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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm] (1+e^x)y*y'=e^x [/mm] y(0)=1 |
Ich rechne jetzt seit einiger Zeit rum und hab aber dauernt andere Ergebnisse, ich würd euch bitte, dass einfach mal anzuschaun und mir zu sagen obs stimmt oder nicht. Wenn nicht wäre ich auch noch fürn kleinen Tipp dankbar.
[mm] (1+e^x)y*y'=e^x
[/mm]
[mm] y*y'=\bruch{e^x}{1+e^x}
[/mm]
[mm] y*\bruch{dy}{dx}=\bruch{e^x}{1+e^x}
[/mm]
[mm] y*dy=\bruch{e^x}{1+e^x}*dx
[/mm]
[mm] \integral y*dy=\integral \bruch{e^x}{1+e^x}*dx
[/mm]
[mm] \bruch{y^2}{2}= [/mm]
Substituiere: [mm] 1+e^x=u [/mm] und [mm] e^x*dx=du
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{u} [/mm] du
[mm] =\ln{u} [/mm] Rücksubstitution [mm] ln{(1+e^x)}
[/mm]
[mm] \bruch{y^2}{2}=ln{(1+e^x)}+C [/mm] *2 [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] y=\wurzel{2*(ln{(1+e^x)}+C)}
[/mm]
mit y(0)=1
[mm] 1=\wurzel{2*(ln{(1+e^0)}+C)}
[/mm]
[mm] 1=\wurzel{2*ln{2}+2c}
[/mm]
1=ln{4}+2c
[mm] c=\bruch{1-ln{4}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\wurzel{2*(ln{(1+e^x)}+(\bruch{1-ln{4}}{2}))}
[/mm]
Freu mich auf Anregungen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 So 21.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Stimmt alles.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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