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| Aufgabe | V ist Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 2 und [mm] U=(X^2-2X+3)
[/mm]
a) Gib eine Basis für V/U an
b) Schreibe die Restklassen [mm] (2X^2-5X+7)+U [/mm] und [mm] (3X^2+X-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) |
V ist der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2, also
[mm] ax^2+bx+c
[/mm]
Ich komme mit diesem V/U noch nicht klar, das verstehe ich einfach nicht richtig was damit gemeint ist.
Könnt ihr mir das erklären?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
MfG
mathegirl
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> V ist Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom
> Grad höchstens 2 und [mm]U=(X^2-2X+3)[/mm]
>
> a) Gib eine Basis für V/U an
> b) Schreibe die Restklassen [mm](2X^2-5X+7)+U[/mm] und [mm](3X^2+X-1)+U[/mm]
> als Linearkombination der Basis aus a)
> V ist der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2,
> also
>
> [mm]ax^2+bx+c[/mm]
>
> Ich komme mit diesem V/U noch nicht klar, das verstehe ich
> einfach nicht richtig was damit gemeint ist.
Hallo,
ja, das geht vielen am Anfang so. Mir war der Quotientenraum/Faktorraum am Anfang auch sehr fremd.
Am besten schreibst Du erstmal die Definition auf.
Wenn V ein VR ist und U ein UVR davon, wie ist denn dann
V/U definiert?
Wenn die Def. vorliegt, kann man weitersehen.
LG Angela
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Der Faktorraum von V nach U ist die Menge aller Äquivalenzklassen und man bezeichnet ihn mit V/U
[mm] V/U:={[v]|v\in V}
[/mm]
[mm] [v_1]+[v_2]=[v_1+v_2]
[/mm]
[mm] \lambda*[v]=[\lambda*v]
[/mm]
Verknüpfungen in V/U sind wohldefiniert.
V/U zusammen mit +,* ist der Faktorraum.
Das ist das einzige, was mir dazu bekannt ist. Man dividiert U quasi aus V heraus, denn U wird in V/U ja zur Null ...
Meine Idee wäre:
1) Basis von V und U bestimmen
2) Ergänzung von U zu V bestimmen
3) die Ergänzung ist die Basis des Faktorraums, eben als Äquivalenzklasse jeweils!
Nur wie setze ich das um?
MfG
mathegirl
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> Der Faktorraum von V nach U ist die Menge aller
> Äquivalenzklassen und man bezeichnet ihn mit V/U
>
> [mm]V/U:=\{[v]|v\in V\}[/mm]
> [mm][v_1]+[v_2]=[v_1+v_2][/mm]
> [mm]\lambda*[v]=[\lambda*v][/mm]
>
> Verknüpfungen in V/U sind wohldefiniert.
>
> V/U zusammen mit +,* ist der Faktorraum.
>
> Das ist das einzige, was mir dazu bekannt ist.
Hallo,
nun, da hast Du doch wirklich schon ein bißchen etwas zusammengetragen.
Du redest von Äquivalenzklassen, da sollte man natürlich noch sagen, bzgl. welcher Äquivalenzrelation: [mm] v_1\sim v_2 [/mm] <==> [mm] v_1-v_2\in [/mm] U.
Schauen wir uns auch gerade nochmal die Äquivalenzklasse [v] an. Es ist eine Menge, welche all die Vektoren v' enthält, für welche gilt [mm] v'-v\in [/mm] U,
und man kann sich überlegen, daß [mm] [v]=v+U:={v+u|u\in U}.
[/mm]
Es ist meist nicht sinnvoll, sich hier in jedem Fall großartig anschaulich etwas vorstellen, trotzdem möchte ich Dir zeigen, daß Du solche Äquivalenzklassen unter anderem Aspekt schon in der Schule kennengelernt hast.
Betrachten wir [mm] V:=\IR^3, U:=<\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\5\\6}, [/mm] so ist der Unterraum U eine Ebene,
und die Menge V/U enthält alle zu dieser Ebene parallelen Ebenen.
Gezeigt wurde in der VL, daß V/U mit den von Dir genannten Verknüpfungen ein VR ist, sicher habt ihr auch schon gelernt, daß dim(V/U)=dimV-dimU.
> Man
> dividiert U quasi aus V heraus, denn U wird in V/U ja zur
> Null ...
Daß U die Null in V/U ist, stimmt - und es ist wichtig.
Das "quasi dividieren" überlese ich mal lieber.
>
> Meine Idee wäre:
> 1) Basis von V und U bestimmen
> 2) Ergänzung von U zu V bestimmen
> 3) die Ergänzung ist die Basis des Faktorraums, eben als
> Äquivalenzklasse jeweils!
Völlig richtig!
>
> Nur wie setze ich das um?
Gut, nun sollte man nochmal die Aufgabe anschauen, ich hab' sie auch schon fast vergessen:
| Aufgabe | V ist Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 2 und [mm] U=
[/mm]
a) Gib eine Basis für V/U an
b) Schreibe die Restklassen [mm] (2X^2-5X+7)+U [/mm] und [mm] (3X^2+X-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) |
[mm] U= [/mm] ist der UVR, der von dem Polynom [mm] X^2-2x+3 [/mm] aufgespannt wird. In U sind alle reellen Vielfachen dieses Polynoms.
Offenbar ist [mm] X^2-2X+3 [/mm] eine Basis von U.
Welche Dimension hat V?
Aus welchen Polynomen besteht die Standardbasis von V?
Nach dem Austauschsatz kannst Du einen der Vektoren in der Standardbasis (oder jeder anderen Basis) von V austauschen gegen [mm] X^2-2x+3.
[/mm]
Du mußt halt rausfinden welchen. Die Vektoren müssen linear unabhängig sein.
Wenn Du soweit bist, ist Punkt 2) Deines Fahrplans von oben abgehandelt.
Der Rest ist ein Klacks.
Der Thread hat gut angefangen, wenn Du weiter so sinnvoll mitarbeitest, ist die Chance groß, daß er gut endet.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 17.01.2012 | | Autor: | davux |
Die Aufgabe davor von diesem Übungsblatt behandelte tatsächlich den Faktor zu einer Ebene aus dem Anschauungsraum. Diese ist hier im Forum aber noch nicht verhanden, obwohl ich die Aufgabe mit den Polynomen als einfacher empfinde.
Ich möchte Mathegirl nichts vorwegnehmen, aber den Tipp, dass es am einfachsten ist, wie Angela auch schon angemerkt hat, erst einmal Standardbasen auszuprobieren als Erweiterung, möchte ich trotzdem mal hervorheben. Was am ungewohntesten für mich gewesen ist, ist die Schreibweise. Denn unter dem Topic "Quotienten- bzw. Faktorraum" ist sie zwar bald klar, aber andererseits lässt sich da sehr vieles hineininterpretieren.
