Basis einer Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier in meiner Vorlesung folgende Definition für die Basis einer Topologie:
X eine Menge. Eine Basis (einer Topologie auf X) B ist eine Teilmenge von P(X) [Anm.: Potenzmenge] mit den folgenden Eigenschaften:
1) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] B$ mit $x [mm] \in [/mm] U$
2) Falls [mm] $U_1,U_2 \in [/mm] B$ und $x [mm] \in U_1 \cap U_2$ \Rightarrow \exists U_3 [/mm] mit $x [mm] \in U_3 \subset U_1 \cap U_2$
[/mm]
Meine Frage zu dieser Definition ist:
Wenn da jetzt nicht dabei stehen würde, dass es sich um die Basis einer Topologie handeln würde, dann würde ich das aus dieser Definition heraus überhaupt nicht erkennen. Alles was ich daraus lese, ist, dass es sich bei einer Basis um eine Menge von Mengen handelt, die gewisse Eigenschaften erfülllen sollen. Was das ganze nun mit einer Topologie zu tun haben soll, sehe ich nicht.
Das einzige, was bei beiden(Topologie und Bsais) gleich ist, ist, dass beide Teilmengen der Potenzmenge von X sind, aber auch das ist für mich immer noch kein Zusammenhang zwischen Basis und Topologie, denn diese beiden Teilmengen müssen ja rein gar nichts miteinander zu tun haben.
Kann ich diese Menge B theoretisch nicht auch finden, ohne das es irgendeine Topologie gibt?
Vielen Dank.
LG Nadine
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Hallo Nadine!
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe hier in meiner Vorlesung folgende Definition für
> die Basis einer Topologie:
>
> X eine Menge. Eine Basis (einer Topologie auf X) B ist eine
> Teilmenge von P(X) [Anm.: Potenzmenge] mit den folgenden
> Eigenschaften:
> 1) [mm]\forall x \in X \exists U \in B[/mm] mit [mm]x \in U[/mm]
> 2) Falls
> [mm]U_1,U_2 \in B[/mm] und [mm]x \in U_1 \cap U_2[/mm] [mm]\Rightarrow \exists U_3[/mm]
> mit [mm]x \in U_3 \subset U_1 \cap U_2[/mm]
Hier fehlt ein [mm] '$\in [/mm] B$'!
>
> Meine Frage zu dieser Definition ist:
>
> Wenn da jetzt nicht dabei stehen würde, dass es sich um
> die Basis einer Topologie handeln würde, dann würde ich
> das aus dieser Definition heraus überhaupt nicht erkennen.
> Alles was ich daraus lese, ist, dass es sich bei einer
> Basis um eine Menge von Mengen handelt, die gewisse
> Eigenschaften erfülllen sollen. Was das ganze nun mit
> einer Topologie zu tun haben soll, sehe ich nicht.
Eine Topologie, die etwas mit der Basis zu tun hat, ist die Topologie, die aus allen Mengen besteht, die Vereinigungen von Mengen dieser Basis sind.
>
> Das einzige, was bei beiden(Topologie und Bsais) gleich
> ist, ist, dass beide Teilmengen der Potenzmenge von X sind,
> aber auch das ist für mich immer noch kein Zusammenhang
> zwischen Basis und Topologie, denn diese beiden Teilmengen
> müssen ja rein gar nichts miteinander zu tun haben.
>
> Kann ich diese Menge B theoretisch nicht auch finden, ohne
> das es irgendeine Topologie gibt?
Zu einer Basis existiert auch immer die eben erwähnte Topologie.
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo mathfunnel!
> > Meine Frage zu dieser Definition ist:
> >
> > Wenn da jetzt nicht dabei stehen würde, dass es sich um
> > die Basis einer Topologie handeln würde, dann würde ich
> > das aus dieser Definition heraus überhaupt nicht erkennen.
