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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Definieren sie die Begriffe Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade, Fixkreis und Fixpunktkreis! (Muster: Sei P ein Punkt der Ebene, [mm] \beta [/mm] eine Kongruenzabbildung der Ebene. Dann heißt P Fixpunkt von [mm] \beta [/mm] , falls
gilt.)
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Kann mir jemand sagen ob das soweit in Ordnung wäre?
Antwort:
Fixpunkt:
Sei P ein Punkt der Ebene, [mm] \beta [/mm] eine Kongruenzabbildung der Ebene. Dann heißt P Fixpunkt von [mm] \beta, [/mm] falls [mm] \beta(P) [/mm] = P.
--> ein Punkt der durch eine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird
Fixgerade:
Sei g eine Gerade der Ebene, dann [mm] \beta(g) [/mm] = g. Die Gerade g wird auf sich selbst abgebildet. Hierbei werden allerdings nicht alle Punkte der Gerade auf sich selbst abgebildet (z.B. die Spiegelung an g aller Senkrechten zu g)
Fixpunktgerade:
Im Gegensatz zur Fixgeraden werden zusätzlich alle Punkte P einer Fixpunktgeraden durch eine geometrische Abbildung auf sich selbst abgebildet
--> [mm] \beta(g) [/mm] = g und [mm] \beta(P) [/mm] = P (z.B: Spiegelung der Spiegelachse selbst)
Fixkreis:
Sei k ein Kreis der Ebene, dann [mm] \beta(k) [/mm] = k. Der Kreis K wird auf sich selbst abgebildet. Hierbei werden allerdings nicht alle Punkte des Kreises auf sich selbst abgebildet (z.B. die Spiegelung eines Kreises an einer Geraden die durch den Mittelpunkt M des Kreises geht)
Fixpunktkreis:
Im Gegensatz zum Fixkreis werden zusätzlich alle Punkte P eines Fixpunktkreises durch eine geometrische Abbildung auf sich selbst abgebildet
--> Frage: Kann mir jemand sagen wie das gehen soll? Welche Kongruenzabbildung bildet jeden Punkt des Kreises auf sich selbst ab?
Tausend Dank für eure Unterstützung.
Fanomos
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mo 11.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Fanomos!
> --> Frage: Kann mir jemand sagen wie das gehen soll? Welche
> Kongruenzabbildung bildet jeden Punkt des Kreises auf sich
> selbst ab?
Auf jeden Fall die Identität.
Wenn es sich nicht um eine Kongruenzabbildung der Ebene handeln muss (das scheint mir in dieser Aufgabe nicht vorausgesetzt), dann wäre da die Spiegelung am Kreis.
Zum Beispiel bildet die Spiegelung am Einheitskreis:
[mm] (x,y) \mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right) [/mm]
jeden Punkt des Einheitskreises auf sich selbst ab.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Rainer,
> > --> Frage: Kann mir jemand sagen wie das gehen soll? Welche
> > Kongruenzabbildung bildet jeden Punkt des Kreises auf sich
> > selbst ab?
>
> Auf jeden Fall die Identität.
>
> Wenn es sich nicht um eine Kongruenzabbildung der Ebene
> handeln muss (das scheint mir in dieser Aufgabe nicht
> vorausgesetzt), dann wäre da die Spiegelung am Kreis.
>
> Zum Beispiel bildet die Spiegelung am Einheitskreis:
>
> [mm](x,y) \mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)[/mm]
>
> jeden Punkt des Einheitskreises auf sich selbst ab.
Das ist aber doch keine Kongruenzabbildung, oder? Kongruenzabbildungen sind doch längen-, winkel- und geradentreu, die Längentreue deiner Inversionsabbildung ist aber nicht gegeben. Ich habe aber das Gefühl, du meinst etwas anderes, weil diese Inversion doch auch eine Abbildung der Ebene ist, obwohl ich nach deiner Einleitung oben etwas anderes [mm] ($\IR^3$?) [/mm] erwartet hätte.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mo 11.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marc!
> Hallo Rainer,
>
> > > --> Frage: Kann mir jemand sagen wie das gehen soll? Welche
> > > Kongruenzabbildung bildet jeden Punkt des Kreises auf sich
> > > selbst ab?