Theoretisch ist es garnicht notwendig eine Basis des Untervektorraums zu kennen. Man muss bloß ausschließen können, dass die Basiselemente um die man erweitern möchte, so geschickt gewählt sind, dass sie nicht im Untervektorraum enthalten sind bzw. sich linear mit dessen Basis kombinieren lässt. Dann gilt es noch nachzuweisen, dass sie linear unabhängig sind, selbst wenn die Aufgabe anders lautet.
So wie es zwei Namen für $V/U$ gibt, Faktor- bzw. Quotientenraum, gibt es auch zwei Lesarten. Ich bevorzuge "V modulo U". Die andere ist, wenn ich mich nicht irre, "V nach U". (?)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 18.01.2012 | | Autor: | triad |
> [mm]U=[/mm] ist der UVR, der von dem Polynom [mm]X^2-2x+3[/mm]
> aufgespannt wird. In U sind alle reellen Vielfachen dieses
> Polynoms.
Ich nehme an, das heisst dann z.B. auch $ [mm] 3\cdot(X^2-2x+3)=3X^2-6X+9 [/mm] $ ?
>
> Offenbar ist [mm]X^2-2X+3[/mm] eine Basis von U.
[mm] \Rightarrow [/mm] dim U=1
> Welche Dimension hat V?
> Aus welchen Polynomen besteht die Standardbasis von V?
Als Basis von V nehmen wir die Standardbasis (für Polynome) bis zum grad [mm] \le [/mm] 2: $ [mm] (1,X,X^2) [/mm] $
Das heisst dimV=3, also dim(V/U)=dimV-dimU=2
> Nach dem Austauschsatz kannst Du einen der Vektoren in der
> Standardbasis (oder jeder anderen Basis) von V austauschen
> gegen [mm]X^2-2x+3.[/mm]
> Du mußt halt rausfinden welchen.
Das verstehe ich noch nicht. Man tauscht also einen Vektor von $ [mm] (1,X,X^2) [/mm] $ gegen [mm]X^2-2X+3[/mm] aus?
> Die Vektoren müssen
> linear unabhängig sein.
Die Dimensionsformel lieferte ja dimV/U=2, also muss man einen la Vektor rausschmeißen, um dann die Basis von V/U zu erhalten.
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> > [mm]U=[/mm] ist der UVR, der von dem Polynom [mm]X^2-2x+3[/mm]
> > aufgespannt wird. In U sind alle reellen Vielfachen dieses
> > Polynoms.
>
> Ich nehme an, das heisst dann z.B. auch
> [mm]3\cdot(X^2-2x+3)=3X^2-6X+9[/mm] ?
>
> >
> > Offenbar ist [mm]X^2-2X+3[/mm] eine Basis von U.
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim U=1
>
> > Welche Dimension hat V?
> > Aus welchen Polynomen besteht die Standardbasis von V?
> Als Basis von V nehmen wir die Standardbasis (für
> Polynome) bis zum grad [mm]\le[/mm] 2: [mm](1,X,X^2)[/mm]
> Das heisst dimV=3, also dim(V/U)=dimV-dimU=2
Hallo, bis hierher sagst Du alles richtig.
>
>
> > Nach dem Austauschsatz kannst Du einen der Vektoren in der
> > Standardbasis (oder jeder anderen Basis) von V austauschen
> > gegen [mm]X^2-2x+3.[/mm]
> > Du mußt halt rausfinden welchen.
>
> Das verstehe ich noch nicht. Man tauscht also einen Vektor
> von [mm](1,X,X^2)[/mm] gegen [mm]X^2-2X+3[/mm] aus?
Achtung! Ich schildere, angelehnt an des Mathegirls Rezept, den Weg, wie man zu einer Basis des Quotientenraumes kommen kann.
Das geschilderte Austauschen ist eine Haltestelle auf der Fahrt zur gesuchten Basis, aber noch nicht das Ziel.
Du tauschst aus, und damit kennst Du dann zwei Vektoren, die die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen.
Die Äquivalenzklassen zu diesen beiden Ergänzungsvektoren sind dann eine Basis des Quotientenraumes.
Du hättest auch die Basis von U nehme können und sie irgendwie anders zu einer von V ergänzen können.
Ich habe dieses Austauschverfahren geschildert, weil man ja maximal zwei Fehlversuche auf dem Weg zur Basis haben kann.
>
> > Die Vektoren müssen
> > linear unabhängig sein.
>
> Die Dimensionsformel lieferte ja dimV/U=2, also muss man
> einen la Vektor rausschmeißen, um dann die Basis von V/U
> zu erhalten.
S.o.: Rausgeworfen wird der Vektor,der auch Basisvektor von U ist.
LG Angela
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Die Basen von U und V sind nun klar, aber mir ist immer noch icht klar was hier V/U ist und ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll nachdem nun die Basen von V und U feststehen.
Könnt ihr mir das vielleicht nochmal erklären? Ich habe es leider auch nach so vielen Erklärungen noch nicht so gut verstanden, dass ich es umsetzen kann.
MfG
mathegirl
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> Die Basen von U und V sind nun klar, aber mir ist immer
> noch icht klar was hier V/U ist und ich weiß nicht wie ich
> weiter vorgehen soll nachdem nun die Basen von V und U
> feststehen.
Hallo,
dann sag jetzt doch erstmal die Basen, damit man es gleich an diesem Beispiel erklären kann.
Die allgemeine Erklärung hatte ich ja schon geliefert.
LG Angela
>
> Könnt ihr mir das vielleicht nochmal erklären? Ich habe
> es leider auch nach so vielen Erklärungen noch nicht so
> gut verstanden, dass ich es umsetzen kann.
>
>
> MfG
> mathegirl
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Okay,
Die Basis von U:= { [mm] X^2-2X+3 [/mm] }
die Basis von V:= { [mm] 1,X,X^2 [/mm] }
Alles weitere habe ich nicht so verstanden, dass ich es anwenden kann.
MfG
mathegirl
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Okay,
> Die Basis von U:= { [mm]X^2-2X+3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> die Basis von V:= { [mm]1,X,X^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Alles weitere habe ich nicht so verstanden, dass ich es
> anwenden kann.
Hallo,
ich gerate nun ins Grübeln, was ich so unverständlich formuliert habe.
Ich würde es gern verbessern.
Ich habe mich doch sehr an Deinen Fahrplan gehalten, Du hattest doch anfangs sehr schön gesagt, was man machen muß.
Wir haben jetzt also die beiden Basen.
Nimm jetzt den Basisvektor von U und ergänze ihn zu einer Basis von V.