> > Alles was ich daraus lese, ist, dass es sich bei einer
> > Basis um eine Menge von Mengen handelt, die gewisse
> > Eigenschaften erfülllen sollen. Was das ganze nun mit
> > einer Topologie zu tun haben soll, sehe ich nicht.
>
> Eine Topologie, die etwas mit der Basis zu tun hat, ist die
> Topologie, die aus allen Mengen besteht, die Vereinigungen
> von Mengen dieser Basis sind.
Hmm, so ganz verstehe ich das noch nicht...
Hast du vielleicht ein Beispiel, an dem man mal sehen kann, was eine Basis genau ist?
Und woher erkenne ich aus der Definition, dass es sich um die von dir beschriebene Topologie handelt?
Vielen Dank.
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Meine Frage zu dieser Definition ist:
> > >
> > > Wenn da jetzt nicht dabei stehen würde, dass es sich um
> > > die Basis einer Topologie handeln würde, dann würde ich
> > > das aus dieser Definition heraus überhaupt nicht erkennen.
> > > Alles was ich daraus lese, ist, dass es sich bei einer
> > > Basis um eine Menge von Mengen handelt, die gewisse
> > > Eigenschaften erfülllen sollen. Was das ganze nun mit
> > > einer Topologie zu tun haben soll, sehe ich nicht.
> >
> > Eine Topologie, die etwas mit der Basis zu tun hat, ist die
> > Topologie, die aus allen Mengen besteht, die Vereinigungen
> > von Mengen dieser Basis sind.
>
> Hmm, so ganz verstehe ich das noch nicht...
>
> Hast du vielleicht ein Beispiel, an dem man mal sehen kann,
> was eine Basis genau ist?
Eine Basis der "normalen" Topologie auf [mm] $\IR$ [/mm] ist durch [mm] $\{ B_\varepsilon(x) \mid x \in \IR, \varepsilon > 0 \}$ [/mm] gegeben, wobei [mm] $B_\varepsilon(x) [/mm] = (x - [mm] \varepsilon, [/mm] x + [mm] \varepsilon)$ [/mm] ist.
Allgemeiner: ist $d$ eine Metrik auf einem Raum $X$, so ist [mm] $\{ B_\varepsilon(x) \mid x \in X, \varepsilon > 0 \}$ [/mm] eine Basis der von $d$ erzeugten Topologie, wobei [mm] $B_\varepsilon(x) [/mm] = [mm] \{ y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Oh man, ich glaube, ich habe so einiges noch nicht verstanden...
> Eine Basis der "normalen" Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist durch [mm]\{ B_\varepsilon(x) \mid x \in \IR, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> gegeben, wobei [mm]B_\varepsilon(x) = (x - \varepsilon, x + \varepsilon)[/mm]
> ist.
Was ist denn die "normale" Topologie?
> Allgemeiner: ist [mm]d[/mm] eine Metrik auf einem Raum [mm]X[/mm], so ist [mm]\{ B_\varepsilon(x) \mid x \in X, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> eine Basis der von [mm]d[/mm] erzeugten Topologie, wobei
> [mm]B_\varepsilon(x) = \{ y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon \}[/mm]
> ist.
Hmm, was ist denn eine von einer Metrik erzeugte Topologie?
Ich hab hier in meiner Vorlesung auch so einen komischen Satz mit Metriken und Topologien stehen:
"Im Falle von metrischen Räumen hat man die Topologie mit Hilfe der offenen Kugeln defi niert."
Ich weiß überhaupt nicht, was das bedeuten soll, weil ich auch nix finde, wo so etwas definiert wird.
Alles was ich finde, ist folgender Satz:
"Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm]T=\{U \subset X | U offen\}[/mm]. Dann gelten folgende Aussagen:
1) [mm]\emptyset , X \in T[/mm]
2) [mm]I \subset T \Rightarrow \bigcup_{U \in I} U \subset T[/mm]
3) [mm]\{U:1,...,U_n\} \subset T \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n} U_i \subset T[/mm]"
Irgendwie sieht das ja aus wie die Definition einer Topologie, hat es damit etwas zu tun? Aber das bezieht sich ja auf alle offenen Teilmengen, und nicht nur auf offene Kugeln...
