Berechnung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \sum_{k=1}^\infty kx^{k-1} [/mm] für |x|<1. |
Hallo Leute,
ich weiß bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht wie ich vorgehen soll. Inwiefern muss ich den Betrag beachten ?
Kann mir irgendjemand bitte weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mtr-studi,
> Berechnen Sie [mm]\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}[/mm] für |x|<1.
> Hallo Leute,
> ich weiß bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht wie
> ich vorgehen soll. Inwiefern muss ich den Betrag beachten
> ?
Na, wenn [mm] |x|\ge{1} [/mm] wäre, dann wäre die Reihe divergent.
> Kann mir irgendjemand bitte weiterhelfen?
Hier wird doch wie folgt summiert:
[mm] 1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots
[/mm]
Das erinnert zwar an eine geometrische Reihe, nur stört der Faktor k. Man kann die oben gegebene Reihe weiter aufteilen:
[mm] 1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots=
[/mm]
[mm] 1x^0+1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+
[/mm]
+ [mm] 1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+
[/mm]
+ [mm] 1x^2+1x^3+\cdots+
[/mm]
+ [mm] 1x^3+\cdots+
[/mm]
[mm] +\cdots
[/mm]
Jetzt bring das mal in Summenschreibweise und überleg Dir, wie Du das berechnen kannst. Jede Zeile für sich ist ja unproblematisch.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke für deine Antwort!
> Hier wird doch wie folgt summiert:
>
> [mm]1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots[/mm]
>
> Das erinnert zwar an eine geometrische Reihe, nur stört
> der Faktor k. Man kann die oben gegebene Reihe weiter
> aufteilen:
>
> [mm]1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots=[/mm]
>
> [mm]1x^0+1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> + [mm]1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> + [mm]1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> + [mm]1x^3+\cdots+[/mm]
> [mm]+\cdots[/mm]
>
> Jetzt bring das mal in Summenschreibweise und überleg Dir,
> wie Du das berechnen kannst. Jede Zeile für sich ist ja
> unproblematisch.
>
> Grüße
> reverend
Ich würde sagen, dass man sowas mit [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} x^{k+l} [/mm] erzeugen könnte??
Vermutlich darf man sowas überhaupt nicht schreiben, aber ich weiß es gerade wirklich nicht besser.
Hilft mir vielleicht weiter, dass ich sagen kann [mm] kx^{k-1}=k(x^k*x^{-1}) [/mm] ?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
ich denke, dass hier der Tipp von reverend ist zu kompliziert gedacht. Die Doppelsumme hast du schon richtig aufgestellt, aber einfache geht es mit dem Tipp, der schon von Richie1401 gegeben wurde:
Es ist
[mm] \int{k*x^{k-1} dx}=x^k+C
[/mm]
(wobei das C hier der Fom halber dasteht. Überlege jetzt mal, wie du das hier einetzen kannst, um zunächst esatzweise eine geometrische Reihe zu berechnen, und was man mit deren Resultat dann tuin muss, sollte klar sein. 
Sollte das natürlich so sein, dass Integral und Ableitung noch nicht zur Verfügung stehen, dann müsstest du mit dieser Doppelsumme weiterarbeiten. Generell wäre es ja bei diesen ganzen Konvergenz- und Grenzwertaufgaben wünschenswert, wenn die Fragesteller in kurzer Form anreißen würden, welche Mittel schon verwendet werden dürfen...
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
danke für deine Antwort.
Wir waren bei den Taylor-Polynom, haben schon Integral- und Differentialrechnung eingeführt und sollten jetzt auf einmal wieder so eine Aufgabe lösen.
Also eigentlich habe ich alle Mittel zur Verfügung.
Also [mm] x^k [/mm] könnte ich ja mit der Formel [mm] \frac{a_0}{1-q} [/mm] berechnen oder? Hier wäre das [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] und mit meinem |x|<1 könnte ich da auf [mm] \infty [/mm] schließen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Hallo Diophant,
> danke für deine Antwort.
>
> Wir waren bei den Taylor-Polynom, haben schon Integral- und
> Differentialrechnung eingeführt und sollten jetzt auf
> einmal wieder so eine Aufgabe lösen.
Ok, dann wäre das geklärt.
> Also eigentlich habe ich alle Mittel zur Verfügung.
>
> Also [mm]x^k[/mm] könnte ich ja mit der Formel [mm]\frac{a_0}{1-q}[/mm]
> berechnen oder? Hier wäre das [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] und mit meinem
> |x|<1 könnte ich da auf [mm]\infty[/mm] schließen?
>
Sorry, ich verstehe hier nur Bahnhof. Man könnte doch seine Gedanken ein wenig ordnen und dann mit ein zwei strukturierten Sätzen aufschreiben und deutlich machen. Was ist bspw. 'auf [mm] \infty [/mm] schließen'? Noch nie gehört...
Also worum geht es: für |x|<1 ist bekanntlich
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^k=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Nun musst du ein wenig aufpassen, denn in deiner Frage oben geht der Index k bei 1 los. Das müsstest du dann in obigem Grenzwert noch korrigieren, indem du 1 subtrahierst (außer das mit dem Index wäre ein Tippfehler).
Das Ganze leitest du dann nach x ab und fertig ist dein Reihenwert, das wurde jetzt ja auch schon mehrfach bestätigt.
-----
Ich möchte hier mal wieder etwas loswerden. Meiner Meinung nach darf man von Studenten/Studentinnen ein wesentlich höheres Niveau und eine adäquate Gründlichkeit bei der Abfassung ihrer Fragen, aber auch beim Durcharbeiten der gegebenen Antworten erwarten, als etwa von Schülern. Das war hier nicht gegeben (zumindest nicht für meinen Geschmack). Insofern haben wir einen Thread mit schon wieder neun Beiträgen, wenn ich richtig gezählt habe. Mit deinem Wissen ist aber dieser Reihenwert ein Zweizeiler und dementsprechend schnell hätte man das abhandeln können.
Bitte verstehe das nicht falsch, es soll eine konstruktive Kritik sein und es betrifft bei weitem nicht nur dich. Es ist auch nicht so, dass wir damit ein Problem hätten. Es ist einzig und allein so, dass mit einer entsprechenden Vorbereitung einer Fragestellung Fragen wesentlich schneller und effizienter geklärt werden könnten, und das dürfte doch auch in deinem Interesse liegen?
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Sorry, ich verstehe hier nur Bahnhof. Man könnte doch
> seine Gedanken ein wenig ordnen und dann mit ein zwei
> strukturierten Sätzen aufschreiben und deutlich machen.
> Was ist bspw. 'auf [mm]\infty[/mm] schließen'? Noch nie gehört...
>
An dieser Stelle habe ich gedacht, dass wenn ich [mm] \frac{1}{1-x} [/mm] habe und |x|<1 ist, dass ich dann ja 1 durch etwas teile, das kleiner als 1 ist und man dann auf größere Zahlen kommt. Diese dann aufaddiert würden ja bei einer unendlichen Summenobergrenze unedlich werden. Das ist natürlich gleich in mehreren Punkten falsch gewesen, weil dort ja bereits die Summenformel verwendet habe, aber ich wollte es nur nochmal zum Verständnis anmerken.