Das kannst Du machen, wie Du lustig bist, Hauptsache, es ist am Ende eine Basis von V da, deren einer Vektor der Basisvektor von U ist.
Eine Möglichkeit, zu solch einer Basis zu kommen, hatte ich vorgeschlagen: tausche in der Standardbasis von V einen Vektor so gegen den Basisvektor von U aus, daß die neue Menge auch eine Basis von V ist.
Wenn wir das haben, kann es weitergehen.
LG Angela
>
>
> MfG
> mathegirl
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Da genau liegt schon mein erstes Problem. U so zu ergänzen, dass es eine Basis von V ist. Das mit den Basen sitzt noch nicht so sicher.
U ist doch auch grad 2, wie U. Ich weiß es leider nicht und habe keine Idee wie ich U zu V ergänzen kann. :( Ich könnte jetzt raten aber das bringt das ganze hier nicht weiter.
MfG
mathegirl
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> Da genau liegt schon mein erstes Problem. U so zu
> ergänzen, dass es eine Basis von V ist. Das mit den Basen
> sitzt noch nicht so sicher.
Hallo,
nachdem Du nun schon seit ein paar Wochen LA studierst, mußt Du diesen Zustand schleunigst ändern. Sonst kannst Du einpacken.
>
> U ist doch auch grad 2,
??? U ist ein Vektorraum, und Vektorräume haben keinen Grad.
U wird von einem Vektor aufgespannt, also ist dimU=1.
Der VR V esteht aus Polynomen, U dann natürlich auch, und die Basis von U besteht aus einem Polynom vom grad 2.
> > U ist doch auch grad 2,wie U.
Wie bitte? Ach, Du meinst V. Sinnvoll ist es trotzdem nicht, was Du schreibst.
V enthält alle Polynome vom Höchstgrad 2, U enthält alle Vielfachen des einen Polynoms, welches den Grad 2 hat.
> Ich weiß es leider nicht
> und habe keine Idee wie ich U zu V ergänzen kann. :( Ich
> könnte jetzt raten aber das bringt das ganze hier nicht
> weiter.
Du sollst nicht U zu V ergänzen.
Du sollst die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen.
Was man dafür tun muß, habe ich im Thread geschrieben.
Vielleicht wiederholst Du das einfach mal, damit es hier vor Augen ist, und sagst genau, welchen der Schritte zu vollziehen Dir unmöglich ist.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hallo
Also sicher bin ich mir bei der aufgabe noch gar nicht.
Um U zu einer Basis von V zu ergänzen hätte ich (mehr geraten als gewusst) gesagt $ [mm] B_V [/mm] = [mm] (x^2-2x+3, [/mm] x, [mm] x^2) [/mm] $ Weil man kann doch $ [mm] x^2-2x+3 [/mm] $ als ein Vielfaches von 1 sehen. Macht das Sinn? *rot wird*
LG
Fin
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> Hallo
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> Also sicher bin ich mir bei der aufgabe noch gar nicht.
> Um U zu einer Basis von V zu ergänzen hätte ich (mehr
> geraten als gewusst)
Hallo,
zu raten ist völlig i.O., nur mußt Du Dich anschließend davon überzeugen, daß Du richtig geraten hast.
Hier tust Du das, indem Du Dich von der linearen Unabhängigkeit Deiner Menge überzeugst.
> gesagt [mm]B_V = (x^2-2x+3, x, x^2)[/mm] Weil
> man kann doch [mm]x^2-2x+3[/mm] als ein Vielfaches von 1 sehen.
> Macht das Sinn? *rot wird*
Deine Basis ist wirklich eine Basis.
Die Begründung ist sinnlos.
Wie gesagt: da Du weißt, daß dim V=3, brauchst Du nur zu zeigen, daß Deine Vektoren linear unabhängig sind.
Eine andere einleuchtende Begründung wäre die, daß man den aus der Standardbasis geworfenen Vektor 1 als Linearkombination der Vektoren von [mm] B_V [/mm] schreiben kann.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 19.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich muss zeigen, dass [mm] B_V=(x^2-2x+3,x,x^2) [/mm] linear unabhängig ist.
Ich habe ein Problem das zu zeigen, und zwar wegen [mm] x,x^2.
[/mm]
[mm] x^2-2x+3 [/mm] als linear unabhängig zu zeigen ist kein Ding. Wie zeige ich das mit den dazugehörigen [mm] x,x^2?
[/mm]
[mm] a_1*3+a_2*2x+a_3*x^2=0
[/mm]
x=0
[mm] x^2=0???
[/mm]
Vielleicht denke ich auch nur zu schwierig.
LG
heinze
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> Ich muss zeigen, dass [mm]B_V=(x^2-2x+3,x,x^2)[/mm] linear
> unabhängig ist.
>
> Ich habe ein Problem das zu zeigen, und zwar wegen [mm]x,x^2.[/mm]
>
> [mm]x^2-2x+3[/mm] als linear unabhängig zu zeigen ist kein Ding.
Ja, ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist immer linear unabhängig.
> Wie zeige ich das mit den dazugehörigen [mm]x,x^2?[/mm]
>
> [mm]a_1*3+a_2*2x+a_3*x^2=0[/mm]
> x=0
> [mm]x^2=0???[/mm]
>
> Vielleicht denke ich auch nur zu schwierig.
Hallo,
nein, Du denkst nicht zu schwierig, sondern Du hast etwas ganz Grundsätzliches nicht verstanden:
Die Elemente des VRes der Polynome, also die Vektoren (!!!), sind hier Polynome.
Du mußt jetzt die lineare Unabhängigkeit dreier Vektoren [mm] v_1:=2+2X+X^2, v_2:=X, v_3:=X^2 [/mm] zeigen, also zeigen, daß aus
[mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0 [/mm] folgt, daß die [mm] a_i [/mm] alle =0 sind.
LG Angela
>
>
> LG
> heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 19.01.2012 | | Autor: | heinze |
Danke fürs Erklären und den Hinweis. Mit dem bestimmen von Basen und Linearität tue ich mich noch schwer, aber ich kriege hier ja gute Untestützung es zu verstehen ;)
[mm] a_1*(x^2-2x+3)+a_2(x)+a_3(x^2)=0
[/mm]
Da sieht man ja schon, dass alle [mm] a_i [/mm] =0 sein müssen. Denn selbst wenn die x=0 wären, liegt keine Linearität vor.
Wie genau man das zeigt, das weiß hier auch nicht.
Eine Basis von V/U ist demnach [mm] B_{V/U}=(x,x^2) [/mm] richtig?
b) Nun soll ich die Restklassen [mm] (2X^2-5X+7)+U [/mm] und [mm] (3X^2+X-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) also [mm] B_{V/U}=(x,x^2) [/mm] schreiben.