Vielen Dank!
LG Nadine
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Hallo Nadine!
> Hallo!
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> Oh man, ich glaube, ich habe so einiges noch nicht
> verstanden...
>
>
>
> > Eine Basis der "normalen" Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist durch [mm]\{ B_\varepsilon(x) \; \mid \; x \in \IR, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> > gegeben, wobei [mm]B_\varepsilon(x) = (x - \varepsilon, x + \varepsilon)[/mm]
> > ist.
>
> Was ist denn die "normale" Topologie?
Felix meint damit die Topologie [mm] $\{\bigcup b| b \subset \{ B_\varepsilon(x) \; \mid x \; \in\IR, \varepsilon > 0 \} \}$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
>
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>
> > Allgemeiner: ist [mm]d[/mm] eine Metrik auf einem Raum [mm]X[/mm], so ist [mm]\{ B_\varepsilon(x) \mid x \in X, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> > eine Basis der von [mm]d[/mm] erzeugten Topologie, wobei
> > [mm]B_\varepsilon(x) = \{ y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon \}[/mm]
> > ist.
>
> Hmm, was ist denn eine von einer Metrik erzeugte
> Topologie?
Das ist die Topologie [mm] $\{\bigcup b| b \subset \{ B_\varepsilon(x) \mid x \in X, \varepsilon > 0 \} \}$ [/mm] auf $X$.
>
> Ich hab hier in meiner Vorlesung auch so einen komischen
> Satz mit Metriken und Topologien stehen:
>
> "Im Falle von metrischen Räumen hat man die Topologie mit
> Hilfe der offenen Kugeln defi niert."
>
> Ich weiß überhaupt nicht, was das bedeuten soll, weil ich
> auch nix finde, wo so etwas definiert wird.
>
> Alles was ich finde, ist folgender Satz:
>
> "Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm]T=\{U \subset X | U offen\}[/mm].
> Dann gelten folgende Aussagen:
> 1) [mm]\emptyset , X \in T[/mm]
> 2) [mm]I \subset T \Rightarrow \bigcup_{U \in I} U \subset T[/mm]
>
> 3) [mm]\{U:1,...,U_n\} \subset T \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{n} U_i \subset T[/mm]"
>
> Irgendwie sieht das ja aus wie die Definition einer
> Topologie, hat es damit etwas zu tun? Aber das bezieht sich
> ja auf alle offenen Teilmengen, und nicht nur auf offene
> Kugeln...
>
Eine Teilmenge eines metrischen Raums heißt (bzgl. der Metrik) offen, wenn sie Vereinigung offener Kugeln ist. Die Eigenschaften 1),2),3) besagen, dass die Menge der (bzgl. der Metrik) offenen Teilmengen des metrischen Raums $X$ eine Topologie auf $X$ ist.
>
>
> Vielen Dank!
>
> LG Nadine
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 28.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > > Eine Basis der "normalen" Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist durch [mm]\{ B_\varepsilon(x) \; \mid \; x \in \IR, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> > > gegeben, wobei [mm]B_\varepsilon(x) = (x - \varepsilon, x + \varepsilon)[/mm]
> > > ist.
> >
> > Was ist denn die "normale" Topologie?
>
> Felix meint damit die Topologie [mm]\{\bigcup b| b \subset \{ B_\varepsilon(x) \; \mid x \; \in\IR, \varepsilon > 0 \} \}[/mm]
> auf [mm]\mathbb{R}[/mm].
Wie genau muss ich diese Topologie-Menge lesen?
Das ist ja die Menge aller Vereinigungen über b, wobei b eine Teilmenge aller Epsilon-Bälle ist.
Was aber genau ist das, alle Vereinigungen über b?
