Berührung der Graphen bei x_0 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 29.03.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die sich die Graphen von f(x) und g(x) bei [mm] x_0 [/mm] berühren !
$f(x) = 1,5 [mm] x^2 [/mm] - 4,5 x + 3,5$
$g(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 0,5x^2 [/mm] + x $
[mm] $x_0 [/mm] = 1$
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wiederhole im Zuge der Abiturprüfungsvorbereitung momentan ALLES von Anfang an bis Ende und ich habe diese und ähnliche Aufgabenstellungen in meinem Mathebuch im Kapitel "Elementare Ableitungsregeln"gefunden. Ist zwar nicht unbedingt abiturrelevant, aber ich würde trotzdem gerne wissen wie ich solche Aufgaben lösen kann (unter dem Gesichtspunkt nicht alle Möglichkeiten der D.-Rechnung auszunutzen, da dies noch ziemlich am Anfang des Buches verlangt wird). Für Hilfe wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Alex,
> f(x) = 1,5 [mm]x^2[/mm] - 4,5 x + 3,5
> g(x) = [mm]-x^3[/mm] + [mm]0,5^2[/mm] + x
> [mm]x_0[/mm] = 1
>
meinst du [mm] g(x)=-x^3+0,5x^2+x [/mm] ??
die beiden Graphen berühren sich genau dann,
wenn:
1. [mm] f(x_0)=g(x_0) [/mm] und 2. [mm] f'(x_0)=g'(x_0) [/mm]
Viele Grüße,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 29.03.2008 | | Autor: | argl |
Hallo Andi, vielen Dank erstmal.
Nach deiner Aussage und meiner Rechnung würde sich für die Aufgabe ergeben
$f(x) = [mm] 1,5x^2-4,5x [/mm] +3,5$
$f'(x) = 3x - 4,5$
$g(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 0,5x^2 [/mm] + x$
$g'(x) = [mm] -3x^2 [/mm] + x + 1$
und somit
$f (1) = 0,5$
$g (1) = 0,5$
[mm] \Rightarrow [/mm] Beide Funktionswerte für [mm] $x_0 [/mm] = 1$ sind identisch, demzufolge liegt grundsätzlich erstmal eine Berührung zwischen den Graphen vor, nun überprüfe ich mit Hilfe der ersten Ableitung den Anstieg:
$f'(1) = -1,5$
$g'(1) = -1$
[mm] \Rightarrow [/mm] Die beiden Funktionswerte in der ersten Ableitung (demzufolge der Anstieg in Punkt [mm] $x_0$) [/mm] sind NICHT identisch, somit schneiden sich die Graphen.
Ist dies so richtig ???
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Hallo argl,
> Hallo Andi, vielen Dank erstmal.
>
> Nach deiner Aussage und meiner Rechnung würde sich für die
> Aufgabe ergeben
>
> [mm]f(x) = 1,5x^2-4,5x +3,5[/mm]
> [mm]f'(x) = 3x - 4,5[/mm]
>
> [mm]g(x) = -x^3 + 0,5x^2 + x[/mm]
> [mm]g'(x) = -3x^2 + x + 1[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]f (1) = 0,5[/mm]
> [mm]g (1) = 0,5[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Beide Funktionswerte für [mm]x_0 = 1[/mm] sind
> identisch, demzufolge liegt grundsätzlich erstmal eine
> Berührung zwischen den Graphen vor, nun überprüfe ich mit
> Hilfe der ersten Ableitung den Anstieg:
>
> [mm]f'(1) = -1,5[/mm]
> [mm]g'(1) = -1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die beiden Funktionswerte in der ersten
> Ableitung (demzufolge der Anstieg in Punkt [mm]x_0[/mm]) sind NICHT
> identisch, somit schneiden sich die Graphen.
>
>
> Ist dies so richtig ???