1.Frage: Setze ich für U das U aus Aufgabenteil a) ein? oder ist das U wie nach Definition mein Nullvektor?
2.Frage: Mir ist noch nicht klar was hier meine Vektoren sind und was meine Koeffizienten sind.
Es wäre gut wenn mir das nochmal jemand erklären kann.
LG heinze
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> [mm]a_1*(x^2-2x+3)+a_2(x)+a_3(x^2)=0[/mm]
>
> Da sieht man ja schon, dass alle [mm]a_i[/mm] =0 sein müssen. Denn
> selbst wenn die x=0 wären, liegt keine Linearität vor.
> Wie genau man das zeigt, das weiß hier auch nicht.
Hallo,
Du hast links ein Polynom und rechts das Nullpolynom.
Sortiere links nach Potenzen von x und erinnere Dich daran, daß [mm] 1,x,x^2 [/mm] linear unabhängig sind.
>
> Eine Basis von V/U ist demnach [mm]B_{V/U}=(x,x^2)[/mm] richtig?
Nein.
In V/U sind doch Äquivalenzklassen, in diesem Fall Elemente der Gestalt [mm] p+, [/mm] p ist dabei ein Polynom aus V.
Von dieser Bauart muß dann doch auch die Basis sein.
Die beiden zu obigen Ergänzungsvektoren gehörenden Äquivalenzklassen bilden eine Basis des Quotientenraumes.
Das ist natürlich auch für Aufg. b) von Belang.
> b) Nun soll ich die Restklassen [mm](2X^2-5X+7)+U[/mm] und
> [mm](3X^2+X-1)+U[/mm] als Linearkombination der Basis aus a) also
> [mm]B_{V/U}=(x,x^2)[/mm] schreiben.
s.o.
>
> 1.Frage: Setze ich für U das U aus Aufgabenteil a) ein?
> oder ist das U wie nach Definition mein Nullvektor?
??? Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
Die Basis des Quotientenraumes ist ([x]=x+U, [mm] [x^2]=x^2+U).
[/mm]
Du mußt nun koeffizieten [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] finden mit
[mm] $(2X^2-5X+7)+U$=k_1[x]+k_2[x^2].
[/mm]
Dafür könnte es sinnvoll sein, nochmal die Äquivalenzklassen anzugucken und festzustellen, wann zwei Äquivalenzklassen gleich sind.
> 2.Frage: Mir ist noch nicht klar was hier meine Vektoren
> sind und was meine Koeffizienten sind.
Die Vektoren im Quotientenraum V/U sind die Äquivalenzklassen modulo U, die Koeffizienten entstammen dem V zugrundeliegenden Körper.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 19.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich verstehe glaub ich so langsam nichts mehr. Auch das Thema Faktorraum und Äquivalenzklassen ist mir auch anch gründlichem Nacharbeiten noch fremd und ich habe es bis heute nicht verstanden.
Also erstmal zum Prüfen der Linearität:
Ich muss also die Polynome nach Potenzen ordnen:
[mm] a_1(3-2x+x^2)+a_2(x)+a_3(x^2)=0
[/mm]
Aber damit ist die Linearität noch nicht gezeigt. Ich tue mich damit irgendwie schwer!
Dann zu der Basis von V/U:
Der Ergänzungsvektor ist hier [mm] v=(x,x^2)
[/mm]
[mm] p+ [/mm] muss die Form der Basis sein.
Wenn p ein Polynom aus V ist, dann muss dieses p doch die Ergänzung sein die berechnet wurde oder nicht?
Äquivalenzklassen sind gleich, wenn ihre Repräsentanten in Relation zueinander stehen, also reflexiv, symmetrisch und transitiv sind.
Ich hoffe mir kommt bei dieser Problematik noch irgendwann die Erleuchtung!
LG heinze
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> Ich verstehe glaub ich so langsam nichts mehr. Auch das
> Thema Faktorraum und Äquivalenzklassen ist mir auch anch
> gründlichem Nacharbeiten noch fremd und ich habe es bis
> heute nicht verstanden.
Hallo,
dann mußt Du Dich nochmal ransetzen, und die Herleitung der Quotientenräume von Adam und Eva an nachvollziehen.
Wie ich in einem anderen Beitrag schrieb: das, was in der Mitschrift/Skript steht, am besten parallel an einem eigenen Beispiel nachvollziehen.
Einen anderen Rat kann man hier nicht geben.
Um leidlich mit diesen Räumen umzugehen, mag das helfen, was ich vor Minuten der Kommilitonin geschrieben habe.
>
> Also erstmal zum Prüfen der Linearität:
Es soll keine Linearität geprüft werden. Linearität ist eine Eigenschaft gewisser Funktionen. Wir aber haben's gerade mit Vektoren zu tun.
> Ich muss also die Polynome nach Potenzen ordnen:
> [mm]a_1(3-2x+x^2)+a_2(x)+a_3(x^2)=0[/mm]
Du sollst die linke Seite nach Potenzen ordnen und dann die lineare Unabhängigkeit von [mm] (1,x,x^2) [/mm] nutzen.
Zur Erinnerung: Du wolltest doch zeigen, daß Deine 3 Vektoren eine basis von V sind, also linear unabhängig.
>
> Aber damit ist die Linearität noch nicht gezeigt. Ich tue
> mich damit irgendwie schwer!
Ja, weil Du etwas Sinnloses zeigen willst...
>
> Dann zu der Basis von V/U:
> Der Ergänzungsvektor ist hier [mm]v=(x,x^2)[/mm]
Nein. Die Ergänzungsvektoren sind x und [mm] x^2.
[/mm]
(Ein Gefühl sagt mir: Du mußt noch an Deinem Verständnis des Begriffes "Vektor" arbeiten. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Besteht der VR aus jungen Katzen, sind die Vektoren junge Katzen.)
>
> [mm]p+[/mm] muss die Form der Basis sein.
Nein. Es muß die Form der Elemente der gesuchten Basis von V/U sein.
> Wenn p ein Polynom aus V ist, dann muss dieses p doch die
> Ergänzung sein die berechnet wurde oder nicht?
"Muß" will ich jetzt nicht unbedingt sagen. Aber mit den beiden berechneten Vektoren funktioniert es. deshalb haben wir sie ja berechnet.
Eine Fülle anderer Vektoren wäre ebenfalls möglich - Basen sind ja i.a. nicht eindeutig.
> Äquivalenzklassen sind gleich, wenn ihre Repräsentanten
> in Relation zueinander stehen,
Richtig.
>
> Äquivalenzklassen sind gleich, wenn ihre Repräsentanten
> in Relation zueinander stehen, also reflexiv, symmetrisch
> und transitiv sind.
Blödsinn! Elemente können nicht reflexiv, symmetrisch oder transitiv sein.