Wenn ich jetzt alle möglichen Teilmengen b der Epsilon-Bälle bilde ([mm]b \subset \{ B_{\epsilon}(x)|x \in \IR, \epsilon >0 \}[/mm]), diese alle miteinander vereinige [mm] ($\bigcup [/mm] b$), dann bekomme ich ja nur eine Vereinigungsmenge.
Welche anderen Vereinigungen habe ich denn noch, damit die Topologie die Menge aller Vereinigungen ist?
Ist die normale Topologie das gleiche wie die metrische Topologie?
Und warum metrische Topologie?
Heißt das, dass ich die Epsilon-Bälle über eine allgemeine Metrik definiere und nicht nur über die einfache Betragsfunktion?
Vielen Dank.
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Do 30.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
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> Hallo!
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>
> > > > Eine Basis der "normalen" Topologie auf [mm]\IR[/mm] ist durch [mm]\{ B_\varepsilon(x) \; \mid \; x \in \IR, \varepsilon > 0 \}[/mm]
> > > > gegeben, wobei [mm]B_\varepsilon(x) = (x - \varepsilon, x + \varepsilon)[/mm]
> > > > ist.
> > >
> > > Was ist denn die "normale" Topologie?
> >
> > Felix meint damit die Topologie [mm]\{\bigcup b| b \subset \{ B_\varepsilon(x) \; \mid x \; \in\IR, \varepsilon > 0 \} \}[/mm]
> > auf [mm]\mathbb{R}[/mm].
>
>
>
> Wie genau muss ich diese Topologie-Menge lesen?
> Das ist ja die Menge aller Vereinigungen über b, wobei b
> eine Teilmenge aller Epsilon-Bälle ist.
> Was aber genau ist das, alle Vereinigungen über b?
Gemeint ist die Menge, deren Elemente eine beliebige (endliche oder unendliche) Vereinigung von beliebigen [mm] $\varepsilon$-Bällen [/mm] um beliebige Punkte x.
Die Topologie ist doch diejenige Menge, die aus allen offenen Teilmengen des Raumes besteht. Die "normale" oder auch "übliche" Topologie ist die, die man in der Analysis als erste kennenlernt: da werden offene Mengen über die offenen Kugeln definiert. Diese offenen Kugeln bilden die Basis der Topologie.
> Wenn ich jetzt alle möglichen Teilmengen b der
> Epsilon-Bälle bilde ([mm]b \subset \{ B_{\epsilon}(x)|x \in \IR, \epsilon >0 \}[/mm]),
> diese alle miteinander vereinige ([mm]\bigcup b[/mm]), dann bekomme
> ich ja nur eine Vereinigungsmenge.
> Welche anderen Vereinigungen habe ich denn noch, damit die
> Topologie die Menge aller Vereinigungen ist?
>
>
>
> Ist die normale Topologie das gleiche wie die metrische
> Topologie?
> Und warum metrische Topologie?
> Heißt das, dass ich die Epsilon-Bälle über eine
> allgemeine Metrik definiere und nicht nur über die
> einfache Betragsfunktion?
Korrekt. Es geht hier eigentlich um allgemeine und spezielle Formulierungen.
In einem metrischen Raum $(X,d)$ (mit Metrik d) ist die metrische Topologie ist diejenige, die sich aus den [mm] $\varepsilon$-Bällen [/mm] bzgl. der Metrik d ergibt, also [mm] $B_{\varepsilon}(x) [/mm] = [mm] \{ y\mid d(x,y) <\varepsilon \}$.
[/mm]
Nehme ich als metrischen Raum den [mm] $\IR$ [/mm] mit der üblichen Metrik $d(x,y)=|x-y|$, dann bekomme ich die "übliche" Topologie.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 28.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab nochmal kurz eine Frage zur Definition der Basis.
Ich habe Definitionen gesehen, da ist die Basismenge B "nur" eine Teilmenge der Potenzmenge von X (X ist die Ausgangsmenge, auf der auch die Topologie definiert ist, die ja auch eine Teilmenge der Potenzmenge von X ist).
Dann habe ich auch Definitionen gesehen, wo die Basismenge als eine Teilmenge der Topologiemenge definiert wurde.