> Also worum geht es: für |x|<1 ist bekanntlich
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> Nun musst du ein wenig aufpassen, denn in deiner Frage
> oben geht der Index k bei 1 los. Das müsstest du dann in
> obigem Grenzwert noch korrigieren, indem du 1 subtrahierst
> (außer das mit dem Index wäre ein Tippfehler).
>
> Das Ganze leitset du dann nach x ab und fertig ist dein
> Reihenwert, das wurde jetzt ja auch schon mehrfach
> bestätigt.
Ich hatte in der Tat übersehen, dass die Reihe einen anderen Startwert hatte.
Also ich versteh das jetzt so:
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^k=\bruch{1}{1-x}-1 [/mm] $
Abgeleitet wäre das ja
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] und das ist jetzt mein Reihenwert?
Ich hatte nämlich einen Zahlenwert erwartet.
Vielen Dank im Voraus!
__________________________________
>
> -----
>
> Ich möchte hier mal wieder etwas loswerden. Meiner Meinung
> nach darf man von Studenten/Studentinnen ein wesentlich
> höheres Niveau und eine adäquate Gründlichkeit bei der
> Abfassung ihrer Fragen, aber auch beim Durcharbeiten der
> gegebenen Antworten erwarten, als etwa von Schülern. Das
> war hier nicht gegeben (zumindest nicht für meinen
> Geschmack). Insofern haben wir einen Thread mit schon
> wieder neun Beiträgen, wenn ich richtig gezählt habe. Mit
> deinem Wissen ist aber dieser Reihenwert ein Zweizeiler und
> dementsprechend schnell hätte man das abhandeln können.
>
> Bitte verstehe das nicht falsch, es soll eine konstruktive
> Kritik sein und es betrifft bei weitem nicht nur dich. Es
> ist auch nicht so, dass wir damit ein Problem hätten. Es
> ist einzig und allein so, dass mit einer
> entsprechenden Vorbereitung einer Fragestellung Fragen
> wesentlich schneller und effizienter geklärt werden
> könnte, und das dürfte doch auch in deinem Interesse
> liegen?
>
Ich beziehe auch gerne Stellung zu der Mitteilung. Es war in der Tat so, dass ich überhaupt nicht wusste, wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Keiner meiner Kommilitonen hatte auch nur im Entferntesten einen Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe (so viel zu "Mit deinem Wissen ist aber dieser Reihenwert ein Zweizeiler[...]") und deswegen dachte ich, dass ich das mal hier frage. Alleine die Tatsache, dass man eine Reihe einfach integrieren kann wusste ich nicht. Soweit ich das aus meiner Vorlesungsmitschrift entnehmen kann wurde sowas auch nie irgendwo vorher mal gezeigt.
Meine Voreinstellung der Aufgabe gegenüber war also wirklich schlecht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Sorry, ich verstehe hier nur Bahnhof. Man könnte doch
> > seine Gedanken ein wenig ordnen und dann mit ein zwei
> > strukturierten Sätzen aufschreiben und deutlich machen.
> > Was ist bspw. 'auf [mm]\infty[/mm] schließen'? Noch nie gehört...
> >
>
> An dieser Stelle habe ich gedacht, dass wenn ich
> [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] habe und |x|<1 ist, dass ich dann ja 1 durch
> etwas teile, das kleiner als 1 ist und man dann auf
> größere Zahlen kommt. Diese dann aufaddiert würden ja
> bei einer unendlichen Summenobergrenze unedlich werden. Das
> ist natürlich gleich in mehreren Punkten falsch gewesen,
> weil dort ja bereits die Summenformel verwendet habe, aber
> ich wollte es nur nochmal zum Verständnis anmerken.
>
>
> > Also worum geht es: für |x|<1 ist bekanntlich
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\bruch{1}{1-x}[/mm]
> >
> > Nun musst du ein wenig aufpassen, denn in deiner Frage
> > oben geht der Index k bei 1 los. Das müsstest du dann in
> > obigem Grenzwert noch korrigieren, indem du 1 subtrahierst
> > (außer das mit dem Index wäre ein Tippfehler).
> >
> > Das Ganze leitset du dann nach x ab und fertig ist dein
> > Reihenwert, das wurde jetzt ja auch schon mehrfach
> > bestätigt.
>
> Ich hatte in der Tat übersehen, dass die Reihe einen
> anderen Startwert hatte.
>
> Also ich versteh das jetzt so:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\bruch{1}{1-x}-1[/mm]
>
> Abgeleitet wäre das ja
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] und das ist jetzt mein Reihenwert?
>
> Ich hatte nämlich einen Zahlenwert erwartet.
Du hast eine Funktionen-Reihe, also eine Reihe in Abhängigkeit von [mm] $x\,.$ [/mm] Der
Reihenwert hängt also von [mm] $x\,$ [/mm] ab. Zudem: Wenn Du
$f(x):=1/(1-x)$
für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] betrachtest: Wie gedenkst Du denn eine Funktion abzuleiten?
Bzw. anders gefragt: Was bedeutet es eigentlich, dass [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar
an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $|x_0| [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] sein soll(te)? Warum ist das hier denn
der Fall? Und was wäre nun bspw.
[mm] $\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^{k-1}$? [/mm]
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
Das Ergebnis ist übrigens korrekt (man kann den Reihenwert [mm] $\sum_{k=1}^\infty k*x^{k-1}$ [/mm] aber
nur für [mm] $|x|\,<\,1$ [/mm] hinschreiben - warum eigentlich? Ich meine: $1/(1-x)$
bzw. [mm] $1/(1-x)^2$ [/mm] wird doch eigentlich nur für [mm] $x=1\,$ [/mm] "problematisch". Das
ist also nicht der Knackpunkt.
Sondern???!?!?
> __________________________________
>
> >
> > -----
> >
> > Ich möchte hier mal wieder etwas loswerden. Meiner Meinung
> > nach darf man von Studenten/Studentinnen ein wesentlich
> > höheres Niveau und eine adäquate Gründlichkeit bei der
> > Abfassung ihrer Fragen, aber auch beim Durcharbeiten der
> > gegebenen Antworten erwarten, als etwa von Schülern. Das
> > war hier nicht gegeben (zumindest nicht für meinen
> > Geschmack). Insofern haben wir einen Thread mit schon
> > wieder neun Beiträgen, wenn ich richtig gezählt habe. Mit
> > deinem Wissen ist aber dieser Reihenwert ein Zweizeiler und
> > dementsprechend schnell hätte man das abhandeln können.
> >
> > Bitte verstehe das nicht falsch, es soll eine konstruktive
> > Kritik sein und es betrifft bei weitem nicht nur dich. Es
> > ist auch nicht so, dass wir damit ein Problem hätten. Es
> > ist einzig und allein so, dass mit einer
> > entsprechenden Vorbereitung einer Fragestellung Fragen
> > wesentlich schneller und effizienter geklärt werden
> > könnte, und das dürfte doch auch in deinem Interesse
> > liegen?