Dies ist sind Eigenschaften von Relationen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 19.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
$ [mm] B_V [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] -2x + 3 , x , [mm] x^2) [/mm] $
weil $ [mm] \lambda_1(x^2-2x+3) [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] x + [mm] \lambda_3 x^2 [/mm] = 0 $
[mm] \Rightarrow [/mm] (ausmultipliziert und anders ausgeklammert) $ [mm] x^2(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3) [/mm] + [mm] x(\lambda_2 [/mm] - 2 [mm] \lambda_1) [/mm] + 3 [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 $
Und daraus folgt doch schon, dass [mm] \lambda_1 [/mm] und damit auch [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] null sein müssen und damit ist es linear unabhängig.
> In V/U sind doch Äquivalenzklassen, in diesem Fall
> Elemente der Gestalt [mm]p+,[/mm] p ist dabei ein Polynom
> aus V.
>
> Von dieser Bauart muß dann doch auch die Basis sein.
> Die beiden zu obigen Ergänzungsvektoren gehörenden
> Äquivalenzklassen bilden eine Basis des Quotientenraumes.
Also $ [mm] B_{V/U} [/mm] = [mm] (x+(x^2 [/mm] -2x+3), [mm] x^2 +(x^2 [/mm] -2x+3)) = [mm] (x^2-x+3, 2x^2-2x+3) [/mm] $ ?
Bitte sag jemand "ja", ich glaub dann hab ich es verstanden *hoffnungsvoll guckt*
LG
Fin
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Hallo!
> Hi
>
> [mm]B_V = (x^2 -2x + 3 , x , x^2)[/mm]
> weil [mm]\lambda_1(x^2-2x+3) + \lambda_2 x + \lambda_3 x^2 = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (ausmultipliziert und anders ausgeklammert)
> [mm]x^2(\lambda_1 + \lambda_3) + x(\lambda_2 - 2 \lambda_1) + 3 \lambda_1 = 0[/mm]
>
> Und daraus folgt doch schon,
weil [mm] (1,x,x^3) [/mm] liner unabhängig,
> dass [mm]\lambda_1[/mm] und damit auch
> [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] null sein müssen und damit ist es
> linear unabhängig.
Ja.
>
>
> > In V/U sind doch Äquivalenzklassen, in diesem Fall
> > Elemente der Gestalt [mm]p+,[/mm] p ist dabei ein Polynom
> > aus V.
> >
> > Von dieser Bauart muß dann doch auch die Basis sein.
> > Die beiden zu obigen Ergänzungsvektoren gehörenden
> > Äquivalenzklassen bilden eine Basis des Quotientenraumes.
>
> Also [mm]B_{V/U} = (x+(x^2 -2x+3), x^2 +(x^2 -2x+3)) = (x^2-x+3, 2x^2-2x+3)[/mm]
Du bist dicht dran, hast aber doch noch eine Fehler drin, der mit dem Verständnis zusammenhängt.
Nochmal:
In V/U sind Äquivalenzklassen, in diesem Fall Elemente der Gestalt [mm] $p+,$ [/mm] p ist dabei ein Polynom aus V.
Die sptzen Klammern stehen für Span/lineare Hülle/Erzeugnis.
Es wird also nicht etwa das Polynom [mm] x^2-2x+3 [/mm] zu p addiert, sondern ein kompletter VR, der von [mm] x^2-2x+3 [/mm] aufgespannte Raum.
Richtig wäre also [mm] B_{V/U}=(x+, x^2+).
[/mm]
Möglicherweise verwendet Ihr auch die Schreibweise [x], [mm] [x^2], [/mm] man sollte jedoch wissen, daß [p]=p+U.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 19.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
zur b)
[mm] $B_{V/U} [/mm] = (x + [mm] ) [/mm] $
$ [v] = (x + [mm] ) [/mm] $
und $ [v] = v+u $
In der b) ist nach $ [mm] (2x^2 [/mm] -5x +7) + U $ gefragt.
Also $ [mm] (2x^2 [/mm] -5x +7) + [mm]
Und das soll als Linearkombination von [mm] $B_{V/U} [/mm] = (x + [mm] ) [/mm] $ geschrieben werden.
Angela schrieb dazu ja (hier) schon, dass man zwei Koeffizienten [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] finden müsse mit
$ [mm] (2X^2-5X+7)+U [/mm] = [mm] k_1[x]+k_2[x^2] [/mm] $
Hab auch mal nachgeguckt, wann zwei Äquivalenzklassen gleich sind, nämlich :
[a] = [b] [mm] \gdw [/mm] a~b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in [/mm] [b] [mm] \gdw [/mm] b [mm] \in [/mm] [a]
Aber das will mir grad so gar nichts sagen... : /
LG
Fin
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> Hi
>
> zur b)
>
> [mm]B_{V/U} = (x + , x^2 + )[/mm]
Hallo,
das ist richtig.
Die Basis besteht aus zwei Vektoren, aus X + [mm] .
[/mm]
Du kannst sie auch schreiben als [mm] [X],[X^2], [/mm] genauer als [mm] [X]_U, [X^2]_U, [/mm] und in einem anderen Beitrag habe ich gesehen, daß bei Euch [mm] \overline{X}, \overline[X^2] [/mm] verwendet wird.
(Die Ähnlichkeit zur Schreibweise von Restklassen ist weder zufällig noch unbeabsichtigt.)
>
> [mm][v] = (x + , x^2 + )[/mm]
> und [mm][v] = v+u[/mm]
Unfug. Für [mm] v\in [/mm] V ist [mm] [v]=v+U=\{v+u|u\in U\}
[/mm]
Die Aufgabe a) ist nun ja gelöst.
Wir sollten uns aber mal einen Vektor des Quotientenraumes V/U genauer unter die Lupe nehmen, vielleicht auch zwei. Irgendwie habe ich das Gefühl, daß ihre Machart noch nicht ganz klar ist.
Nehmen wir mal den Vektor [mm] [X^2-1]. [/mm] (Ich verwende die eckige Schreibweise statt Eurer Oberstriche, weil man nicht so viel tippen muß.)
Diesen Vektor kann ich auch schreiben als [mm] (X^2-1)+,
[/mm]
also ist [mm] [X^2+1]=(X^2-1)+= \{(X^2+1)+u| u\in \}={(x^2+1)+\lambda (X^2-2X+1)|\lambda\in \IR\}.
[/mm]
Beispiele für Elemente dieser Menge:
es ist [mm] 2X^2-2X+4\in [X^2+1], [/mm] denn [mm] 2X^2-2X+4= X^2+1+1*(X^2-2X+3),
[/mm]
es ist [mm] (1+\wurzel{17})X^2-2X+(1+3\wurzel{17})\in [X^2+1], [/mm] denn [mm] (1+\wurzel{17})X^2-2X+(1+3\wurzel{17})= X^2+1+\wurzel{17}*(X^2-2X+3),X^2+1=X^2+1+0*(X^2-2X+3).
