Approxim.satz v. Weierstraß < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 09.06.2009 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
f ist genau dann gleichmäßig stetig auf einem kompakten Intervall, wenn es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 eine polygone Funktion g gibt, so dass |f(x) - g(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a, b]. |
Hallo,
hier ist meine Idee:
1. f ist gleichmäßig stetig auf einem kompakten intervall und daher gleichmäßig konvergent, also gibt es eine polygone Funktion g , die f beliebig genau annähert.
2. Da |f(x) - g(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a, b] gilt und es für jede polygone Funktion g eine Annäherung durch ein Polynom p gibt, und aus |f - p| [mm] \le [/mm] |f|+|p|, sowie |f - g| [mm] \le [/mm] |f| + |g| und |p| [mm] \le [/mm] |g| also, |f - p| [mm] \le [/mm] |f - g| < [mm] \varepsilon. [/mm] Folglich ist f gleichmäßig konvergent und daher stetig auf dem kompakten Intervall [a, b], also auch gleichmäßig stetig.
Vielen Dank für eure Hilfe...
|
|
| |
|
Was ist eine "polygone Funktion" ?
Stückweise linear (endlich viele Stücke) und durchwegs stetig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Di 09.06.2009 | | Autor: | diego |
Hallo,
eine polygone Funktion ist eine Betragsfunktion.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> eine polygone Funktion ist eine Betragsfunktion.
Sorry - aber jetzt sehe ich erst recht nur "Bahnhof" ...
Im Netz habe ich keine Definition des Begriffs gefunden.
Ich kann also nur vermuten, dass wohl "Polynomfunktion"
gemeint war ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie:
> f ist genau dann gleichmäßig stetig auf einem kompakten
> Intervall, wenn es für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 eine polygone
> Funktion g gibt, so dass |f(x) - g(x)| < [mm]\varepsilon[/mm] für
> alle x [mm]\in[/mm] [a, b].
> Hallo,
>
> hier ist meine Idee:
> 1. f ist gleichmäßig stetig auf einem kompakten intervall
> und daher gleichmäßig konvergent,
f gleichmäßig konvergent ????? Was soll das ?
> also gibt es eine
> polygone Funktion g , die f beliebig genau annähert.
> 2. Da |f(x) - g(x)| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a, b]
> gilt und es für jede polygone Funktion g eine Annäherung
> durch ein Polynom p gibt, und aus |f - p| [mm]\le[/mm] |f|+|p|,
> sowie |f - g| [mm]\le[/mm] |f| - |g|
das wird i.a. nicht richtig sein.
> und |p| [mm]\le[/mm] |g| also, |f - p|
> [mm]\le[/mm] |f - g| < [mm]\varepsilon.[/mm] Folglich ist f gleichmäßig
> konvergent
?? s.o.
FRED
> und daher stetig auf dem kompakten Intervall [a,
> b], also auch gleichmäßig stetig.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Di 09.06.2009 | | Autor: | diego |
Hallo,
ich dachte, wenn f gleichmäßig konvergent ist, dann gibt es eine Funktionnenfolge [mm] f_{n}, [/mm] mit |f - [mm] f_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
nun kann [mm] f_{n} [/mm] auch eine polygone Funktion annähern mit beliebig kleiner Abweichung, also wäre dann auch |f - g| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Was soll denn das "f gleichmäßig konvergent" heißen ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 09.06.2009 | | Autor: | diego |
Das es eine Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] gibt, so dass |f - [mm] f_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Und da [mm] f_{n} [/mm] eine Funktionenfolge ist, die dann auch eine polygone Funktion mit der Genauigkeit [mm] \varepsilon [/mm] annähert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Di 09.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das es eine Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] gibt, so dass |f - [mm]f_{n}|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Das ist doch Unsinn. So was gibts immer: [mm] f_n [/mm] = f
FRED
> Und da [mm]f_{n}[/mm] eine Funktionenfolge ist, die dann auch eine
> polygone Funktion mit der Genauigkeit [mm]\varepsilon[/mm] annähert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Mi 10.06.2009 | | Autor: | diego |
So, ich habe nochmal eine Nacht darüber geschlafen und habe es jetzt nochmal versucht:
Es gilt |g(x) - f(x)| = |f(x) - g(x)| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Da jede polygone Funktion beliebig genau durch Polynome [mm] p_{n}(x) [/mm] beliebig genau angenähert werden kann, und da dann wegen |g(x) - f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] auch [mm] |p_{n}(x) [/mm] -f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt, konvergiert [mm] p_{n}(x) [/mm] gleichmäßig gegen f und da [mm] p_{n} [/mm] eine Polynomfunktion ist, ist sie auch stetig (auch auf dem kompakten Intervall [a, b]) deshalb ist auch f stetig auf dem kompakten Intervall [a,b] und damit gleichmäßig stetig.
Klingt das besser??
Vielen Dank schonmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Was ist eine "polygone Funktion" ?
FRED
|
|
|
|