> >
>
> Ich beziehe auch gerne Stellung zu der Mitteilung. Es war
> in der Tat so, dass ich überhaupt nicht wusste, wie ich
> diese Aufgabe lösen könnte. Keiner meiner Kommilitonen
> hatte auch nur im Entferntesten einen Ansatz zur Lösung
> dieser Aufgabe (so viel zu "Mit deinem Wissen ist aber
> dieser Reihenwert ein Zweizeiler[...]") und deswegen dachte
> ich, dass ich das mal hier frage. Alleine die Tatsache,
> dass man eine Reihe einfach integrieren kann wusste ich
> nicht. Soweit ich das aus meiner Vorlesungsmitschrift
> entnehmen kann wurde sowas auch nie irgendwo vorher mal
> gezeigt.
Es gibt hier auch einen Trick, wie man die Aufgabe ohne Integration und
Differentiation behandeln kann:
https://matheraum.de/read?i=999230
Siehe den 2. Weg (mit [mm] "$S(x):=...\,$").
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo mtr-studi,
ich glaube, da hast du mich ziemlich missverstanden:
> > Ich möchte hier mal wieder etwas loswerden. Meiner Meinung
> > nach darf man von Studenten/Studentinnen ein wesentlich
> > höheres Niveau und eine adäquate Gründlichkeit bei der
> > Abfassung ihrer Fragen, aber auch beim Durcharbeiten der
> > gegebenen Antworten erwarten, als etwa von Schülern. Das
> > war hier nicht gegeben (zumindest nicht für meinen
> > Geschmack). Insofern haben wir einen Thread mit schon
> > wieder neun Beiträgen, wenn ich richtig gezählt habe. Mit
> > deinem Wissen ist aber dieser Reihenwert ein Zweizeiler und
> > dementsprechend schnell hätte man das abhandeln können.
> >
> > Bitte verstehe das nicht falsch, es soll eine konstruktive
> > Kritik sein und es betrifft bei weitem nicht nur dich. Es
> > ist auch nicht so, dass wir damit ein Problem hätten. Es
> > ist einzig und allein so, dass mit einer
> > entsprechenden Vorbereitung einer Fragestellung Fragen
> > wesentlich schneller und effizienter geklärt werden
> > könnte, und das dürfte doch auch in deinem Interesse
> > liegen?
> >
>
> Ich beziehe auch gerne Stellung zu der Mitteilung. Es war
> in der Tat so, dass ich überhaupt nicht wusste, wie ich
> diese Aufgabe lösen könnte. Keiner meiner Kommilitonen
> hatte auch nur im Entferntesten einen Ansatz zur Lösung
> dieser Aufgabe (so viel zu "Mit deinem Wissen ist aber
> dieser Reihenwert ein Zweizeiler[...]") und deswegen dachte
> ich, dass ich das mal hier frage. Alleine die Tatsache,
> dass man eine Reihe einfach integrieren kann wusste ich
> nicht. Soweit ich das aus meiner Vorlesungsmitschrift
> entnehmen kann wurde sowas auch nie irgendwo vorher mal
> gezeigt.
>
> Meine Voreinstellung der Aufgabe gegenüber war also
> wirklich schlecht.
Ich meinte ja nicht, dass es für dich ein Zweizeiler sein muss und ich habe keinesfalls irgendein Niveau in Sachen Mathekenntnisse im Sinn gehabt. Selbstverständlich ist das Forum für jeden da, ob man nun nur noch einen kleinen Anstupser benötigt oder komplett planlos ist, das ist nicht der Punkt!
Mir ging es einzig und alleine darum, darauf hinzuweisen, dass man mit mehr Gründlichkeit hier auch mehr profitiert. Ich wollte also sagen: meiner Ansicht nach hättest du mindestens einen der Ansätze viel schneller verstanden, wenn du es anders anngegangen wärst. Aber wie gesagt: das ist meine Privatmeinung die höchtenfalls als kleiner Denkanstoß anzusehen ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Do 19.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
ich wollte nur zeigen, dass man die Aufgabe ohne Integral- und Differenzialrechnung lösen kann.
Wenn man die aber verwenden darf, ist Richies Weg viel einfacher.
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:51 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
da ich gerade in einem anderen Thread darauf hingewiesen habe, dass
ich die Ursprungsidee der Lösung der Aufgabe eigentlich mal von Fred
übernommen hatte:
hier, beim 2. Weg
muss ich fairerweise auch sagen, dass ich glaube, mich zu erinnern, dass
ich die Idee mal bei Dir gesehen hatte (in einem anderen Zshg., und ich
weiß auch nicht mehr, ob Du das vollständig vorgeführt hattest - aber der
Grundgedanke da stammt jedenfalls, soweit mich meine Erinnerung nicht
trübt, von Dir - ich hab's vielleicht mittlerweile etwas übersichtlicher notiert...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:46 Fr 20.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
ich verdiene da wahrscheinlich keine "credits".
> da ich gerade in einem anderen Thread darauf hingewiesen
> habe, dass
> ich die Ursprungsidee der Lösung der Aufgabe eigentlich
> mal von Fred
> übernommen hatte:
>
> hier, beim 2. Weg
>
> muss ich fairerweise auch sagen, dass ich glaube, mich zu
> erinnern, dass
> ich die Idee mal bei Dir gesehen hatte (in einem anderen
> Zshg., und ich
> weiß auch nicht mehr, ob Du das vollständig vorgeführt
> hattest
Bestimt nicht. Ich führe nur sehr selten etwas vollständig vor. Das ist für micht nicht die Idee dieses Forums. Meistens versuche ich nur, einen Anstoß zu geben.
> - aber der
> Grundgedanke da stammt jedenfalls, soweit mich meine
> Erinnerung nicht
> trübt, von Dir - ich hab's vielleicht mittlerweile etwas
> übersichtlicher notiert...).
Du notierst eigentlich immer nicht nur übersichtlicher, sondern vor allem mathematisch korrekt. Diese Fähigkeit fehlt mir leider immer noch weitestgehend.
Von daher finde ich Fairness ja nett, aber die Hauptsache bleibt, dass Hilfesuchende eine gute Antwort bekommen. Jede Korrektur oder Erweiterung meiner Beiträge finde ich darum äußerst hilfreich. So lerne ich ja auch noch etwas.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:03 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi rev,
> Hallo Marcel,
>
> ich verdiene da wahrscheinlich keine "credits".
ich denke schon. Ich erinnere mich an eine Aufgabe, die ähnlich wie diese
hier war. Vielleicht erkennst Du die Parallelität nicht mehr, weil die Aufgabe
komplizierter aussah, aber im Prinzip ging das alles analog. Das von mir
hier vorgeschlagene Schema wurde mehrfach angewendet (es kann
natürlich auch sein, dass jemand dahingehend auch einen Tipp in der
Aufgabe gegeben hatte - das weiß ich nicht mehr). Ich müßte die Aufgabe
auch nochmal raussuchen, was sehr lange dauern würde...
> > da ich gerade in einem anderen Thread darauf hingewiesen
> > habe, dass
> > ich die Ursprungsidee der Lösung der Aufgabe
> eigentlich
> > mal von Fred
> > übernommen hatte:
> >
> > hier, beim 2. Weg
> >
> > muss ich fairerweise auch sagen, dass ich glaube, mich zu
> > erinnern, dass
> > ich die Idee mal bei Dir gesehen hatte (in einem
> anderen
> > Zshg., und ich
> > weiß auch nicht mehr, ob Du das vollständig vorgeführt
> > hattest
>
> Bestimt nicht. Ich führe nur sehr selten etwas
> vollständig vor. Das ist für micht nicht die Idee dieses
> Forums. Meistens versuche ich nur, einen Anstoß zu geben.