[/mm]
Meist muß man aber gar nicht so genau drüber nachdenken, was in [mm] [X^2+1] [/mm] drin ist, man rechnet halt mit den In der Vorlesung erklärten Verküpfungen, z.B. [mm] [X^2+1]+[X-4]=[X^2+X-3], 7*[X^2+1]=[7X^2+7].
[/mm]
Man könnte sich dafür interessieren, ob das Element [mm] X^2+X+1 [/mm] in [mm] [X^2+1] [/mm] liegt.
Drin liegt es, wenn [mm] X^2+X+1 [/mm] und [mm] X^2+1 [/mm] äquivalent modulo [mm] U= [/mm] sind, wenn also
[mm] (X^2+X+1)-(X^2+1)\in . [/mm] Ist das hier der Fall?
Weiter kannst Du Dir anhand der Bezeichnungen überlegen, daß U=0+U=[0] das Nullelement in V/U ist. Immer. Egal, welchen Quotientenraum Du betrachtest.
Dies war jetzt mal so ein bißchen querbeet am Beispiel den Quotientenräumen nachgegangen.
Wenn Du sie wirklich richtig verstehen willst und nicht nur damit rechnen, mußt Du den Weg, der in der Vorlesung schließlich dazu geführt hat, daß V/U ein Vektorraum ist, ganz genau nachvollziehen. Ich find's auch nützlich, die Konstrution der Vorlesung parallel an einem eigenen Beispiel nachzuvollziehen. So habe ich es dereinst begriffen.
>
> In der b) ist nach [mm](2x^2 -5x +7) + U[/mm] gefragt.
> Also [mm](2x^2 -5x +7) + [/mm] ?
Ja. Oder, sofern Du die andere Schreibweise lieber magst, ausch: [mm] [2X^2-5X+7].
[/mm]
> Und das soll als Linearkombination von [mm]B_{V/U} = (x + , x^2 + )[/mm]
> geschrieben werden.
Also Linearkombination der beiden Vektoren, die da drin sind.
>
> Angela schrieb dazu ja
> (hier) schon, dass man
> zwei Koeffizienten [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] finden müsse mit
>
> [mm](2X^2-5X+7)+U = k_1[x]+k_2[x^2][/mm]
Wir bringen das jetzt mal in einen einheitliche Schreibweise auf beiden Seiten:
Du suchst [mm] k_1, k_2 [/mm] mit
[mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] = [mm] k_1(x+U)+k_2(x^2+U)
[/mm]
bzw.
[mm] [2X^2-5X+7] [/mm] = [mm] k_1[x]+k_2[x^2]
[/mm]
Das, was ich im Anschluß an a) schrieb, könnte helfen.
Probier mal ein wenig.
>
> Hab auch mal nachgeguckt, wann zwei Äquivalenzklassen
> gleich sind, nämlich :
> [a] = [mm]\gdw[/mm] a~b [mm]\gdw[/mm] a [mm]\in[/mm] [mm]\gdw[/mm] b [mm]\in[/mm] [a]
>
> Aber das will mir grad so gar nichts sagen... : /
>
Zwei Äquivalenzklassen modulo U (solche betrachten wir ja hier) sind gleich, wenn ihre Repräsentante äquivalent sind (hier: modulo U).
Ein kleines Beispiel dazu noch, weil es nützlich sein könnte [mm] [6x^2-7x-19 ]=[x^2+3x-4].
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 22.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Danke erstmal für die ganzen Beispiele und Erklärungen *_*
Leider hab ich es immer noch nicht so ganz raus.
> > Hab auch mal nachgeguckt, wann zwei Äquivalenzklassen
> > gleich sind, nämlich :
> > $ [a] = [mm] [b]\gdw [/mm] a $~$ b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \in [/mm] [b] [mm] \gdw [/mm] b [mm] \in [/mm] [a] $
>
> Zwei Äquivalenzklassen modulo U (solche betrachten wir ja
> hier) sind gleich, wenn ihre Repräsentante äquivalent
> sind (hier: modulo U).
Was? Was ist die Repräsentante?
Ich versteh das so, $ [a] = [b] $ wenn $ a - b [mm] \in [/mm] U $ (also in diesem Fall ist es halt das U)
Hab ich das so richtig verstanden?
> Ein kleines Beispiel dazu noch, weil es nützlich sein
> könnte [mm][6x^2-7x-19 ]=[x^2+3x-4].[/mm]
Allerdings funktioniert das dann hiermit nicht.
$ [mm] 6x^2-7x-19 [/mm] - [mm] (x^2+3x-4) [/mm] = [mm] 5x^2 [/mm] - 4x - 23 $
und $ [mm] 5x^2 [/mm] - 4x - 23 $ müsste dann in $ < [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3> $ liegen. Da komm ich auf kein gescheites Ergebnis.
> Man könnte sich dafür interessieren, ob das Element
> [mm]X^2+X+1[/mm] in [mm][X^2+1][/mm] liegt.
> Drin liegt es, wenn [mm]X^2+X+1[/mm] und [mm]X^2+1[/mm] äquivalent modulo
> [mm]U=[/mm] sind, wenn also
> [mm](X^2+X+1)-(X^2+1)\in .[/mm] Ist das hier der Fall?
Ja, es ist der Fall, weil
[mm] $(x^2 [/mm] + x + 1) - [mm] (x^2 [/mm] + 1) = x $
und x [mm] \in [/mm] U, weil $ x*(x-2 + 3/x) = [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3 $
Sagt mir bitte erstmal was ich falsch verstanden hab, denn wenn das schon falsch ist, macht meine Rechnung zur Aufgabe b) wahrscheinlich gar kein Sinn. ich schreib es trotzdem schonmal auf.
Also, es soll $ [mm] [2x^2 [/mm] - 5x + 7] = [mm] k_1 [/mm] [x] + [mm] k_2 [x^2] [/mm] $ sein, also muss
$ (2 [mm] x^2 [/mm] - 5x + 7) - [mm] (k_1 [/mm] x + [mm] k_2 x^2) \in [/mm] < [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3 > $
Das heißt ich muss $ [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] k_2 x^2 [/mm] - 5x - [mm] k_1 [/mm] x + 7 $ mit irgendwas multiplizieren, sodass $ [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3 $ rauskommt.
