Berechnung des Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
ich bräuchte mal Hilfe, bei der Berechnung zweier Integrale
a)
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{3} {\bruch{-1}{3 \wurzel{x}}dx} [/mm]
Das habe ich gemacht, ist aber falsch:
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{3} {\bruch{-1}{3 \wurzel{x}}dx} [/mm]
[ [mm] \bruch{-1}{3x^\bruch{1}{2}[/mm] ]
= ( [mm] \bruch{-1}{3*(\bruch{1}{2})^\bruch{1}{2}[/mm]) - ( [mm] \bruch{-1}{3*(3)^\bruch{1}{2}[/mm])
= ( - 0,47 ) - ( - 0,19 )
= - 0,28
Das dann im Betrag, damit es positiv wird.
Ich weis aber nicht genau, was ich bei dieser Aufgabe machen muss.
Hätte ich da oben erst die Stammfunktion bilden müssen, wenn ja wie lautet die, da ich es nicht weiss.
Die andere Aufgabe kommt später, wenn ich die a) habe
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Mofa |
Deine Stammfunktion ist einfach falsch.
also ich hab das mal so gemacht:
[mm]\integral_{\bruch{1}{2}}^{3} {\bruch{-1}{3\wurzel{x}} dx}
= - \bruch{1}{3}\integral_{\bruch{1}{2}}^{3} {\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] den Bruch kann man meines Wissens nach einfach vor das Integral ziehen
[mm]
= -\bruch{1}{3}\left[ 2\wurzel{x} \right]_\bruch{1}{2}^3
= -\bruch{1}{3}\left( 2\wurzel{3} - 2\wurzel{0.5} \right)
= - 0,68 [/mm]
bzw. 0,68 ; da mann den betrag bildet.
Warum diese Stammfunktion?
ganz einfach. wir haben ja
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] wenn wir den bruch nach vorne ziehen.
und das kann man auch anders schreiben.
[mm] x^\bruch{-1}{2}[/mm]
das integriert:
[mm] \bruch{x^{-\bruch{1}{2}+1}}{-\bruch{1}{2}+1}
= \bruch{x^\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}}
= 2x^\bruch{1}{2}
= 2\wurzel{x}
[/mm]
Ich hoffe das war halbwegs verständlich.
Wenn nicht einfach nachfragen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Max |
Wenn man nur das Integral berechnen soll dann darf das Integral sehr wohl negative Werte annehmen.
Beispiele:
1. Wenn eine Fläche durch ein Integral berechnet wird, ergibt natürlich nur ein positiver Wert für die Fläche Sinn.
2. Beispiel aus der Physik: Wenn man zB das Integral berechnet um aus der Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ den zurückgelegten Weg zu bestimmen, muss ein negatives Integral [mm] $s=\int [/mm] v(t) dt < 0 $ als negativer Weg -d.h. als Rückwärtsfahren- interpretiert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Mofa |
ja okay mag sein :)
Aber bei mir im Kurs kamen glaub ich bisher nur positive Ergebnisse raus, wenn was negatives rauskam, war es meist mein Fehler *g*
Mit dem + oder - bin ich mir eh immer unsicher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 02.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo mofa,
> ja okay mag sein :)
> Aber bei mir im Kurs kamen glaub ich bisher nur positive
> Ergebnisse raus, wenn was negatives rauskam, war es meist
> mein Fehler *g*
> Mit dem + oder - bin ich mir eh immer unsicher
>
aalso: wenn das betreffende Flächenstück unter der x-Achse liegt, ergibt das Integral einen negativen Wert, oberhalb einen positiven. Man spricht dann von "orientierten" Flächen.
Überprüfe das mal mit der Funktion: $f(x) = [mm] x^2-5$ [/mm] und berechne die drei farbig gekennzeichneten Flächenstücke:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du sie einzeln berechnest und dann (mit ihrem Vorzeichen) addierst, bekommst du dasselbe Ergebnis wie beim Integral von -3 bis 3.
Willst du dagegen die echten Flächen berechnen, musst du die Beträge der einzelnen Teilintegrale addieren und bekommst eine andere Zahl heraus.
Probier's mal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
erstmal danke für die Antwort:
Nun die zweite Aufgabe:
[mm] \integral_{1}^{2} { \bruch{2dx}{(2x-1)^2}} [/mm]
z = 2x - 1
[mm] z_1 [/mm] = 2*1-1 = 1
[mm] z_2 [/mm] = 2*2-1 = 3
F(x) = [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{1}{3} z^3] [/mm]
= [mm] \bruch{1}{6} (3^3 [/mm] - [mm] 1^3)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (24)
= 4 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Wo liegt der Fehler und was muss man machen?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
> [mm]\integral_{1}^{2} { \bruch{2dx}{(2x-1)^2}}[/mm]
> z = 2x - 1
> [mm]z_1[/mm] = 2*1-1 = 1
> [mm]z_2[/mm] = 2*2-1 = 3
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Bis hierher OK!