Jein - manchmal geht's halt auch nicht anders... Aber ich bin da auch oft
etwas "zu schnell".
> > - aber der
> > Grundgedanke da stammt jedenfalls, soweit mich meine
> > Erinnerung nicht
> > trübt, von Dir - ich hab's vielleicht mittlerweile
> etwas
> > übersichtlicher notiert...).
>
> Du notierst eigentlich immer nicht nur übersichtlicher,
> sondern vor allem mathematisch korrekt. Diese Fähigkeit
> fehlt mir leider immer noch weitestgehend.
Deine Idee hier mit "Doppelsummen" läßt sich auch wunderbar zu Ende
hinschreiben. Natürlich sollte man da noch etwas über die "Vertauschbarkeit"
der Summanden dazuschreiben, aber das ist nachher die Feinarbeit (man
kann sich schnell überlegen, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}$ [/mm] absolut
konvergiert für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] - WK oder QK...)
> Von daher finde ich Fairness ja nett, aber die Hauptsache
> bleibt, dass Hilfesuchende eine gute Antwort bekommen. Jede
> Korrektur oder Erweiterung meiner Beiträge finde ich darum
> äußerst hilfreich. So lerne ich ja auch noch etwas.
Ich finde es interessant, dass es für die Aufgabe nun drei Lösungswege
gibt. 
Tatsächlich ist es aber so, dass man bei Integration- oder Differentiation
und auch bei der Doppelsummennotation eigentlich immer ein relativ
starkes Hilfsmittel braucht. (Bei Doppelsummennotation: ![[]](/images/popup.gif) Satz 6.24)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:44 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> ich denke, dass hier der Tipp von reverend ist zu
> kompliziert gedacht. Die Doppelsumme hast du schon richtig
> aufgestellt, aber einfache geht es mit dem Tipp, der schon
> von Richie1401 gegeben wurde:
>
> Es ist
>
> [mm]\int{k*x^{k-1} dx}=x^k+C[/mm]
>
> (wobei das C hier der Fom halber dasteht. Überlege jetzt
> mal, wie du das hier einetzen kannst, um zunächst
> esatzweise eine geometrische Reihe zu berechnen, und was
> man mit deren Resultat dann tuin muss, sollte klar sein.
>
>
> Sollte das natürlich so sein, dass Integral und Ableitung
> noch nicht zur Verfügung stehen, dann müsstest du mit
> dieser Doppelsumme weiterarbeiten.
ne, es geht auch anders. Die ganze Aufgabe kann man bearbeiten, wenn
man nur Wissen über die geometrische Reihe anwendet (und natürlich
sowas wie [mm] $\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n\,,$ [/mm] wenn beide Reihen rechterhand
konvergieren...).
Das ist eigentlich toll, denn so kann man prinzipiell
[mm] "$\{1/(1-x)\}^{(n)}$"
[/mm]
für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] "in Reihenform" angeben - jedenfalls erstmals für
[mm] $|x|\,<\,1.$
[/mm]
Vielleicht kann man daraus ja mal eine Induktionsaufgabe basteln...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:00 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Das ist eigentlich toll, denn so kann man prinzipiell
>
> "[mm]\{1/(1-x)\}^{(n)}[/mm]"
>
> für jedes [mm]n \in \IN_0[/mm] "in Reihenform" angeben - jedenfalls
> erstmals für
> [mm]|x|\,<\,1.[/mm]
>
> Vielleicht kann man daraus ja mal eine Induktionsaufgabe
> basteln...
>
Die müsste dann wohl lauten :
Beweise für alle $ [mm] n\in \IN_0 [/mm] $, dass $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{k+n \\ n} x^k [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{(1-x)^{n+1}} [/mm] $ gilt. ([mm]|x|\,<\,1[/mm])
Gruß Sax.
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Hallo mtr-studi,
du kannst auch mal an Integration und Differentation denken ;)
Integriere zunächst, bestimme die Summe, und dann differenziere....
Der mathematische Background steckt da in der Vertauschbarkeit von Limiten.
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Hallo Richie1401,
danke für deine Antwort.
Muss ich hier also nach x integrieren und k als Parameter auffassen?
Das wäre dann ja nur [mm] \frac{k}{k+1}x^{k+1}, [/mm] aber hier habe ich doch wieder ein Parameter davor, ist es hier leichter die Summe zu finden?
Wenn ich hier die Summe finden 'würde', wäre es die gleiche wie die gesuchte?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 19.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du [mm] \bruch{d}{dx}x^k=kx^{k-1} [/mm] benutzt, und zuerst die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}x^k [/mm] berechnest (geometrische Reihe) und das Ergebnis differenzierst, kommst Du weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:25 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}[/mm] für |x|<1.
> Hallo Leute,
> ich weiß bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht wie
> ich vorgehen soll. Inwiefern muss ich den Betrag beachten
> ?
es geht darum, dass die geometrische Reihe genau für [mm] $|x|\,<\,1$ [/mm] konvergiert.
(Auch, wenn da nicht direkt die geometrische Reihe steht.)
Es gibt wenigstens zwei Wege, diese Aufgabe zu bearbeiten:
1. Weg: Für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] betrachte
[mm] $f(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\,.$
[/mm]
Differenziere [mm] $f\,.$ [/mm] Es wäre hier allerdings gut, wenn man eine Begründung
parat hat, warum man Summation und Differentiation vertauschen darf
(evtl. habt ihr schon entsprechendes Wissen - vllt. über Potenzreihen).
2. Weg: Für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty [/mm] (k-1) [mm] x^{k-1}+\sum_{k=1}^\infty x^{k-1}=\sum_{\ell=0}^\infty \ell x^\ell+\frac{1}{1-x}=\underbrace{\sum_{m=1}^\infty m x^m}_{=x*\sum\limits_{m=1}^\infty m x^{m-1}}+\frac{1}{1-x}=x*\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}+\frac{1}{1-x}.$
[/mm]
Setze [mm] $S(x):=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}.$ [/mm] Dann zeigt die letzte Gleichung:
[mm] $S(x)=x*S(x)+\frac{1}{1-x}\,.$
[/mm]
Löse diese Gleichung nach [mm] $S(x)\,$ [/mm] auf!
Hinweis: Vergleiche dann auch mal [mm] $S(x)\,$ [/mm] mit
[mm] ${\left\{\frac{1}{1-x}\right\}}'$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich vemisse den folgenden Lösungsweg:
Für |x|<1 ist
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2}=(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)*(\summe_{k=0}^{\infty}x^k).
[/mm]
Das Produkt rechts kann man mit dem Cauchy-Produkt berechnen und bekommt so:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2}=(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)*(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)*x^k=\summe_{k=1}^{\infty}k*x^{k-1}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Fr 20.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
wunderbar wie immer.
Diesen schönen Lösungsweg in all seiner Eleganz habe ich nicht gesehen; nicht einmal in dieser Richtung gesucht.