> >
> > Auf jeden Fall die Identität.
> >
> > Wenn es sich nicht um eine Kongruenzabbildung der Ebene
> > handeln muss (das scheint mir in dieser Aufgabe nicht
> > vorausgesetzt), dann wäre da die Spiegelung am Kreis.
> >
> > Zum Beispiel bildet die Spiegelung am Einheitskreis:
> >
> > [mm](x,y) \mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)[/mm]
>
> >
> > jeden Punkt des Einheitskreises auf sich selbst ab.
>
> Das ist aber doch keine Kongruenzabbildung, oder?
> Kongruenzabbildungen sind doch längen-, winkel- und
> geradentreu, die Längentreue deiner Inversionsabbildung ist
> aber nicht gegeben.
Richtig. Deswegen meine Einschränkung: ich verstehe die Aufgabe so, dass nicht nur nach Kongruenzabbildungen gefragt ist, sondern die nur als Beispiel dastehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Rainer!
> > > Wenn es sich nicht um eine Kongruenzabbildung der Ebene
> > > handeln muss (das scheint mir in dieser Aufgabe nicht
> > > vorausgesetzt), dann wäre da die Spiegelung am Kreis.
> Richtig. Deswegen meine Einschränkung: ich verstehe die
> Aufgabe so, dass nicht nur nach Kongruenzabbildungen
> gefragt ist, sondern die nur als Beispiel dastehen.
Ah, die Betonung bei "Wenn es sich nicht um eine Kongruenzabbildung der Ebene handeln muss" liegt also auf "Kongruenz". Ich hatte sie irrtümlich auf "Ebene" gelegt.
Dann ist natürlich alles klar, vielen Dank für die Aufklärung. 
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Fluglotse!
> Definieren sie die Begriffe Fixpunkt, Fixgerade,
> Fixpunktgerade, Fixkreis und Fixpunktkreis! (Muster: Sei P
> ein Punkt der Ebene, [mm]\beta[/mm] eine Kongruenzabbildung der
> Ebene. Dann heißt P Fixpunkt von [mm]\beta[/mm] , falls
gilt.)
>
>
> Kann mir jemand sagen ob das soweit in Ordnung wäre?
>
> Antwort:
>
> Fixpunkt:
> Sei P ein Punkt der Ebene, [mm]\beta[/mm] eine Kongruenzabbildung
> der Ebene. Dann heißt P Fixpunkt von [mm]\beta,[/mm] falls [mm]\beta(P)[/mm]
> = P.
> --> ein Punkt der durch eine Abbildung auf sich selbst
> abgebildet wird
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fixgerade:
> Sei g eine Gerade der Ebene, dann [mm]\beta(g)[/mm] = g. Die Gerade
> g wird auf sich selbst abgebildet. Hierbei werden
> allerdings nicht alle Punkte der Gerade auf sich selbst
> abgebildet (z.B. die Spiegelung an g aller Senkrechten zu
> g)
> Fixpunktgerade:
> Im Gegensatz zur Fixgeraden werden zusätzlich alle Punkte
> P einer Fixpunktgeraden durch eine geometrische Abbildung
> auf sich selbst abgebildet
> --> [mm]\beta(g)[/mm] = g und [mm]\beta(P)[/mm] = P
für alle [mm] $P\in [/mm] g$
> (z.B: Spiegelung der
> Spiegelachse selbst)
> Fixkreis:
> Sei k ein Kreis der Ebene, dann [mm]\beta(k)[/mm] = k. Der Kreis K
> wird auf sich selbst abgebildet. Hierbei werden allerdings
> nicht alle Punkte des Kreises auf sich selbst abgebildet
> (z.B. die Spiegelung eines Kreises an einer Geraden die
> durch den Mittelpunkt M des Kreises geht)
Noch etwas zur Logik: Du schreibst, dass bei Fixgerade/-kreisen "nicht alle Punkte der Gerade/des Kreises auf sich selbst abgebildet werden". Das stimmt so nicht, da eine Fixpunktgerade ja auch eine Fixgerade ist (analog für Kreise). Entweder würde ich diesen Satz also ganz streichen (denn eine Fixgerade ist bereits ausreichend dadurch charakterisiert, dass [mm] $\beta(g)=g$ [/mm] bzw. die Gerade g auf sich selbst abgebildet wird) oder schreiben "nicht alle Punkte der Gerade/des Kreises werden zwingend auf sich selbst abgebildet".
