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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:15 So 28.05.2006 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | Es sei (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein Messraum, [mm] \mu, \nu [/mm] Maße auf [mm] \mathcal{A}. [/mm] Weisen Sie jeweil [mm] \nu [/mm] ist stetig in [mm] \mu [/mm] nach und geben Sie jeweil eine Radon-Nikodym-Dichte f von [mm] \nu [/mm] bzgl. [mm] \mu [/mm] an.
a) (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] bel., [mm] \mu [/mm] bel. Maß auf [mm] \mathcal{A}, A_{0} \in \mathcal{A} [/mm] fest, [mm] \nu(a) [/mm] = [mm] \mu(A\capA_{0}) [/mm] für alle A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
b) (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] = [mm] (\IN, \mathcal{P}(\IN)), [/mm] P und Q bel. W-Maße auf [mm] \mathcal{P}(\IN), \mu= [/mm] P+Q, [mm] \nu [/mm] = P
c) (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] bel., [mm] \lambda [/mm] ein sigma-endliches Maß auf [mm] \mathcal{A}, [/mm] P, Q W-Maße auf [mm] \mathcal{A} [/mm] mit Dichten f, bzw. g bzgl. [mm] \lambda, \mu= [/mm] P+Q und [mm] \nu [/mm] = P |
einen wunderschönen Sonntagmorgen wünsche ich!
Zu der obigen Aufgabe habe ich folgende Frage und hoffe, dass mir dabei geholfen werden kann:
Die Stetigkeit von [mm] \nu [/mm] in [mm] \mu [/mm] habe ich jeweil schon zeigen können, aber ich weiß nicht, wie ich jetzt eine Dichte angeben soll. Ich weiß zwar, dass gilt:
[mm] \nu(A)= \integral_{A}{f d\mu}
[/mm]
Aber mehr auch nicht. Höchstens noch, dass f messbar und größer oder gleich Null ist.
Ich bitte also darum, mir bei dieser Aufgabe zu helfen!
Ich habe die Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 28.05.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Christoph,
ich versuch dir mal zu helfen, hab mir aber jetzt nur erstmal die a) überlegt.
Dort hast du ja einerseits
[mm] \nu( \mathcal{A})=\mu(\mathcal{A}_0), (\mathcal{A}\in \mathcal{F}, \mathcal{A}_0\in \mathcal{F} [/mm] fest)
gegeben, anderseits sagt der Satz von R-N, dass ein f existiert mit
[mm] \nu(\mathcal{A})=\integral_{ \mathcal{A}}^{}{fd\mu}.
[/mm]
Setze einfach
[mm] f:=1_{ \mathcal{A}_0} [/mm] dann bist du schon fertig. Es gilt dann
[mm] \nu(\mathcal{A})=\integral_{ \mathcal{A}}^{}{1_{\mathcal{A}_0}d\mu}=\mu(\mathcal{A}_0),
[/mm]
also genau das, was rauskommen soll. Bei b) und c) weiss ich jetzt noch nicht, vielleicht kommst du ja noch selbst drauf oder mir oder jemand anderem fällt noch was ein.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ihr beiden,
> ich versuch dir mal zu helfen, hab mir aber jetzt nur
> erstmal die a) überlegt.
>
> Dort hast du ja einerseits
> [mm]\nu( \mathcal{A})=\mu(\mathcal{A}_0), (\mathcal{A}\in \mathcal{F}, \mathcal{A}_0\in \mathcal{F}[/mm]
> fest)
es ist doch sicher gemeint, dass [mm] $\nu(A) [/mm] = [mm] \mu(A \cap A_0)$ [/mm] sein soll fuer alle $A [mm] \in \mathcal{A}$? [/mm] Die Definition [mm] $\nu(A) [/mm] = [mm] \mu(A_0)$ [/mm] fuer alle $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] macht ja eh keinen Sinn, da das niemals ein Mass ist (es sei denn das Nullmass, weil [mm] $\mu(A_0) [/mm] = 0$ ist)...
Waldes Loesung passt allerdings schon:
> gegeben, anderseits sagt der Satz von R-N, dass ein f
> existiert mit
> [mm]\nu(\mathcal{A})=\integral_{ \mathcal{A}}^{}{fd\mu}.[/mm]
>
> Setze einfach
> [mm]f:=1_{ \mathcal{A}_0}[/mm] dann bist du schon fertig. Es gilt
> dann
>
> [mm]\nu(\mathcal{A})=\integral_{ \mathcal{A}}^{}{1_{\mathcal{A}_0}d\mu}=\mu(\mathcal{A}_0),[/mm]
Man muss es nur richtig hinschreiben :) Das Integral ist naemlich [mm] $\int_A 1_{A_0} \; d\mu [/mm] = [mm] \int 1_A \cdot 1_{A_0} \; d\mu [/mm] = [mm] \int 1_{A \cap A_0} \; d\mu [/mm] = [mm] \mu(A \cap A_0)$...
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 30.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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