Wenn man ihn erstmal kennt, scheint alles andere brute force zu sein.
Danke! - und Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Sa 21.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
Hallo Reverend,
> wunderbar wie immer.
Danke.
>
> Diesen schönen Lösungsweg in all seiner Eleganz habe ich
> nicht gesehen; nicht einmal in dieser Richtung gesucht.
> Wenn man ihn erstmal kennt, scheint alles andere brute
> force zu sein.
Brute force ist doch etwas übertrieben. Potenzreihen gliedweise differenzieren oder (und ) integrieren ist auch keine üble Idee.
Erfahrung zeigt: das Cauchyprodukt ist oft ein mächtiges Hilfsmittel
Ich mag dieses Produkt einfach ! Ich kann Dir nicht sagen , warum.
Mathematik hat oft sehr viel mit "Gefühl" zu tun. Im Laufe der Jahre ( mittlerweile bin ich ja schon ein alter Mann) entwickelt man ein Gefühl dafür , was "geht" oder möglicherweise was " nicht geht".
Den l' Hospital mag ich zum Beispiel überhaupt nicht, obwohl er seine Berechtigung durchaus hat. Aber viele Grenzwerte kann man ohne dieses Geschütz eleganter berechnen. Da stellt sich natürlich die Frage, was ist in der Mathematik "elegant ".....
Dir und Deiner Familie wünsche ich schöne Weihnachten und ein gutes neues Jahr.
Grüße Christoph.
>
> Danke! - und Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
ich finde es durchaus wagemutig zu behaupten, dass jemand im eventll. 1. Semester sofort erkennt, dass sich hinter
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}k\cdot{}x^{k-1}
[/mm]
ein Produkt von der geometrischen Reihe verbirgt. Mit dieser Kenntnis kann man sich natürlich von hinten an die Sache heranschleichen. Im Großen und Ganzen finde ich den Lösungsweg natürlich ebenso gut, wie die anderen.
Aber ich muss gestehen, dass auch ich das Produkt nicht sofort gesehen habe. Wenn man die Lösung jedoch weiß, dann ist es ja kein großes Geheimnis.
*Glüchwein schlürf*
Das war es von mir.
Ich wünsche Frohe Weihnacht! Ich hoffe ihr habt alles gut vorbereitet. Mein Hodge-Stern-Operator hängt bereits oben am Weihnachtsbaum, die Polynomringe hängen an den Zweigen. Das Produkt "Kartoffel-(Wedges)" ist auch gekauft. Das ist übrigens wirklich kompakt und lecker.
Damit ist das Weihnachtsfest fast überall vollständig. Da wir ja nicht unabhängig voneinander sind, fehlt natürlich noch (eine) die Familie, bestehend aus den engsten Vertrauten.
Doch wenn die Familie dann da ist, dann ist der Raum abgeschlossen und beschränkt - das Fest kann beginnen.
Ja, liebe Matheraum-Kollegen: Weihnachten kann kommen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Sa 21.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich finde es durchaus wagemutig zu behaupten, dass jemand
> im eventll. 1. Semester sofort erkennt, dass sich hinter
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k\cdot{}x^{k-1}[/mm]
>
> ein Produkt von der geometrischen Reihe verbirgt. Mit
> dieser Kenntnis kann man sich natürlich von hinten an die
> Sache heranschleichen.
Hallo Richie,
ich gebe zu: ich bin ein Schuft ! Das Anschleichen von hinten war wirklich fies ...
> Im Großen und Ganzen finde ich den
> Lösungsweg natürlich ebenso gut, wie die anderen.
>
> Aber ich muss gestehen, dass auch ich das Produkt nicht
> sofort gesehen habe. Wenn man die Lösung jedoch weiß,
> dann ist es ja kein großes Geheimnis.
>
>
> *Glüchwein schlürf*
> Das war es von mir.
>
> Ich wünsche Frohe Weihnacht! Ich hoffe ihr habt alles gut
> vorbereitet. Mein Hodge-Stern-Operator hängt bereits oben
> am Weihnachtsbaum,
Ich habe immer [mm] \Delta [/mm] ganz oben am Baum.
> die Polynomringe hängen an den Zweigen.
Schmecken denn die ?
> Das Produkt "Kartoffel-(Wedges)" ist auch gekauft. Das ist
> übrigens wirklich kompakt und lecker.
Kompakt bin ich immer nach den Feiertagen.
> Damit ist das Weihnachtsfest fast überall vollständig.
Also bis auf eine Nullmenge vollständig ? Ja, das sagt meine Frau auch jedes Jahr zu mir:
"Wenn Du keine Null wärst, wäre Weihnachten complete".
> Da wir ja nicht unabhängig voneinander sind, fehlt
> natürlich noch (eine) die Familie, bestehend aus den
> engsten Vertrauten.
Eng und geordnet ?
> Doch wenn die Familie dann da ist, dann ist der Raum
> abgeschlossen und beschränkt - das Fest kann beginnen.
Dann ist das Fest aber nur kompakt, wenn der Raum endlichdimensional ist !
>
> Ja, liebe Matheraum-Kollegen: Weihnachten kann kommen!
Ja, wenn Weihnachten rum ist, ist auch wieder schön.
Schöne Festtage !
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ich vemisse den folgenden Lösungsweg:
>
> Für |x|<1 ist
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}=(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)*(\summe_{k=0}^{\infty}x^k).[/mm]
>
> Das Produkt rechts kann man mit dem Cauchy-Produkt
> berechnen und bekommt so:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}=(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)*(\summe_{k=0}^{\infty}x^k)=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)*x^k=\summe_{k=1}^{\infty}k*x^{k-1}.[/mm]
stimmt, habe ich auch schonmal gesehen (vermutlich auch von Dir):
Also Variante Nummer 4.
Gruß,
Marcel
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> Berechnen Sie [mm]\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}[/mm] für |x|<1.
Hallo allerseits !
ich möchte nach dem Durchlesen des Threads nur
nochmals auf die Einfachheit und Eleganz des Tipps
hinweisen, den reverend schon ganz oben gegeben
hat:
> Hier wird doch wie folgt summiert:
> $ [mm] 1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots [/mm] $
> Das erinnert zwar an eine geometrische Reihe, nur
> stört der Faktor k. Man kann die oben gegebene
> Reihe weiter aufteilen:
> $ [mm] 1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots= [/mm] $
> $ [mm] 1x^0+1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+ [/mm] $
> + $ [mm] 1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+ [/mm] $
> + $ [mm] 1x^2+1x^3+\cdots+ [/mm] $
> + $ [mm] 1x^3+\cdots+ [/mm] $
> $ [mm] +\cdots [/mm] $
Davon ausgehend kommt man doch, wenn man sich
dies richtig anguckt, sofort zur Darstellung
$\ [mm] (\,1+x+x^2+x^3+\cdots\ )^2 [/mm] $
und dann, im Falle |x|<1 (falls die Reihe überhaupt
konvergiert):
$\ [mm] (\,1+x+x^2+x^3+\cdots\ )^2\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{1}{1-x}\right)^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{(1-x)^2} [/mm] $
Dies ist ein rein algebraischer Weg, für den man kaum
mehr als ein gutes Auge, das Distributivgesetz und die
Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe
braucht, und jedenfalls keinerlei Differentialrechnung !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:47 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Berechnen Sie [mm]\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}[/mm] für |x|<1.
