Ich muss in einer mündlichen Prüfung ja zeigen, welcher Winkel das ist.
Ich male mal ein bissle bei Paint. -> http://img28.imageshack.us/img28/2935/mathel.jpg
Also ich habe mir das so vorgestellt: Bitte korrigiert mich wenn es falsch ist, und könnt ihr mir sagen, was sich an diesem Bild jetzt verändern würde bzw. welchen Winkel ich berechnen würde, wenn ich den Sinus nehme? Das wäre mit den Sinus doch dann die 40,54° oder? An der Formel ändert sich nichts?
Vielen Dank für eure Mühe!! =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 05.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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