>
> Fixpunktkreis:
> Im Gegensatz zum Fixkreis werden zusätzlich alle Punkte P
> eines Fixpunktkreises durch eine geometrische Abbildung auf
> sich selbst abgebildet
> --> Frage: Kann mir jemand sagen wie das gehen soll? Welche
> Kongruenzabbildung bildet jeden Punkt des Kreises auf sich
> selbst ab?
Wie Rainer schon anmerkte, wäre hier noch interessant zu wissen, ob es eine Kongruenzabbildung der Ebene sein soll (davon gehe ich aber aus, da dies ja explizit in deinem Beispiel oben steht).
Eine Kongruenzabbildung der Ebene ist ja bereits dadurch eindeutig festgelegt, dass man die Bilder dreier nicht-kollinearer Punkte (also Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen) kennt. Bei einem Kreis mit Radius r>0 findet man gewiss drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen. Da dies Fixpunkte sein sollen, ist die Kongruenzabbildung eindeutig festgelegt, es muss sich also um die Identität handeln. Lässt man auch Kreise mit Radius r=0 zu, dann gibt es natürlich noch mehr Kongruenzabbildungen mit Fixpunktkreisen, nämlich alle Abbildungen, die Fixpunkte besitzen (siehe oben).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 12.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Danke für Eure Hilfe.
Also ich hab da nochmal ne Frage:
Es heißt ja hier zum Fixpunktkreis:
Sei k ein Kreis der Ebene, dann [mm] \beta(k) [/mm] = k und [mm] \beta(P) [/mm] = P für alle [mm] P\in [/mm] k
Die Begründung dafür, dass eine Kongruenzabbildung mit einem Fixpunktkreis notwendig die Identiät ist, ist mir noch nicht klar. Wie ist das gemeint wenn Du sagst:
"Eine Kongruenzabbildung der Ebene ist ja bereits dadurch eindeutig festgelegt, dass man die Bilder dreier nicht-kollinearer Punkte (also Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen) kennt."
Das versteh ich nicht ganz. Vielleicht kannst Du mir nochmal auf die Sprünge helfen.
Vielen lieben Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mi 13.08.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Die Begründung dafür, dass eine Kongruenzabbildung mit
> einem Fixpunktkreis notwendig die Identiät ist, ist mir
> noch nicht klar. Wie ist das gemeint wenn Du sagst:
>
> "Eine Kongruenzabbildung der Ebene ist ja bereits dadurch
> eindeutig festgelegt, dass man die Bilder dreier
> nicht-kollinearer Punkte (also Punkte, die nicht auf einer
> Geraden liegen) kennt."
>
> Das versteh ich nicht ganz. Vielleicht kannst Du mir
> nochmal auf die Sprünge helfen.
Nimm einfach mal 3 verschiedene Punkte A, B und C auf der Kreisperipherie und einen 4. Punkt D irgendwo im Gelände. Wie wird das Dreieck ABD abgebildet? A und B bleiben nach Voraussetzung fest, und da die Abstände erhalten bleiben, bleibt D auch fest oder wird an der Geraden durch A und B gespiegelt und auf D' abgebildet. D könnte aber noch = D' sein. Die gleiche Überlegung kannst du mit dem Dreieck ACD anstellen: D bleibt fest oder wird an [mm] g_{AC} [/mm] gespiegelt und auf D'' abgebildet. Kann es passieren, daß D' = D'' ist?
(Ich bin davon ausgegangen, daß du in der Anschauungsebene mit dem euklidischen Abstand unterwegs bist.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Vielleicht ist es didaktisch besser, umgekehrt vorzugehen: Du hast deinen Fixpunkktkreis k, nimmst D irgendwo an und willst das Bild von D bestimmen. Dazu ziehst du eine Gerade durch D, die den Kreis in 2 verschiedenen Punkten A und B schneidet. Ferner wählst du einen weiteren Punkt C auf dem Kreis, und dann wie oben.
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