>
>
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 30.03.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe | Also würde für die Graphen der Funktionen
[mm] $f(x)=x^2-x-\bruch{4}{3} [/mm] $
[mm] $g(x)=\bruch{1}{3} x^3-x$
[/mm]
[mm] $x_0=2$
[/mm]
gelten:
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[mm] $f(x)=x^2-x-\bruch{4}{3}$
[/mm]
$f'(x)=2x-1$
[mm] $g(x)=\bruch{1}{3}x^3-x$
[/mm]
[mm] $g'(x)=\bruch{1}{3}*3x^2-1$
[/mm]
[mm] $g'(x)=x^2-1$
[/mm]
1. Überprüfen ob Graphen sich berühren:
[mm] $f(2)=2^2-2-\bruch{4}{3}$
[/mm]
[mm] $f(2)=\bruch{2}{3}$
[/mm]
[mm] $g(2)=\bruch{1}{3}*2^3-2$
[/mm]
[mm] $g(2)=\bruch{2}{3}$
[/mm]
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Die Funktionswerte für [mm] $x_0=2$ [/mm] sind identisch, somit berühren sich die Graphen von $f(x)$ und $g(x)$
2. Unterscheidung zwischen Berührungs-/Schnittpunkt:
$f'(x)=2x-1$
$f'(2)=2*2-1$
$f'(2)=3$
[mm] $g'(x)=x^2-1$
[/mm]
[mm] $g'(2)=2^2-1$
[/mm]
$g'(2)=4-1$
$g'(2)=3$
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Die Funktionswerte für die Ableitungen von $f(x)$ und $g(x)$ (und damit die Anstiege in [mm] $x_0$) [/mm] sind identisch, somit liegt für die Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ für [mm] $x_0=2$ [/mm] ein Berührungspunkt vor.
So müsste es richtig sein.
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Hallo argl,
> Also würde für die Graphen der Funktionen
>
> [mm]f(x)=x^2-x-\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm]g(x)=\bruch{1}{3} x^3-x[/mm]
> [mm]x_0=2[/mm]
>
> gelten:
>
> [mm]f(x)=x^2-x-\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm]f´(x)=2x-1[/mm]
>
> [mm]g(x)=\bruch{1}{3} x^3-x[/mm]
> [mm]g´(x)=x-1[/mm]
>
> 1. Überprüfen ob Graphen sich berühren:
>
> [mm]f(2)=2^2-2-\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm]f(2)=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]g(2)=\bruch{1}{3}*2^3-2[/mm]
> [mm]g(2)=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Die Funktionswerte für [mm]x_0=2[/mm] sind identisch,
> somit berühren sich die Graphen von [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm]
>
> 2. Unterscheidung zwischen Berührungs-/Schnittpunkt:
>
> [mm]f'(x)=2x-1[/mm]
> [mm]f'(2)=2*2-1[/mm]
> [mm]f'(2)=3[/mm]
>
> [mm]g'(x)=x-1[/mm]
> [mm]g'(2)=2-1[/mm]
> [mm]g'(2)=1[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] Die Funktionswerte für die Ableitungen von [mm]f(x)[/mm]
> und [mm]g(x)[/mm] (und damit die Anstiege in [mm]x_0[/mm]) sind NICHT
> identisch, somit liegt für die Graphen von [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm]
> für [mm]x_0=2[/mm] ein Schnittpunkt vor.ru
>
> Richtig so ???
>
Stimmt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 30.03.2008 | | Autor: | argl |
Ich hatte falsch abgeleitet und daher war auch das Ergebnis falsch. Hab den Fehler aber selbst gesehen und korrigiert, so müsste es stimmen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Jedec |
Also ich hab' mir beim Durchlesen einen Fall überlegt, bei dem f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x) als Beweiß nicht genügt. Mir ist klar, dass dieses Vorgehen so gelehrt wird, aber schaut euch mal dieses Beispiel an:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x³+2x
[/mm]
[mm] g(x)=-\bruch{1}{3}x³+2x
[/mm]
f'(x)=x²+2
g'(x)=-x²+2
An der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] haben die beiden Schaubilder den Punkt (0|0) gemeinsam.
[mm] f'(x_{0})=2
[/mm]
[mm] g'(x_{0})=2
[/mm]
Daraus würde man jetzt schließen, dass sich die Punkte berühren.
Schaut man sich jedoch die Schaubilder zu den Funktionen an, sieht man, dass sie sich doch schneiden.
Müsste man deshalb nicht eigentlich auch mit der 2. Ableitung argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine 2 Funktionen berühren sich doch bei x=0 wunderbar.
Vielleicht bist du der Meinung, ass sich Schneiden und berühren sich widersprechen? Das ist nicht so definiert, sondern kommt von der "älteren" Vorstellung der Tangente an z.Bsp einen Kreis, wo die Tangente ganz auf einer Seite der Kurve liegt.
aber wir nennen auch die x-Achse eine Tangente an [mm] f=x^3 [/mm] im Punkte 0.
berühren heisst eben in dem Sinne NUR dass die Kurven dieselbe Steigung haben.
(in einer kleinen Umgebung des Punktes 0 kannst du beide Funktionen durch die Gerade y=2x ersetzen und machst nur einen winzigen Fehler. (also etwa im Intervall (-0,001,+0,001)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Andi |
> nun muss man noch überprüfen ob sie sich berühren oder
> schneiden ...
