Aufgabe über Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Prüfen Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{n!}
[/mm]
OK. ich habe so überlegt.
zuerst [mm] 2^{n} [/mm] = [mm] (1+1)^{n}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm]
deswegen [mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!(n-k)!} [/mm]
jetzt muss man zeigen [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!(n-k)!} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ich kann jetzt aber nur sagen, Grenzwert von dieser Aufgabe ist 0, aber wie kann man beweisen....... ich habe keine Ahnung....
vielleicht hilft doch jemand mir.
danke voraus.
Ying
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Es ist [mm] n*2^{n} [/mm] < n! für n>5.
(Leicht durch Induktion zu zeigen).
Dann hat man:
[mm] 2^{n}/n! [/mm] < 1/n < [mm] \varepsilon [/mm] da 1/n -> 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Mi 10.11.2004 | | Autor: | chinababy |
wie eine tolle Idee dass du mir gegeben hast!
$ [mm] n\cdot{}2^{n} [/mm] $ < n! habe ich vorher doch schon bei einer Aufgabe bewiesen, aber ich habe noch nie gedacht dass ich danach das noch benutzen kann.......
jo. vielen dank. 
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