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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mi 11.06.2008 | | Autor: | CH22 |
| Aufgabe | Seien r,s,k [mm] \in \IN [/mm] mit n:= r+s+k [mm] \ge [/mm] 1 Sei \ gamma [mm] \in Bil(\IR [/mm] ^{n} mit fundamentalmatrix [mm] \pmat {E_r & 0 & 0 \\ 0 & -E_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \in M(n,\IR). [/mm] Seien l:= min {r,s} , m:= max{r,s}-l.
Geben sie eine Basis B von [mm] \IR^{n} [/mm] an , so dass die Fundamentalmatrix von [mm] \gamma [/mm] bezüglich B die Form
[mm] \pmat{ 0 & E_l & 0 & 0 \\ E_l & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \pm E_m & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] hat. |
Ich sitze jetzt schon Stunden vor dieseer Aufgabe und krieg irgendwie nicht mal einen Ansatz hin wie ich es machen könnte. Bin langsam am Verzweifeln. Kann mir vielleicht jemand helfen?
Liebe Grüße
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Gruesse!
Mal der Reihe nach... dass Deine Fundamentalmatrix so aussieht wie oben beschrieben bedeutet doch, dass es eine Basis [mm] $e_1, e_2, \ldots, e_r, e_{r+1}, \ldots, e_{r+s}, e_{r+s+1}, \ldots, e_n$ [/mm] gibt mit folgenden Eigenschaften:
[mm] $\gamma(e_i, e_j) [/mm] = 0$ falls $i [mm] \not= [/mm] j$ und:
[mm] $\gamma(e_i,e_i) [/mm] = 1$ für $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] r$
[mm] $\gamma(e_i,e_i) [/mm] = -1$ für $r+1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] r+s$
[mm] $\gamma(e_i,e_i) [/mm] = 0$ für $r+s+1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$
Soweit klar? Jetzt kannst Du Dir eine neue Basis basteln... nimm Dir einen Basisvektor [mm] $e_i$ [/mm] mit $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] r$ und ein [mm] $e_j$ [/mm] mit $r+1 [mm] \leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] r+s$, also einen aus dem positiven und einen aus dem negativen Teil. Was tut dann die Bilinearform mit den Vektoren [mm] $e_i [/mm] + [mm] e_j$ [/mm] und [mm] $e_i [/mm] - [mm] e_j$? [/mm] Probiere alle 4 Kombinationen aus!
Und jetzt sollte klar sein, wie man auf die neue Darstellung kommt... man paare Vektoren aus dem positiven und dem negativen Teil solange das geht (das geht genau $l$ Mal!) und es bleiben $m$ Vektoren übrig, die entweder aus dem positiven oder negativen Teil stammen. Dann sortiere man und behalte einfach die Vektoren aus dem max. total isotropen Unterraum, also die [mm] $e_i$ [/mm] mit $i [mm] \geq [/mm] r+s+1$.
Viel Erfolg!
Lars
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