Nun, das ist ja schon ein Unterschied, ob die Basismenge nun eine Teilmenge der Topologie ist oder nicht.
Nun weiß ich nicht so recht, welcher Defintion ich "trauen" soll...
Vielen Dank.
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Do 30.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab nochmal kurz eine Frage zur Definition der Basis.
>
> Ich habe Definitionen gesehen, da ist die Basismenge B
> "nur" eine Teilmenge der Potenzmenge von X (X ist die
> Ausgangsmenge, auf der auch die Topologie definiert ist,
> die ja auch eine Teilmenge der Potenzmenge von X ist).
>
> Dann habe ich auch Definitionen gesehen, wo die Basismenge
> als eine Teilmenge der Topologiemenge definiert wurde.
>
> Nun, das ist ja schon ein Unterschied, ob die Basismenge
> nun eine Teilmenge der Topologie ist oder nicht.
Per Definition einer Basis B der Topologie T ist jedes Element von B eine offene Menge.
Das heisst, jedes Element von B ist eine Element von T, und damit ist die Basis(menge) einer Topologie eine (echte oder unechte) Teilmenge der Topologie(menge).
Die zweite Bedingung in der Definition der Basis, dass sich jedes Element von T als Vereinigung von Elementen von B darstellen lässt, ist automatisch erfüllt, wenn B=T ist (denn per Definition einer Topologie ist die Vereinigung von offenen Mengen wieder eine offene Menge).
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Di 28.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe in meiner Vorlesung ein weiteres Beispiel für eine Basis gefunden. Es lautet:
[mm] X=\IR [/mm] und [mm] B_L=\{[a,b)|a,b\in\IR,a
Auch mit diesem Beispiel kann ich überhaupt nichts anfangen. Ich weiß z.B. schon wieder nicht, wie ich mir aus dieser gegebenen Basis [mm] B_L [/mm] diese „Niedriges Limes-Topologie“ [mm] T_L [/mm] herleite und wie die genau aussieht.
Bin über jede Hilfe sehr sehr dankbar.
LG Nadine
P.S.: Kann eine Basis eigentlich nur Basis einer einzigen Topologie sein, oder kommen da mehrere Topologien infrage? Also kann [mm] B_L [/mm] nur Basis von [mm] T_L [/mm] sein, oder auch noch von anderen Topologien?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 30.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe in meiner Vorlesung ein weiteres Beispiel für
> eine Basis gefunden. Es lautet:
>
> [mm]X=\IR[/mm] und [mm]B_L=\{[a,b)|a,b\in\IR,a
> Basis, die Topologie heißt „Niedriges Limes-Topologie“ [mm]T_L[/mm]
>
> Auch mit diesem Beispiel kann ich überhaupt nichts
> anfangen. Ich weiß z.B. schon wieder nicht, wie ich mir
> aus dieser gegebenen Basis [mm]B_L[/mm] diese „Niedriges
> Limes-Topologie“ [mm]T_L[/mm] herleite und wie die genau
> aussieht.
Die Vorschrift ist ganz einfach: Bilde alle möglichen Vereinigungen der Mengen aus [mm] $B_L$. [/mm]
Das sind natürlich unendliche viele, aber die kannst du recht einfach klassifizieren. Fang mit der Vereinigung zweier Intervalle $[a,b)$ und $[c,d)$ an, unterscheide die verschiedenen Fälle (eines ist im anderen vollständig enthalten, die Intervalle überlappen sich, überlappen sich nicht), und verallgemeinere auf die Vereinigung von mehr als zwei Intervallen. Du wirst sehen, dass das Ergebnis sich recht leicht in Worten und auch anschaulich beschreiben lässt.
> P.S.: Kann eine Basis eigentlich nur Basis einer einzigen
> Topologie sein, oder kommen da mehrere Topologien infrage?
