Automorphismen der Ebene < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben
Ich habe folgende Aufgabe:
Voraussetzung:
[mm] \varepsilon [/mm] transitiv, also kleines desarguesches Axiom gilt.
[mm] Aut(\varepsilon) [/mm] ist Automrophismengruppe der Ebene
f [mm] \in Aut(\varepsilon) [/mm] =A
z.z:
Jedes f [mm] \in [/mm] A lässt sich schreiben als f= T [mm] \circ f_{\circ}
[/mm]
{für [mm] f_{0} [/mm] f(0)=0 ; T ist eine Translation}
Kann mir hier jemand helfen?
Ich weiß nicht wirklich wie ich hier drangehen soll...
Ideen:
1.Für eine Translation T gilt: T(l)|| l {l Gerade} ; f ist Identität oder T hat keine Fixpunkte.
2. [mm] f_{0}ist [/mm] eine Affinität mit Fixpunkt( also eine Streckung?????)
Gilt für jeden Automorphismus, dass das Bild einer Geraden parallel zur Geraden ist??
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Lg Sandra
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra!
> Voraussetzung:
> [mm]\varepsilon[/mm] transitiv, also kleines desarguesches Axiom
> gilt.
> [mm]Aut(\varepsilon)[/mm] ist Automrophismengruppe der Ebene
> f [mm]\in Aut(\varepsilon)[/mm] =A
>
> z.z:
>
> Jedes f [mm]\in[/mm] A lässt sich schreiben als f= T [mm]\circ f_{\circ}[/mm]
>
> [mm]\{[/mm] für [mm]f_{0}[/mm] f(0)=0 ; T ist eine Translation[mm]\}[/mm]
Nimm dir ein beliebiges [mm]f \in A[/mm]. Entweder es ist [mm]f(0)=0[/mm], dann ist die Aussage wahr für T=Identität.
Oder es ist [mm]f(0)=a\not=0[/mm]. Sei [mm]T_a[/mm] eine Translation mit [mm]T(0)=a[/mm]. Für die Umkehrfunktion zu [mm]T_a[/mm] gilt: [mm]T_a^{-1}(a) = 0[/mm]. Sei [mm]g:=T_a^{-1}\circ f[/mm]. Was ist [mm]g(0)[/mm]?
Viele Grüße
Rainer
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g(0)=0
damit ist also dann f=T [mm] \circ T^{-1}\circ [/mm] f =id [mm] \circ [/mm] f=f, also wahre aussage
stimmt das dann so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 02.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra!
> g(0)=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> damit ist also dann f=T [mm]\circ T^{-1}\circ[/mm] f =id [mm]\circ[/mm] f=f,
> also wahre aussage
>
>
> stimmt das dann so??
Du musst es nur ein bischen präziser formulieren: der Automorphismus [mm]g=T_a^{-1}\circ f[/mm] hat die gewünschte Eigenschaft [mm]g(0)=0[/mm], also ist die Aussage bewiesen, mit [mm]f=T_a\circ g[/mm] und [mm]T_a(0) =a [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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