Wenn jetzt [mm] $k_2 [/mm] = 1, [mm] k_1 [/mm] = -3 $, dann könnte man es mit 1 - 4 multiplizieren, also
$ [mm] (x^2 [/mm] - 2x + 7) * 1 -4 = [mm] x^2 [/mm] - 2x +3 $
Dann wäre die Linearkombination $ [mm] [2x^2 [/mm] - 5x + 7] = -3[x] + [mm] [x^2]
[/mm]
Ich hoffe es macht wenigstens etwas Sinn, was ich geschrieben hab, weil wie gesagt, sicher bin ich mir wirklich noch nicht : (
LG
Fin
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Hallo,
ich krieg' 'nen Anfall: das Zitieren Deines Artikels klappt nicht gescheit.
Ich versuch's also so:
es ist a ein Repäsentant der Äquivalenzklasse [a] bzw. [mm] \overline{a}.
[/mm]
Wenn Du jetzt mal $ [mm] 6x^2-7x-19 [/mm] - [mm] (x^2+3x-4) [/mm] unter Beachtung aller Vor- und Rechenzeichen ausrechnest, müßte das Ergebnis in $ < [mm] x^2 [/mm] - 2x + 3> $ liegen.
Zur Frage, ob das Element $ [mm] X^2+X+1 [/mm] $ in $ [mm] [X^2+1] [/mm] $ liegt und Deiner Antwort darauf:
bedenke, daß in [mm] [/mm] nur reelle Vielfache dieses Polynoms liegen.
Wir betrachten ja einen VR über [mm] \IR, [/mm] die Koeffizienten sind also reelle Zahlen.
Festzustellen wren die Koeffizienten [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] in $ [mm] [2x^2 [/mm] - 5x + 7] = [mm] k_1 [/mm] [x] + [mm] k_2 [x^2] [/mm] $.
Als Ergebnis hast Du ermittelt $ [mm] [2x^2 [/mm] $ - 5x + 7] = -3[x] + $ [mm] [x^2] [/mm] $.
Gucken wir halt nach, ob es stimmt: [mm] 2x^2 [/mm] - 5x [mm] +7+3x-x^2=x^2-2x+7\not\in . [/mm] Klappt also nicht.
Du könntest hier so überlegen:
[mm] [2x^2 [/mm] - 5x + [mm] 7]=[2x^2 [/mm] - 5x + [mm] 7-\bruch{7}{3}(x^2 [/mm] - 2x + [mm] 3)]=[-\bruch{1}{3}x^2-\bruch{1}{3}x]=...*[x^2]+...[x].
[/mm]
Systematische Vorgehensweise:
schreibe [mm] 2x^2 [/mm] - 5x + 7 als Linearkombination der Vektoren der ergänzten Basis, bestimme also
[mm] 2x^2 [/mm] - 5x + [mm] 7=k_1x+k_2x^2+k_3(x^2 [/mm] - 2x + 3).
[mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] sind genau die Koeffizienten, die wir oben auch brauchen.
Ich glaube, Fred hatte diese Vorgehensweise bereits in einem der beiden Threads erläutert.
LG Angela
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Hi, ich wollte mal nachfragen ob mir jemand sagen kann, ob meine Lösung richtig ist, da ich mich bei dem Thema noch recht unsicher fühle. Mein Ergebnis zu Aufgabenteil b) ist:
[mm] [2x^2 [/mm] - 5x + 7]=[-1/3 [mm] [x^2] [/mm] - 1/3 [x]
und
[mm] [3x^2 [/mm] + x - 1]=[10/3 [mm] [x^2] [/mm] + 1/3 [x]
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast es richtig.
LG Angela
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Kann mir vielleicht nochmal jemand erklären wie ich auf diese [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] komme?
MfG
Mathegirl
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> Kann mir vielleicht nochmal jemand erklären wie ich auf
> diese [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] komme?
Hallo,
gerne.
LG Angela
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Das habe ich noch nicht verstanden, wie ich die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) darstellen kann.
Die Basis aus a) ist ja [mm] B_{V/U}=(x+, x^2+)
[/mm]
(PS: wie kann man die Basis mit [x]=x+U, [mm] [x^2]=x^2+U [/mm] schreiben? Ist das nur eine andere Formulierung oder was war mit dieser Schreibweise gemeint?)
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Do 19.01.2012 | | Autor: | davux |
Es gibt einige Schreibweisen für Äquivalenzklassen.
Wir benutzen in der Regel: [mm] $\overline{X}=X+U$ [/mm] (Polynome aus [mm] \IR_{[X]} [/mm] werden bei uns mit großem X versehen, nicht mit kleinem, ist aber ziemlich egal).
[mm] $B_{V/U}=\langle\overline{X},\overline{X^2}\rangle=Lin(\overline{X},\overline{X^2})=span(\overline{X},\overline{X^2})
[/mm]
Wie man nun die Menge aller Linearkombinationen (Lineare Hülle) schreibt, ob mit Lin(...), zackigen Klammer [mm] $\langle...\rangle$ [/mm] oder gar span(...) dürfte den Tutoren auch ziemlich egal sein. In unserem Sinne ist [x]=x+U, [X]=X+U, [mm] \overline{X}=X+U, [/mm] ...$ ziemlich äquivalent. Bisher war ich aber auch die eckigen Klammern gewohnt. Aktuell sind aber die Überstriche.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:17 Fr 20.01.2012 | | Autor: | heinze |
Hallo!
Mir ist auch noch nicht klar, wie ich die Restklassen als Linearkombination der Basis aus a) schreiben kann.
Könnt ihr das nochmal erklären um es mir verständlicher zu machen?
LG heinze
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> Mir ist auch noch nicht klar, wie ich die Restklassen als
> Linearkombination der Basis aus a) schreiben kann.
>
> Könnt ihr das nochmal erklären um es mir verständlicher
> zu machen?
Hallo,
vielleicht sagst Du grade nochmal, was V und U waren, welche Basis von V/U Du ermittelt hast,
und zeigst dann, was Du versucht hast, um den besagten Vektor als Linearkombination zu schreiben.
Dann haben alle alles schön vor Augen, und ich muß mich nicht durch den ganzen Thread klicken.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 21.01.2012 | | Autor: | heinze |
Sorry, das hatte ich vergessen.
[mm] U=Lin(x^2-2x+3)
[/mm]
V ist Vektorraum der Polynome Grad [mm] \le [/mm] 2
[mm] B_{V/U}=(x+,x^2+)
[/mm]
Eine Frage hierzu. Die Basis von V/U wurde bestimmt. Aber wie drücke ich V/U aus? Das ist mir bei dem Kochrezept entgangen.
Meine Frage ist nun, wie kann ich die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1) [/mm] als Linearkombination der Basis darstellen?
LG heinze
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> [mm]U=Lin(x^2-2x+3)[/mm]
> V ist Vektorraum der Polynome Grad [mm]\le[/mm] 2
>
> [mm]B_{V/U}=(x+,x^2+)[/mm]
>
>
> Eine Frage hierzu. Die Basis von V/U wurde bestimmt. Aber
> wie drücke ich V/U aus? Das ist mir bei dem Kochrezept
> entgangen.