>
>
> Hallo allerseits !
>
> ich möchte nach dem Durchlesen des Threads nur
> nochmals auf die Einfachheit und Eleganz des Tipps
> hinweisen, den reverend schon ganz oben
> gegeben
> hat:
>
> > Hier wird doch wie folgt summiert:
>
> > [mm]1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots[/mm]
>
> > Das erinnert zwar an eine geometrische Reihe, nur
> > stört der Faktor k. Man kann die oben gegebene
> > Reihe weiter aufteilen:
>
> > [mm]1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+\cdots=[/mm]
>
> > [mm]1x^0+1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> > + [mm]1x^1+1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> > + [mm]1x^2+1x^3+\cdots+[/mm]
> > + [mm]1x^3+\cdots+[/mm]
> > [mm]+\cdots[/mm]
>
> Davon ausgehend kommt man doch, wenn man sich
> dies richtig anguckt, sofort zur Darstellung
>
> [mm]\ (\,1+x+x^2+x^3+\cdots\ )^2[/mm]
>
> und dann, im Falle |x|<1 (falls die Reihe überhaupt
> konvergiert):
>
> [mm]\ (\,1+x+x^2+x^3+\cdots\ )^2\ =\ \left(\frac{1}{1-x}\right)^2\ =\ \frac{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Dies ist ein rein algebraischer Weg, für den man kaum
> mehr als ein gutes Auge, das Distributivgesetz und die
> Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe
> braucht, und jedenfalls keinerlei Differentialrechnung !
man braucht definitiv mehr:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}$
[/mm]
[mm] $=(1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+...)$
[/mm]
[mm] $=(x^0+x^1+x^2+x^3+...)$
[/mm]
$ + [mm] (x^1+x^2+x^3+...)$
[/mm]
$ + [mm] (x^2+x^3+...)$
[/mm]
$ + ...$
Das kann man nicht einfach so hinschreiben, hier ist es wesentlich, dass
"die Summanden kommutieren dürfen". Und das ist nichttrivial, da steckt
wenigstens eine kleine Zusatzüberlegung dahinter:
Satz 6.24: "Umordnung einer Reihe"
Natürlich ist es hier (fast) trivial, dass wir die Voraussetzungen dieses Satzes
gegeben haben. Aber ich finde es algebraisch nichttrivial, dass die
Teilsummenfolge
[mm] $\left(\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\right)_n\,,$
[/mm]
wenn sie denn konvergiert, gegen den gleichen Wert konvergiert, wie es
die Teilsummenfolge
[mm] $\pmat{\sum_{k=0}^0 x^k, & \sum_{k=0}^1 x^k, & \sum_{k=0}^2 x^k, & \sum_{k=0}^3 x^k, & \sum_{k=0}^4 x^k, & \sum_{k=0}^5 x^k, & ... \\ \\ & \sum_{k=1}^1 x^k+\sum_{k=0}^\infty x^k, & \sum_{k=1}^2 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k, & \sum_{k=1}^3 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k, & \sum_{k=1}^4 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k, & \sum_{k=1}^5 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k, & ... \\ \\ & & \sum_{k=2}^2 x^k+\sum_{k=0}^\infty x^k+\sum_{k=1}^\infty x^k, & \sum_{k=2}^3 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k+\sum_{k=1}^\infty x^k, & \sum_{k=2}^4 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k+\sum_{k=1}^\infty x^k, & \sum_{k=2}^5 x^k +\sum_{k=0}^\infty x^k+\sum_{k=1}^\infty x^k, & ...
\\
\\
. & . & . & . & . & . &}$
[/mm]
tut - und ich habe mir schon einen abgebrochen, um irgendwie die
Teilsummenfolge, die reverend da hingeschrieben hat, irgendwie in eine
lesbare Form zu bekommen: Die letzte Matrix muss man von oben links
immer bis ins unendliche nach rechts lesen und dann in die nächste Zeile
gehen.
Wenn dieser Satz allerdings zur Verfügung steht, dann kann man es damit
relativ schön aufschreiben:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=...=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n}^\infty x^k=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{1-x}=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
genau aus diesem Grund habe ich geschrieben:
und dann, im Falle |x|<1 (falls die Reihe überhaupt
konvergiert): .....
In diesem Falle, und |x|<1 war ja vorausgesetzt,
ist nämlich die geometrische Reihe absolut konvergent,
und damit folgt auch die Konvergenz der ursprüng-
lichen Reihe.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:08 So 22.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
edit: an zwei Stellen korrigiert; siehe auch die folgenden Korrekturmitteilungen!
so schwer sind die aufgefahrenen Geschütze nicht.
Vorab: die Breite dieses Beitrags wird automatisch generiert und ist daher gleich der Breite des Beitrags, auf den er sich bezieht. Diese aber ist wegen der umfangreichen [mm] $\LaTeX$-Darstellung [/mm] erhöht worden.
Darunter leidet nun die Lesbarkeit aller weiteren Beiträge in diesem Ast des Threads, so auch hier im folgenden. Ich kann das leider nicht ändern.
Auch die Umordnung der Reihe gehört allemal nicht dazu. Sie hat keine Vorbedingungen, solange die Reihe endlich ist. Kommutativ- und Distributivgesetz genügen, dazu ein wenig Potenzrechnung. Ich verwende ansonsten erst einmal nur die Summenformel für die endliche geometrische Reihe, hier mit $q=x$ und [mm] $a_0=1$.
[/mm]
Es ist [mm] \summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}\left(\summe_{i=k}^{n}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k\left(\summe_{i=0}^{n-k}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}
[/mm]
Hier könnte man weiter tüfteln, um das Ergebnis [mm] \blue{\bruch{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(1-x)^2}} [/mm] zu finden, aber das ist nicht nötig (man kann es übrigens auch nachschlagen ).
Es genügt, mit dem obigen Zwischenergebnis in die Grenzwertuntersuchung für [mm] n\to\infty [/mm] zu gehen. Die folgenden Umformungen gelten natürlich nur, sofern die verwendeten Grenzwerte existieren – und um diese Fragestellung kommt man bei einer unendlichen Reihe sowieso nicht herum!
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\blue{=} \lim_{m\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{m}x^k*\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\right)= \lim_{m\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{m}x^k*\bruch{1}{1-x}\right)= \bruch{1}{1-x}*\left(\lim_{m\to\infty}\summe_{k=0}^{m}x^k\right)= \bruch{1}{1-x}*\bruch{1}{1-x}=\bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
Gleich am ersten (blauen) Gleichheitszeichen habe ich aus Bequemlichkeit gemogelt. Richtig wäre es natürlich, hier auch den Faktor [mm] x^k [/mm] in den hinteren Limes zu ziehen. Die folgende Betrachtung würde deutlich länger und komplizierter, hätte aber auch das obige Ergebnis. Dafür wäre dann auch deutlich, dass diese Gleichungskette nur für $|x|<1$ gilt.
Diese nötige Einschränkung bleibt beim obigen abgekürzten Weg erst der letzten Umformung vorbehalten.
