Basen in Vektorraum V zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:59 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | Zeige: Ist [mm] b_1, [/mm] ......, [mm] b_n [/mm] eine Basis des Vektorraumes V , so ist auch
[mm] b_1
[/mm]
[mm] b_2 [/mm] + [mm] b_1
[/mm]
[mm] b_3 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_1
[/mm]
.
.
.
[mm] b_n [/mm] + [mm] b_{n-1} [/mm] + .... [mm] b_1
[/mm]
eine Basis von V . |
Hallo,
mich verwirrt diese Aufgabe etwas....
eine Basis ist doch immer eine Menge von Vektoren mit den Eig. lin unabh und Erzeugend. Also ist hier zB. [mm] b_1 [/mm] eine bel. Menge von Vektoren die eine Basis in V bilden?
wenn also [mm] b_1 [/mm] = { [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] }
Dann ist doch
[mm] b_i [/mm] = { a * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, [/mm] a * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., a * [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] } [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] , a [mm] \in \IR
[/mm]
Also das Vielfache von den Vektoren der Basis sind ja immer noch die Basis und durch Aufsummiern der einzelnen Basisvektoren passiert ja im Prinzip nix anderes.
Ist das damit schon gezeigt? ^^ wär wohl zu einfach
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
> [mm]b_1[/mm][mm] =x_1
[/mm]
> [mm]b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm][mm] =x_2
[/mm]
> [mm]b_3[/mm] + [mm]b_2[/mm] + [mm]b_1[/mm][mm] =x_3
[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]b_n[/mm] + [mm]b_{n-1}[/mm] + .... [mm]b_1[/mm][mm] =x_n
[/mm]
>
Du sollst zeigen: [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] bilden eine Basis von V.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
ok neuer Versuch
Da [mm] b_1, [/mm] ... [mm] b_n [/mm] Basen von V gilt:
[mm] b_i [/mm] = { [mm] a_i [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, a_i [/mm] * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., [mm] a_i [/mm] * [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] } [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,....,n}
mit [mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm] folgt
[mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm] = { [mm] (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) * [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1}, (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) * [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}, [/mm] ...., [mm] (a_i [/mm] + [mm] a_{i+1} [/mm] ) * [mm] \vektor{x_m \\ y_m \\ z_m} [/mm] } [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,....,n}
und da V ein Vektorraum ist ist die Vektoraddition in diesem abgeschlossen und es gilt [mm] b_i [/mm] + [mm] b_{i+1} [/mm] ist eine Basis für V für beliebige i's und Anzahl von Additionen
Geht das so?
Gruß
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Nein.
Es sind [mm] $b_1,\ldots b_n$ [/mm] Basisvektoren von V. Du sollst zeigen, dass
[mm] $p_1,\ldots,p_n$ [/mm] auch Basisvektoren von V sind mit [mm] $p_k=\sum_{i=1}^{k}b_i$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
hallo,
danke ....damit war mein Ansatz schon völlig falsch.
aber wie kann ich das zeigen? durch die addition der Vektoren ändern sich die Einträge doch völlig, und bleiben nicht wie bei der multiplikation proportional zu einander.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Mi 24.11.2010 | | Autor: | jumape |
du musst zeigen, dass jeder Vektor v aus deiner neuen Basis als Linearkombination aus den [mm] b_i [/mm] darstellbar ist und dann, dass jedes [mm] b_i [/mm] als Linearkombination aus den v darstellbar ist. Damit hast du Erzeugendensystem. Lineare Unabhängigkeit bekommst du, weil es ebenso viele v's wie [mm] b_i's [/mm] gibt.
Fertig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Fr 26.11.2010 | | Autor: | void. |
Danke für die Antworten
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