Also dieser Satz ist falsch.
nachdem diese falsche Formulierung anscheinend Missverständnisse verursacht hat .... habe ich noch einmal versucht herauszufinden was "schneiden" bedeutet.....
Ich habe keine Definition gefunden.
Weiß jemand eine Quelle in der dieser Begriff definiert ist?
Nun gut .... da ich nicht weiß was schneiden bedeutet,
kann ich jetzt auch keine weitere Stellung dazu übernehmen.
Ich hatte als ich den Satz geschrieben habe folgende Vorstellung
von "schneiden" in meinem Kopf:
Die beiden Graphen der Funktion f und g schneiden sich genau dann an der Stelle [mm] x_0, [/mm] wenn [mm] x_0 [/mm] eine einfache Nullstelle der Funktion h:=f-g ist.
Aber wahrscheinlich ist folgende Definition gebräuchlicher:
Die beiden Graphen der Funktion f und g schneiden sich genau dann an der Stelle [mm] x_0, [/mm] wenn [mm] x_0 [/mm] eine ungerade Nullstelle der Funktion h:=f-g ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > nun muss man noch überprüfen ob sie sich berühren oder
> > schneiden ...
>
> Also dieser Satz ist falsch.
>
> nachdem diese falsche Formulierung anscheinend
> Missverständnisse verursacht hat .... habe ich noch einmal
> versucht herauszufinden was "schneiden" bedeutet.....
>
> Ich habe keine Definition gefunden.
>
> Weiß jemand eine Quelle in der dieser Begriff definiert
> ist?
>
> Nun gut .... da ich nicht weiß was schneiden bedeutet,
> kann ich jetzt auch keine weitere Stellung dazu übernehmen.
>
> Ich hatte als ich den Satz geschrieben habe folgende
> Vorstellung
> von "schneiden" in meinem Kopf:
> Die beiden Graphen der Funktion f und g schneiden sich
> genau dann an der Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn [mm]x_0[/mm] eine einfache
> Nullstelle der Funktion h:=f-g ist.
>
> Aber wahrscheinlich ist folgende Definition
> gebräuchlicher:
> Die beiden Graphen der Funktion f und g schneiden sich
> genau dann an der Stelle [mm]x_0,[/mm] wenn [mm]x_0[/mm] eine ungerade
> Nullstelle der Funktion h:=f-g ist.
>
Hä? Also schneiden ist für mich seit der ersten Klasse (Ok, so früh vll auch wieder nicht), wenn es einen Punkt gibt, der zu beiden Graphen gehört.
Ich bezweifle auch, dass du eine genau Definition irgendwo finden wirst.
'Berühren' hätte ich jetzt spontan mit schneiden gleichgesetzt - aber nach n bissl überlegen denk ich, dass damit eher gemeint ist, dass es zwar einen gemeinsamen Punkt gibt, aber die Graphen nicht 'über Kreuz gehen', sondern sich sozusagen bloß tangieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Mo 31.03.2008 | | Autor: | argl |
Hm, also meine "bildliche Vorstellung" vom Unterschied ist, dass sich bei einem "Berührungspunkt" der Graph von $g(x)$ "nach" dem gemeinsamen Punkt "auf der selben Seite" des Graphen von $f(x)$ befindet bzw. dass sich beide Graphen in diesem Abschnitt und eventuell in den vorhergehenden/nachfolgenden decken , bei einem Schnittpunkt befindet ersich "auf der anderen Seite". Vielleicht etwas seltsam formuliert aber ichkann mir den Unterschied definitiv so oder so ähnlich erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Jedec |
Nach dieser Definition würde es dann jedoch nicht genügen die beiden Funktionen und ihre ersten Ableitungen gleichzusetzen. Man müsste auch noch die 2. Ableitung gleichsetzten und erst, wenn diese nicht gleich sind, kann man davon ausgehen, dass es sich um einen Berührpunkt handelt. (siehe mein Beispiel https://matheraum.de/read?i=386030)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo,
also lasst euch jetzt bitte nicht verwirren.
Ein Berührpunkt ist definitiv so definiert:
[mm] (x_0; f(x_0) [/mm] ist ein Berührpunkt genau dann, wenn
[mm] f(x_0)=g(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0)=g'(x_0) [/mm] ist.
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben.
Das muss aber nicht heißen, dass sich die Funktionen nicht kreuzen dürfen.
Sie können sich in einem Berührpunkt kreuzen, oder auch nicht.
Viele Grüße,
Andi
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