Jedenfalls ist die Aufgabe so lösbar mit dem Wissen um Reihen und um Grenzwerte, wie es normalerweise schon vor Mitte des ersten Semesters vorliegt. Weder Integral- und Differentialrechnung noch Cauchyprodukt sind nötig, um so zu einer Lösung zu kommen.
Aber gerade weil diese beiden anderen Wege so viel kürzer sind, finde ich selbst sie eben auch „schöner“ und „eleganter“ – beides ja Begriffe, die nicht nur einen persönlichen Wertekanon implizieren, sondern sogar die individuelle emotionale Beurteilung.
De gustibus non est disputandum.
@Marcel: Wenn man von Anfang an bei unendlichen Reihen verbleibt, ist die Notation natürlich deutlich kürzer, wie Du schon skizziert hast. Dafür „sieht“ man nicht mehr so leicht, wann eigentlich welches Geschütz aufgefahren wird, angefangen schon bei der Umordnung einer unendlichen Reihe. Die obige Version aber benötigt den von Dir angeführten Satz 6.24 nicht.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 17:53 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo allerseits,
>
> so schwer sind die aufgefahrenen Geschütze nicht.
>
> Vorab: die Breite dieses Beitrags wird automatisch
> generiert und ist daher gleich der Breite des Beitrags, auf
> den er sich bezieht. Diese aber ist wegen der umfangreichen
> [mm]\LaTeX[/mm]-Darstellung erhöht worden.
> Darunter leidet nun die Lesbarkeit aller weiteren
> Beiträge in diesem Ast des Threads, so auch hier im
> folgenden. Ich kann das leider nicht ändern.
>
> Auch die Umordnung der Reihe gehört allemal nicht dazu.
> Sie hat keine Vorbedingungen, solange die Reihe endlich
> ist. Kommutativ- und Distributivgesetz genügen, dazu ein
> wenig Potenzrechnung. Ich verwende ansonsten erst einmal
> nur die
> Summenformel für die endliche geometrische Reihe,
> hier mit [mm]q=x[/mm] und [mm]a_0=1[/mm].
>
> Es ist
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}\left(\summe_{i=k}^{n}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k\left(\summe_{i=0}^{n-k}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}[/mm]
>
> Hier könnte man weiter tüfteln, um das Ergebnis
> [mm]\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}[/mm] zu finden, aber
> das ist nicht nötig (man kann es übrigens auch
> nachschlagen
> ).
>
> Es genügt, mit dem obigen Zwischenergebnis in die
> Grenzwertuntersuchung für [mm]n\to\infty[/mm] zu gehen. Die
> folgenden Umformungen gelten natürlich nur, sofern die
> verwendeten Grenzwerte existieren – und um diese
> Fragestellung kommt man bei einer unendlichen Reihe sowieso
> nicht herum!
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\blue{=} \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\right)= \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1}{1-x}\right)= \bruch{1}{1-x}*\left(\lim_{n\to\infty}\summe_{k=0}^{n}x^k\right)= \bruch{1}{1-x}*\bruch{1}{1-x}=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Gleich am ersten (blauen) Gleichheitszeichen habe ich aus
> Bequemlichkeit gemogelt. Richtig wäre es natürlich, hier
> auch den Faktor [mm]x^k[/mm] in den hinteren Limes zu ziehen. Die
> folgende Betrachtung würde deutlich länger und
> komplizierter, hätte aber auch das obige Ergebnis. Dafür
> wäre dann auch deutlich, dass diese Gleichungskette nur
> für [mm]|x|<1[/mm] gilt.
> Diese nötige Einschränkung bleibt beim obigen
> abgekürzten Weg erst der letzten Umformung vorbehalten.
>
> Jedenfalls ist die Aufgabe so lösbar mit dem Wissen um
> Reihen und um Grenzwerte, wie es normalerweise schon vor
> Mitte des ersten Semesters vorliegt. Weder Integral- und
> Differentialrechnung noch Cauchyprodukt sind nötig, um so
> zu einer Lösung zu kommen.
>
> Aber gerade weil diese beiden anderen Wege so viel kürzer
> sind, finde ich selbst sie eben auch „schöner“ und
> „eleganter“ – beides ja Begriffe, die nicht nur einen
> persönlichen Wertekanon implizieren, sondern sogar die
> individuelle emotionale Beurteilung.
> De gustibus non est disputandum.
>
> @Marcel: Wenn man von Anfang an bei unendlichen Reihen
> verbleibt, ist die Notation natürlich deutlich kürzer,
> wie Du schon skizziert hast. Dafür „sieht“ man nicht
> mehr so leicht, wann eigentlich welches Geschütz
> aufgefahren wird, angefangen schon bei der Umordnung einer
> unendlichen Reihe. Die obige Version aber benötigt den von
> Dir angeführten
> Satz 6.24
> nicht.
ich gebe zu, dass ich nicht auf die Idee gekommen bin, dass Du das so
gemeint haben könntest, und eventuell hatte ich da einfach mehr reininterpretiert.
Gerade, weil ich bei der Reihenumordnung schnell auf die Form
[mm] $...=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{1-x}=...$
[/mm]
kam, dachte ich, dass Du das so meinst. Das kann man natürlich auch der
Pünktchen-Notation anlasten (die so etwas "verschleiern kann"), ich gebe
aber auch zu, dass ich gar nicht auf die Idee kam, das so zu betrachten.
Wobei ich das jetzt nur mal grob überflogen habe, wenn ich Zeit habe,
werde ich mir das mal genauer ansehen.
P.S. Spaßeshalber bin ich sowieso gerade dabei, ein Latex-Dokument bzgl.
dieser Aufgabe zu erstellen, wo ich (grob) die Lösungen zu dieser Aufgabe
"skizziere" (eigentlich sind es Komplettlösungen, aber an der ein oder
anderen Stelle erspare ich manchen Kommentar - daher passt das Wort
"Skizze" doch auch noch irgendwie).
Das ist wirklich eine einfache, aber interessante, Aufgabe, wie ich finde.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 18:13 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
ich hab's Dir ja gerade in einer PN geschrieben:
> Hallo allerseits,
>
> so schwer sind die aufgefahrenen Geschütze nicht.
>
> Vorab: die Breite dieses Beitrags wird automatisch
> generiert und ist daher gleich der Breite des Beitrags, auf
> den er sich bezieht. Diese aber ist wegen der umfangreichen
> [mm]\LaTeX[/mm]-Darstellung erhöht worden.
> Darunter leidet nun die Lesbarkeit aller weiteren
> Beiträge in diesem Ast des Threads, so auch hier im
> folgenden. Ich kann das leider nicht ändern.
>
> Auch die Umordnung der Reihe gehört allemal nicht dazu.
> Sie hat keine Vorbedingungen, solange die Reihe endlich
> ist. Kommutativ- und Distributivgesetz genügen, dazu ein
> wenig Potenzrechnung. Ich verwende ansonsten erst einmal
> nur die
> Summenformel für die endliche geometrische Reihe,
> hier mit [mm]q=x[/mm] und [mm]a_0=1[/mm].
