Arbeit im elektrischen Feld < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mo 30.04.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine positive Punktladung $Q = [mm] Q_0$ [/mm] am Ort [mm] $\vec {r}_0 [/mm] = (a, 0, 0)$ und eine zweite negative Punktladung $q = [mm] −Q_0$.
[/mm]
a.) Berechnen Sie die Arbeit $W$, um $q$ (im Feld von Q) vom Ort [mm] $\vec {r}_1 [/mm] = (2a, 0, 0)$ zum Ort [mm] $\vec {r}_2 [/mm] = (2a, a, 4a)$ zu befördern, indem Sie das Linienintegral explizit berechnen.
Muss man die Arbeit aufbringen, oder wird sie frei? |
Hallo ihr Helferlein,
[Dateianhang nicht öffentlich]
mein Lösungsvorschlag lautet:
[mm] \textbf{Schritt 1: Coulomb-Kraft ermitteln}
[/mm]
Der Abstand beider Ladungen voneinander ist
[mm]
\begin{pmatrix} x_{01}\\ y_{01}\\ z_{01} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Also ist [mm] $\vec{r}_{01} [/mm] = [mm] \left(a,0,0\right)$
[/mm]
Beide Ladungen liegen auf der $y$-Achse, sind also konzentrisch zum Koordinatenursprung ausgerichtet.
Für das Arbeitsintegral gelten jedoch kartesische Koordinaten! [mm] \textbf{Da Terme aus unterschiedlichen Koordinatensystemen nicht gemischt werden sollten}, [/mm] lasse ich die Coulomb-Kraft als "'kartesischen Ausdruck"' stehen und vereinfache:
[mm]
\begin{align*}
\vec{F}_{21}\left(\vec{r}\right) &= \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \frac{-Q_0^2}{\left({\sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2}}\right)^3}\,\begin{pmatrix} a \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \\[0.1 \baselineskip]
&= \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \frac{-Q_0^2}{\left({\sqrt{a^2 }}\right)^3}\,\begin{pmatrix} a \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \\[0.1 \baselineskip]
&= \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \frac{-Q_0^2}{a^3}\,\begin{pmatrix} a \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \\[0.1 \baselineskip]
\end{align*}
[/mm]
[mm] \textbf{Schritt 2: Das Arbeitsintegral berechnen}
[/mm]
Aus Lehrveranstaltung [mm] \emph{Theoretische Physik I} [/mm] ist die Arbeit definiert:
[mm]
W_{21} \equiv W_{1 \mapsto 2} := - \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}}\vec{F}_{21}\,\mathrm{d}\vec{r}
[/mm]
Entfernt man die Ladung [mm] $-Q_0$ [/mm] von der Ladung, muss erfahrungsgemäß Arbeit verrichtet werden, da man gegen die Coulombkraft beide (Punkt)Ladungen voneinander entfernt obwohl sie sich [mm] anziehen.\\
[/mm]
Zu erwarten ist also, dass $W > 0$ um aus dem Integral definitionsgemäß eine geleistete Arbeit zu interpretieren.