Nur eine. Überleg dir folgendes: Wenn ich alle möglichen Vereinigungen der Mengen in der Basis bilde, bekomme ich die Topologie. Wie kann ich da zwei verschiedene Topologien herausbekommen?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Die Vorschrift ist ganz einfach: Bilde alle möglichen
> Vereinigungen der Mengen aus [mm]B_L[/mm].
>
> Das sind natürlich unendliche viele, aber die kannst du
> recht einfach klassifizieren. Fang mit der Vereinigung
> zweier Intervalle [mm][a,b)[/mm] und [mm][c,d)[/mm] an, unterscheide die
> verschiedenen Fälle (eines ist im anderen vollständig
> enthalten, die Intervalle überlappen sich, überlappen
> sich nicht), und verallgemeinere auf die Vereinigung von
> mehr als zwei Intervallen. Du wirst sehen, dass das
> Ergebnis sich recht leicht in Worten und auch anschaulich
> beschreiben lässt.
Also wenn ein Intervall im anderen vollständig enthalten ist, dann erhalte ich bei Vereinigung kein neues Intervall.
Wenn sich die Intervalle überlappen, dann ist die Vereinigung ein größeres Intervall.
Wenn sich die Intervalle nicht überlappen, dann erhalte ich als Vereinigung diese beiden Intervalle.
Wenn ich das nun verallgemeinere... Nun, das größte Intervall, das ich erhalten kann, ist ganz [mm] \IR.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Aber irgendwie kann ich mir das Ergebnis noch nicht so wirklich vorstellen...
Vielen Dank,
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 07.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
> > Die Vorschrift ist ganz einfach: Bilde alle möglichen
> > Vereinigungen der Mengen aus [mm]B_L[/mm].
> >
> > Das sind natürlich unendliche viele, aber die kannst du
> > recht einfach klassifizieren. Fang mit der Vereinigung
> > zweier Intervalle [mm][a,b)[/mm] und [mm][c,d)[/mm] an, unterscheide die
> > verschiedenen Fälle (eines ist im anderen vollständig
> > enthalten, die Intervalle überlappen sich, überlappen
> > sich nicht), und verallgemeinere auf die Vereinigung von
> > mehr als zwei Intervallen. Du wirst sehen, dass das
> > Ergebnis sich recht leicht in Worten und auch anschaulich
> > beschreiben lässt.
>
> Also wenn ein Intervall im anderen vollständig enthalten
> ist, dann erhalte ich bei Vereinigung kein neues Intervall.
> Wenn sich die Intervalle überlappen, dann ist die
> Vereinigung ein größeres Intervall.
> Wenn sich die Intervalle nicht überlappen, dann erhalte
> ich als Vereinigung diese beiden Intervalle.
Richtig.
> Wenn ich das nun verallgemeinere... Nun, das größte
> Intervall, das ich erhalten kann, ist ganz [mm]\IR.[/mm]
Auch richtig, aber die Frage ist ja nicht nur, was das größte Intervall ist. Es heisst nicht: "die Vereinigung aller Mengen", sondern "alle möglichen Vereinigungen von beliebig vielen Mengen".
Wenn du alle möglichen Vereinigung zweier Mengen aus [mm]B_L[/mm] anschaust, dann bekommst du entweder wieder ein Intervall (was sowieso schon in [mm]B_L[/mm] enthalten ist, oder neue Mengen, die aus zwei disjunkten Intervallen bestehen.
Mach weiter, indem du wieder Vereinigungen aller bisher erhaltenen Mengen bildest: dabei enthälst du entweder Intervalle, Mengen, die die aus zwei disjunkten Intervallen bestehen (also noch nix Neues) oder Mengen, die aus drei disjunkten Intervallen bestehen.
Im nächsten Schritt bekommst dann zusätzlich die Mengen, die aus vier disjunkten Intervallen bestehen, usw.
Jetzt machst du das solange, bis keine neuen Mengen mehr hinzukommen. Dein Ergebnis ist die Menge aller offenen Mengen, also die Topologie.
Viele Grüße
Rainer
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