>
> Es ist
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}\left(\summe_{i=k}^{n}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k\left(\summe_{i=0}^{n-k}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}[/mm]
>
> Hier könnte man weiter tüfteln, um das Ergebnis
> [mm]\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}[/mm] zu finden, aber
> das ist nicht nötig (man kann es übrigens auch
> nachschlagen
> ).
>
> Es genügt, mit dem obigen Zwischenergebnis in die
> Grenzwertuntersuchung für [mm]n\to\infty[/mm] zu gehen. Die
> folgenden Umformungen gelten natürlich nur, sofern die
> verwendeten Grenzwerte existieren – und um diese
> Fragestellung kommt man bei einer unendlichen Reihe sowieso
> nicht herum!
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\blue{=} \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\right)= \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1}{1-x}\right)= \bruch{1}{1-x}*\left(\lim_{n\to\infty}\summe_{k=0}^{n}x^k\right)= \bruch{1}{1-x}*\bruch{1}{1-x}=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Gleich am ersten (blauen) Gleichheitszeichen habe ich aus
> Bequemlichkeit gemogelt.
Mir ist nicht so wirklich klar, was Du danach gemacht hast bzw. das ist
auch notationsmäßig ein kleines Problem (denn da sollten sicher zwei
verschiedene [mm] $n\,$'s [/mm] laufen).
Aber der eigentliche Hinweis:
Das "Tüftel-/Nachschlage-Ergebnis" muss auch noch einen kleinen Fehler
enthalten, oder?
[mm] $\lim_{n \to \infty}\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}=\frac{\red{x}}{(1-x)^2}$
[/mm]
Ich würde übrigens in der Tat, wie ich Dir auch in der PN geschrieben habe,
dann lieber mit sowas argumentieren. Wenngleich man dann auch sowas
wie [mm] $nx^n \to [/mm] 0$ für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] noch nachzuweisen hätte, aber das geht relativ
elementar!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:59 Do 26.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> Hallo reverend,
>
> ich hab's Dir ja gerade in einer PN geschrieben:
> > Hallo allerseits,
> >
> > so schwer sind die aufgefahrenen Geschütze nicht.
> >
> > Vorab: die Breite dieses Beitrags wird automatisch
> > generiert und ist daher gleich der Breite des Beitrags,
> auf
> > den er sich bezieht. Diese aber ist wegen der
> umfangreichen
> > [mm]\LaTeX[/mm]-Darstellung erhöht worden.
> > Darunter leidet nun die Lesbarkeit aller weiteren
> > Beiträge in diesem Ast des Threads, so auch hier im
> > folgenden. Ich kann das leider nicht ändern.
> >
> > Auch die Umordnung der Reihe gehört allemal nicht dazu.
> > Sie hat keine Vorbedingungen, solange die Reihe endlich
> > ist. Kommutativ- und Distributivgesetz genügen, dazu ein
> > wenig Potenzrechnung. Ich verwende ansonsten erst einmal
> > nur die
> >
> Summenformel für die endliche geometrische Reihe,
> > hier mit [mm]q=x[/mm] und [mm]a_0=1[/mm].
> >
> > Es ist
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}\left(\summe_{i=k}^{n}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k\left(\summe_{i=0}^{n-k}x^i\right)= \summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}[/mm]
>
> >
> > Hier könnte man weiter tüfteln, um das Ergebnis
> > [mm]\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}[/mm] zu finden, aber
> > das ist nicht nötig (man kann es übrigens auch
> >
> nachschlagen
> > ).
> >
> > Es genügt, mit dem obigen Zwischenergebnis in die
> > Grenzwertuntersuchung für [mm]n\to\infty[/mm] zu gehen. Die
> > folgenden Umformungen gelten natürlich nur, sofern die
> > verwendeten Grenzwerte existieren – und um diese
> > Fragestellung kommt man bei einer unendlichen Reihe sowieso
> > nicht herum!
> >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\blue{=} \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1-x^{n-k+1}}{1-x}\right)\right)= \lim_{n\to\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*\bruch{1}{1-x}\right)= \bruch{1}{1-x}*\left(\lim_{n\to\infty}\summe_{k=0}^{n}x^k\right)= \bruch{1}{1-x}*\bruch{1}{1-x}=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> >
> > Gleich am ersten (blauen) Gleichheitszeichen habe ich aus
> > Bequemlichkeit gemogelt.
>
> Mir ist nicht so wirklich klar, was Du danach gemacht hast
> bzw. das ist
> auch notationsmäßig ein kleines Problem (denn da sollten
> sicher zwei
> verschiedene [mm]n\,[/mm]'s laufen).
Stimmt natürlich. Werde ich gleich mal oben korrigieren, dann wirds hoffentlich deutlicher.
> Aber der eigentliche Hinweis:
> Das "Tüftel-/Nachschlage-Ergebnis" muss auch noch einen
> kleinen Fehler
> enthalten, oder?
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}=\frac{\red{x}}{(1-x)^2}[/mm]
Ja, definitiv. Man sollte nicht abschreiben, ohne nachzudenken und möglichst auch das Ergebnis zu überprüfen... Das ändere ich also auch.
> Ich würde übrigens in der Tat, wie ich Dir auch in der PN
> geschrieben habe,
> dann lieber mit sowas argumentieren.
Das scheint mir auch besser zu sein.
> Wenngleich man dann auch sowas
> wie [mm]nx^n \to 0[/mm] für [mm]|x| < 1\,[/mm] noch nachzuweisen hätte,
> aber das geht relativ
> elementar!
Stimmt ebenfalls. Irgendwann wird einem das so elementar, dass man "mit einem Blick" diesen Teil der Grenzwertbildung überblickt, obwohl sie eigentlich gar nicht so selbstverständlich ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:52 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
übrigens nur zur Ergänzung: Ich will reverends Ansatz/Weg da keinesfalls
schlechtreden. Ich finde ihn auch elegant. Aber man übersieht dabei doch
schnell, dass man "etwas locker" rechnet - denn ich finde, dass eine
Reihenumordnung generell doch schon ein etwas stärkeres Geschütz ist.
Soweit ich mich nicht täusche, braucht man bei meinem Weg mit dem $S(x):=...$
da weniger starke Geschütze!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 So 22.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Zum starken Geschütz:
dieses benötigt man auch für das Cauchyprodukt. Man schaue sich die Beweise der Aussagen zum Cauchyprodukt an !
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 So 22.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zum starken Geschütz:
>
> dieses benötigt man auch für das Cauchyprodukt. Man
> schaue sich die Beweise der Aussagen zum Cauchyprodukt an!
ja, ich hatte aber einen Weg, der auch ohne das Cauchyprodukt auskam:
https://matheraum.de/read?t=999230
Dort der 2. Weg!
Ich sag' ja auch nicht, dass die "Reihenumordnung" etwas wäre, was man
nicht beherrschen sollte. Bis jetzt habe ich aber außer diesem 2. Weg noch
keinen gesehen, der nur mit elementaren Ergebnissen auskäme.
Allerdings hat reverend ja nun seine Idee da etwas mehr ausgeschmückt,
das werde ich mir mal angucken (vielleicht habe ich da einfach mehr bei
ihm reininterpretiert, als er eigentlich wollte - vermutlich...).
Gruß,
Marcel
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