[mm] \vspace{1 cm}
[/mm]
[mm] \textbf{Schritt 2.1: Parametrisierung des Vektors}
[/mm]
Der Weg ist
[mm]
\[\begin{pmatrix} 2a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2a\\ a\\ 4a \end{pmatrix}
[/mm]
Also ist [mm] $\vec{r}$ [/mm] parametrisiert
[mm] \begin{pmatrix} 2a\\ a\,\alpha\\ 4a\,\alpha \end{pmatrix} \qquad \alpha \in \left[0,1\right] [/mm]
[mm] \textbf{Schritt 2.2: Ableiten dieses Vektors nach der Vorschrift}
[/mm]
[mm] \mathrm{d}\vec r = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\alpha}\,\mathrm{d}\alpha [/mm]
Also ist [mm] $\mathrm{d} \vec{r}$ [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0\\ a \\ 4a \end{pmatrix} \,\mathrm{d}\alpha [/mm]
[mm] \textbf{Schritt 2.3: Skalarprodukt bilden}:$\vec {F}_{21} \circ \mathrm{d}\vec [/mm] r$
[mm]
W_{21} &= - \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}}\vec{F}_{21}\,\mathrm{d}\vec{r}
[/mm]
[mm]
=- \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}} \bruch{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \bruch{Q_0^2}{a^2}\,\left(1,0,0\right) \circ \begin{pmatrix} 0\\ a \\ 4a \end{pmatrix} \,\mathrm{d}\alpha
[/mm]
[mm]
=- \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}} \bruch{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \bruch{Q_0^2}{a^3}\cdot \left[0 + 0 + 0 \right] \,\mathrm{d}\alpha
[/mm]
[mm]
=-\bruch{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \bruch{Q_0^2}{a^3} \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}} \left[0 + 0 + 0 \right] \,\mathrm{d}\alpha
[/mm]
[mm]
=-\bruch{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \bruch{Q_0^2}{a^3} \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}} 0 \,\mathrm{d}\alpha
[/mm]
[mm]
=-\bruch{1}{2\pi\,\varepsilon_0} \bruch{Q_0^2}{a^3} \int_{\vec{r}\,'_{1}}^{\vec{r}\,'_{2}}
[/mm]
[mm]
=0
[/mm]
Für Hilfe bin wie immer dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das Ergebnis kannst du kontrollieren durch die Potentiale an den 2 Orten
am Anfang,k*Q/a am Ende kQ/|(a,a,,4a)| mit [mm] |(a,a,,4a)|^2=a^2+a^2+16a^2
[/mm]
also ist dein Ergebnis falsch.
warum?
die Richtung der Kraft auf q_- ist ja nicht konstant, sondern in jedem Punkt der Geraden [mm] P_t=(2a,a*t,4a*t) [/mm] hat F die Richtung auf [mm] P_0=(a,0,0) [/mm] zu, also die Richtung [mm] P_0-P_t
[/mm]
Damit ist dein Rechenweg falsch.
zeichne auf deinem Weg in der Skizze [mm] F_t [/mm] in einem oder 2 Punkten ein ein, dann siehst du es.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Mo 30.04.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | | Achja, denn in meinem Falle wäre die Kraft ja konstant -in Betrag und Richtung! Deswegen wurde die Arbeit Null. Sehe ich das richtig? |
Achja, denn in meinem Falle wäre die Kraft ja Konstant -in Betrag und Richtung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine falsche kraft stand senkrecht auf dem Weg! ass sie konstant ist heisst nicht dass die arbeit 0 ist"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Mo 30.04.2012 | | Autor: | murmel |
Hallo leduart,
ok, danke. Kraft senkrecht auf Weg hieß nun nicht etwa konservativ? In der Vorlesung ist dies genannt worden, leider habe ich vergessen was es damit auf sich hat. Ich werde noch einmal in meine Unterlagen schauen.
So, nun bin ich etwas überfordert.
Aus der theoretischen Mechanik war das mit den Linienintegralen immer so,
man hatte ein Kraftfeld vorgegeben und musste dann entsprechend die Parametrsisierung vornehmen.
Da der Vektor
[mm]\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
nicht richtig ist, heißt dies nun, dass ich stattdessen
[mm]\begin{pmatrix} 2a \\ a \alpha \\ 4a \alpha \end{pmatrix}[/mm]
eintrage? Das Kraftfeld ist ja
[mm]\vec{F}_{21} = \bruch{-Q_0^2}{4 \pi \varepsilon_0} \bruch{\vec {r}_2 - \vec {r}_1}{\left(\sqrt{\vec {r}_2 - \vec {r}_1}}\right)^3[/mm]
Was jedoch eigenartig ist, das Kraftfeld hatte oft Funktionskomponenten für $x,y,z$. Dies wurde dann skalar mit der Parametrisierung multipliziert.