Hallo,
haargenau so, wie Du es getan hast.
Alternativ kannst du schreiben [mm] B_{V/U}=(\overline{x}, \overline{x^2}).
[/mm]
Du nimmst also die Ergänzungsvektoren als Repräsentanten von Äquivalenzklassen und hast damit eine Basis des Quotientenraumes gefünden.
Allmählich komme ich mit den Threads etwas durcheinander, möglicherweise wiederhole ich mich...
>
> Meine Frage ist nun, wie kann ich die Restklassen
> [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm] und [mm](3x^2+x-1)[/mm][mm] \red{+U} [/mm] als Linearkombination der
> Basis darstellen?
Klar sollte sein: Du suchst [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] mit
[mm] $(2x^2-5x+7)+U$=k_1(x+U)+k_2(x^2+U),
[/mm]
bzw. in der anderen Schreibweise [mm] \overline{(2x^2-5x+7)}=k_1\overline{x}+k_2\overline{x^2}.
[/mm]
An dieser Stelle klinke ich mich erstmal aus.
Tips: Verknüpfungen zwischen Äquivalenzklassen, wann sind zwei Äquivalenzklassen gleich, um welche Äquivqlqnzrelation geht es hier eigentlich?
LG Angela
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ich steige da auch noch nicht ganz durch:
> Klar sollte sein: Du suchst [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] mit
>
> [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =k_1(x+U)+k_2(x^2+U),[/mm]
>
> bzw. in der anderen Schreibweise
> [mm]\overline{(2x^2-5x+7)}=k_1\overline{x}+k_2\overline{x^2}.[/mm]
Was ist auf der linken Seite mein U? und was setze ich rechts bei der Gleichung?
Ich habe das noch nicht ganz verstanden.
MfG
Mathegirl
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> ich steige da auch noch nicht ganz durch:
>
> > Klar sollte sein: Du suchst [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] mit
> >
> > [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =k_1(x+U)+k_2(x^2+U),[/mm]
> >
> > bzw. in der anderen Schreibweise
> > [mm]\overline{(2x^2-5x+7)}=k_1\overline{x}+k_2\overline{x^2}.[/mm]
>
> Was ist auf der linken Seite mein U?
Hallo,
das U, was es in der ganzen Aufgbe schon ist.
> und was setze ich
> rechts bei der Gleichung?
Hm? Ich verstehe nicht, wonach Du fragen willst.
>
> Ich habe das noch nicht ganz verstanden.
Geht mir auch grad so.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich fordere euch viel Geduld, ich weiß.
Aber mir ist nicht so richtig klar was ich einsetzen muss. Okay, ich probiere es mal:
[mm] (2x^2-5x+7)+=k_1(x+)+k_2(x^2+)
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich bin mir nun nicht sicher wie ich [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] bestimmen kann.
MfG
Mathegirl
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> Ich fordere euch viel Geduld, ich weiß.
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> Aber mir ist nicht so richtig klar was ich einsetzen muss.
> Okay, ich probiere es mal:
>
> [mm](2x^2-5x+7)+=k_1(x+)+k_2(x^2+)[/mm]
>
> Ist das so richtig?
> Ich bin mir nun nicht sicher wie ich [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] bestimmen
> kann.
Hallo,
ich hatte doch zuvor schon gesagt, daß man nun die Regeln fürs Rechnen mit Restklassen verwenden verwenden kann, so daß man auch rechts nur noch eine Restklasse stehen hat.
Dann hatte ich gesag, daß man das Wissen darüber, wann zwei Restklassen gleich sind, gebrauchen kann.
Aber ich ahne, daß Du am liebsten gar nichts probieren möchtest.
Daher ein Kochrezept:
Schreibe mal den Vektor [mm] 2x^2+5x-7 [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren der unterwegs gewonnenen neuen Basis des Raumes V.
Die Koeffizienten vor x und [mm] x^2 [/mm] sind die gesuchten.
LG Angela
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 So 22.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich klinke mich mal mit ein, ich habe ebenfalls Probleme mit den Restklassen. ich suche noch anch guter Literatur und Beispielen zum Nachvollziehen.
[mm] (2x^2-5x+7)(x+)+(2x^2-5x+7)(x^2+)=k_1(x+<2x^2-2x+3>+ k_2(x+<2x^2-2x+3>
[/mm]
So kann es wohl nicht stimmen. Vermutlich stehe ich mit beiden Füßen auf dem Schlauch.
LG heinze
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> Ich klinke mich mal mit ein, ich habe ebenfalls Probleme
> mit den Restklassen. ich suche noch anch guter Literatur
> und Beispielen zum Nachvollziehen.
Hallo,
jedes Buch, welches die lineare Algebra zum Thema hat, sollte Auskunft geben. Nimm das, welches Dir sympathisch ist.
Beispiele findest Du in Aufgabensammlungen. das ist nützlich, aber von dem Glauben, daß Du Mathematik an Beispielen verstehen kannst, solltest Du Dich trennen.
>
> [mm](2x^2-5x+7)(x+)+(2x^2-5x+7)(x^2+)=k_1(x+<2x^2-2x+3>+ k_2(x+<2x^2-2x+3>[/mm]
>
> So kann es wohl nicht stimmen.
Was soll das? Die zu lösende Gleichung stand doch richtig da!
Jetzt hast Du sie zur Sinnlosigkeit verunstaltet.
Ich bin ja etwas traurig:
ich habe von der ursprünglich richtigen Gleichung ausgehend Tips gegeben, wie man sich zur Lösung vorarbeiten kann, das erworbene Wissen nutzend.
Aber - man "kennt" Euch ja inzwischen... - ich habe in meinem vorhergehenden Beitrag, an welchen Du direkt andockst, doch auch ein Kochrezept ohne jegliche Theorie angegeben, wie man zu den Koeffizienten kommt.
Die Theorie dazu hat Fred in diesem oder einem anderen Eurer Threads geliefert.
Ich verstehe nicht, warum nichts davon beherzigt wird.
> Vermutlich stehe ich mit
> beiden Füßen auf dem Schlauch.
Nö, daran liegt's nicht.
Du hast vergessen, das Wasser aufzudrehen.
Mach doch einfach mal das, was dasteht!
LG Angela
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 So 22.01.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Ich kann gerade keine linearkombination bilden. Wie macht das doch gleich mit de Basis aus a)
Vielleicht helfen die Tipps den anderen weiter.
Ich klinke mich besser erstmal aus, die Aufgabe ist mir gerade zu abstrakt und das Verständnis fehlt.
MfG
mathegirl
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