Aber wir haben ja: $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2}$ [/mm] und erhalten:
[mm]\integral_{1}^{3} {\bruch{2*\bruch{dz}{2}}{z^2}} \ = \ \integral_{1}^{3} {\bruch{dz}{z^2}} \ = \ \integral_{1}^{3} {z^{\red{-}2} \ dz}[/mm]
Wie lautet denn nun von [mm] $z^{\red{-}2}$ [/mm] die Stammfunktion?
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
> Wie lautet denn nun von [mm]z^{\red{-}2}[/mm] die Stammfunktion?
>
>
> Loddar
Die Stammfunktion müsste doch [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] sein, oder ist das nur eine andere Schreibweise??
DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
> Zur Bildung der Stammfunktion von [mm]\integral_{}^{} {z^{-2} dz}[/mm]
> kannst Du nun die  Potenzregel anwenden ...
>
>
> Loddar
= [mm] \bruch{x^n^+^1}{n+1} [/mm]
= [mm] \bruch{x^-2^+^1}{(-2)+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{x-1}{-1}
[/mm]
Ist es so richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> = [mm]\bruch{x^n^+^1}{n+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^-2^+^1}{(-2)+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{x-1}{-1}[/mm]
Ich denke (unterstelle Dir  ) mal, Du meinst das richtige ...
Aber bitte korrekt aufschreiben (bitte auch mal mit dem Formel-Editor vertraut machen):
$F(z) \ = \ [mm] \bruch{z^{(-2)+1}}{(-2)+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{z^{-1}}{-1} [/mm] \ = \ (-1) * [mm] z^{-1} [/mm] \ = \ - \ [mm] \bruch{1}{z}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine mit Deiner Ausgangsaufgabe weiter ??
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
Hallo,
so nun weis ich nicht, wie ich mit dem z umgehen soll:
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [- [mm] \bruch{1}{z} [/mm] (- [mm] \bruch{z}{1}]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2z} [-\bruch{3}{1} (-\bruch{1}{1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] (-3) (-1)
= [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] (3)
= [mm] \bruch{3}{2z}
[/mm]
Stimmt das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Hallo,
>
> so nun weis ich nicht, wie ich mit dem z umgehen soll:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [- [mm]\bruch{1}{z}[/mm] (- [mm]\bruch{z}{1}][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2z} [-\bruch{3}{1} (-\bruch{1}{1})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2z}[/mm] (-3) (-1)
> = [mm]\bruch{1}{2z}[/mm] (3)
> = [mm]\bruch{3}{2z}[/mm]
Das sieht mir alles etwas konfus aus ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Schreiben wir unsere Aufgabe nochmals ordentlich auf:
[mm] $\integral_{1}^{2} [/mm] { [mm] \bruch{2*dx}{(2x-1)^2}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{1}^{3} {z^{-2} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \left[ - \bruch{1}{z} \right]_1^3 [/mm] \ = \ [mm] \left( - \bruch{1}{3} \right) [/mm] - [mm] \left( - \bruch{1}{1} \right) [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{3} \red{+} [/mm] 1 \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$
[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt auch mit der FunkyPlot-Berechnung überein ...
Nun klar(er) ??
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
> Schreiben wir unsere Aufgabe nochmals ordentlich auf:
>
> [mm]\integral_{1}^{2} { \bruch{2*dx}{(2x-1)^2}} \ = \ \integral_{1}^{3} {z^{-2} \ dz} \ = \ \left[ - \bruch{1}{z} \right]_1^3 \ = \ \left( - \bruch{1}{3} \right) - \left( - \bruch{1}{1} \right) \ = \ - \bruch{1}{3} \red{+} 1 \ = \ \bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> Dieses Ergebnis stimmt auch mit der FunkyPlot-Berechnung
> überein ...
>
>
> Nun klar(er) ??
>
> Loddar
>
>
Ja, ich denke schon, will es mir morgen noch mal in Ruhe angucken
Wie kann man das mit FunkyPlot berechnen?
DANKE
EDIT:
Wieso am Ende +1??
DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mi 02.02.2005 | | Autor: | MIB |
[mm] \integral_{-0,5}^{-1} {e^2^+^3^x dx}
[/mm]
dx = [mm] \bruch{du}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] du
Uu = 2 + 3*(-1) = - 5
Uo = 2 + 3*(-0,5) = - 2,5
Stimmt das so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Wie kann man das mit FunkyPlot berechnen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
- gewünschte Funktion eingeben
- Grenzen eingeben mit $x=1$ und $x=2$ (in Funktionsfelder)
- mit Mauszeiger in gewünschte Fläche klicken
- dann auf Symbol für Flächenberechnung klicken
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Wieso am Ende +1??
Weil ja da steht: $ - (-1)$. Und das ergibt ja bekanntlich $+1$ ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