Wenn ich also nun
[mm]\begin{pmatrix} 2a \\ a \alpha \\ 4a \alpha \end{pmatrix}[/mm]
nutze, dann ist der Wert für die Arbeit von Null verschieden und so gar größer Null, wobei Arbeit verrichtet würde, so wie ich es erwartungsgemäß annehme.
Könntest du mir noch einen hilfreichen Tipp geben?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du nusst in F doch die Richtung von (a,0,0) zu deinem Punkt [mm] P_{/alpha} [/mm] eingeben. ich hatte doch gesagt zeichne F ein!
dein F hat das Zentrum in (0,0,0)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mo 30.04.2012 | | Autor: | murmel |
Ja, leduart ich weiß. Ich hatte mich vertippt! Asche auf mich! xD
Da das elektrische Feld ja von [mm] $Q_0$ [/mm] ausgeht und $q$ die Probeladung sein soll, ist der neue Koordinatenursprung in [mm] $Q_0$.
[/mm]
Sonst sind keine Einwände von deiner Seite aus, ich gehe davon aus (bis auf den Tippfhler) das der Ansatz richtig ist(?)
Gruß
murmel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 30.04.2012 | | Autor: | murmel |
Hallöchen leduart und natürlich auch ein Hallo an alle anderen ;o)
Also, wenn nun der Ansatz richtig ist (ja ich bin gerade "schwer-von-Begriff")
dann steht da ein sehr hässlicher Ausdruck (jegliche vielzitierte Schönheit der Mathematik geht hier flöten -lol), wobei [mm] $\hat{k}$ [/mm] für
[mm]\hat{k} = \bruch{\left(-Q_0\right) \cdot Q_0}{4 \pi\, \varepsilon_0}[/mm]
steht. Und weiter
[mm]W = - \int_{\vec{r}\,'_1}^{{\vec{r}\,'_2}} \hat{k} \left(\bruch{\left(a, a \alpha, 4a \alpha\right)}{\left[\sqrt{a^2 + a^2 \alpha^2 + 16 a^2 \alpha^2}\right]^3}\right) \circ \begin{pmatrix}0 \\ a \\4a \end{pmatrix} \mathrm{d} \alpha[/mm]
Und weiter
[mm]W = - \int_{\vec{r}\,'_1}^{{\vec{r}\,'_2}} \hat{k} \bruch{1}{\left[\sqrt{a^2 + a^2 \alpha^2 + 16 a^2 \alpha^2}\right]^3} \left[ 0 + a^2 \alpha + 16 a^2 \alpha \right] \mathrm{d} \alpha[/mm]
Einen Schritt weiter:
[mm]W = - \int_{\vec{r}\,'_1}^{{\vec{r}\,'_2}} \hat{k} \bruch{1}{\left(a^2 + 17 a^2 \alpha^2 \right) \sqrt{a^2 + 17 a^2 \alpha^2}} \left[ 17 a^2 \alpha \right] \mathrm{d} \alpha[/mm]
Und hier komme ich an und kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe solch ein schwieriges Integral haben soll, bestimmt seht die richtige Lösung einfacher aus, ich verzweifele bald.
[mm]W = - \int_{\vec{r}\,'_1}^{{\vec{r}\,'_2}} \hat{k} \bruch{\left[ 17 a^2 \alpha \right]}{\left(a^2 + 17 a^2 \alpha^2 \right) \sqrt{a^2 + 17 a^2 \alpha^2}} \mathrm{d} \alpha[/mm]
Für Tipps, Kritik, Ratschläge, Vorschläge, Hinweise (jeglicher Art) etc. pp. bin ich euch sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vereinfach erstmal, dann hast du das einfache Integral über
[mm] 1/a*17x/(1+17x^2)^{3/2}
[/mm]
und das hat die Form [mm] f'/f^{3/2} [/mm] was man leicht losen kann was ist [mm] (1(\wurzel{f})'
[/mm]
Gruss leduart
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