Beschränktheit und Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 15.02.2023 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Folgen jeweils auf Beschränktheit und Monotonie.
[mm] a_{n}=sin(n) [/mm] |
Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir einer von euch bei der obigen Aufgabe helfen.
Um Monotonie zu zeigen, muss ich entweder [mm] a_{n}-a{n+1}<0 [/mm] (steigend) bzw. [mm] a_{n}-a{n+1}>0 [/mm] (fallend) zeigen.
Folglich:
sin(n)-sin(n+1) = sin(n)-(sin(n)cos(1)+sin(1)cos(n)) = sin(n)-sin(n)cos(1)-sin(1)cos(n)
Aber wie kann ich jetzt offensichtlich zeigen, dass hier keine Monotonie vorliegt?
Die Folge sin(n) ist ja durch -1 bzw 1 Beschränkt, aber wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren?
DANKE für eure Hilfe!
|
|
| |
|
Hiho,
das einfachste mal zu beginn:
> Die Folge sin(n) ist ja durch -1 bzw 1 Beschränkt, aber
> wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren?
Genau so: Es gilt $-1 [mm] \le \sin(n) \le [/mm] 1$ und damit ist die Folge beschränkt.
> Untersuchen Sie die folgenden Folgen jeweils auf
> Beschränktheit und Monotonie.
> [mm]a_{n}=sin(n)[/mm]
> Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir einer von euch
> bei der obigen Aufgabe helfen.
>
> Um Monotonie zu zeigen, muss ich entweder [mm]a_{n}-a{n+1}<0[/mm]
> (steigend) bzw. [mm]a_{n}-a{n+1}>0[/mm] (fallend) zeigen.
>
> Folglich:
> sin(n)-sin(n+1) = sin(n)-(sin(n)cos(1)+sin(1)cos(n)) =
> sin(n)-sin(n)cos(1)-sin(1)cos(n)
Oder weiter zusammengefasst:
[mm] $-2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(n + \frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Das hilft nun aber auch nicht wesentlich weiter, weil du die Monotonie von [mm] $\sin(n)$ [/mm] auf das Vorzeichen von [mm] $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right)$ [/mm] zurückgeführt hast.
Der Vorzeichenwechsel bringt uns aber vielleicht schon vorher weiter…
Was weißt du denn über die Vorzeichen von [mm] $\sin(n)$ [/mm] und [mm] $\sin(n+4)$?
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 16.02.2023 | | Autor: | fred97 |
Wie Gono schon sagte: [mm] $|a_n| \le [/mm] 1$ für alle $n$.
Damit ist [mm] $(a_n)$ [/mm] beschränkt.
Ich habe einen ganz elementaren Beweis für die Divergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] gefunden.
Daraus folgt, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] nicht monoton sein kann (Monotoniekriterium).
Wir führen folgende Bezeichnungen ein: [mm] $s_n:= a_n [/mm] = [mm] \sin [/mm] (n)$ und [mm] $c_n [/mm] := [mm] \cos [/mm] (n).$
Wir nehmen an, [mm] $(s_n)$ [/mm] sei konvergent und $a$ der Limes dieser Folge.
Aus dem Add.-Theorem folgt
[mm] $s_{n+1}=c_1s_n+s_1c_n.$ [/mm]
Weil [mm] $s_1 \ne [/mm] 0$ ist folgt , dass auch [mm] (c_n) [/mm] konvergiert einen Grenzwert $b$ hat und
(1) $a=c_1a+s_1b.$
Mit dem Add. - Theorem für den Cosinus erhlten wir dann:
(2) $b=s_1b-c_1a.$
Addieren wir beide Gleichungen, so bekommen wir
(3) $a+b= 2s_1b$
und, durch Subtraktion
(4) $a-b=2c_1a.$
Lösen wir (3) nach $a$ auf und setzen dies in (4) ein, so liefert dies
$s_1b-b=2c_1s_1b-c_1b.$
Wäre $b [mm] \ne [/mm] 0$, so würde folgen
[mm] $s_1-1=2c_1s_1-c_1,$
[/mm]
also
[mm] $s_1+c_1=2c_1s_1+1=s_1^2+2c_1s_1+c_1^2= (s_1+c_1)^2.$
[/mm]
Folglich wäre [mm] $s_1+c_1=0$ [/mm] oder [mm] $s_1+c_1=1.$ [/mm]
Beides ist aber nicht der Fall.
Fazit: $b=0.$ Aus (3) folgt dann $ a=0.$
Wegen [mm] $1=c_n^2+s_n^2$ [/mm] für alle $n$ folgt aber [mm] $a^2+b^2=1,$ [/mm] ein Widerspruch.
Damit ist [mm] (a_n) [/mm] divergent.
__________
Einfacher ist der Weg durch die komplexen Zahlen. Wir beginnen wie oben: $a$ sei der Limes von [mm] $(s_n)$ [/mm] und folgern wie oben, dass auch [mm] $(c_n)$ [/mm] konvergiert zum Grenzwert $b$.
Wir setzen [mm] $k_n: [/mm] = [mm] e^{in}.$ [/mm] Dann konvergiert [mm] (k_n) [/mm] gegen $a+ib$.
Ebenso: [mm] $k_{n+1} \to [/mm] a+ib.$
Nun ist aber [mm] $k_{n+1}=e^i k_n.$
[/mm]
Somit ist [mm] $a+ib=e^i(a+ib)$.
[/mm]
Es folgt $a=0=b$, als Widerspruch wie oben.
|
|
|
| |
|
> Wie Gono schon sagte: [mm]|a_n| \le 1[/mm] für alle [mm]n[/mm].
>
> Damit ist [mm](a_n)[/mm] beschränkt.
>
> Ich habe einen ganz elementaren Beweis für die Divergenz
> von [mm](a_n)[/mm] gefunden.
>
> Daraus folgt, dass [mm](a_n)[/mm] nicht monoton sein kann
> (Monotoniekriterium).
>
> Wir führen folgende Bezeichnungen ein: [mm]s_n:= a_n = \sin (n)[/mm]
> und [mm]c_n := \cos (n).[/mm]
>
> Wir nehmen an, [mm](s_n)[/mm] sei konvergent und [mm]a[/mm] der Limes dieser
> Folge.
>
> Aus dem Add.-Theorem folgt
>
> [mm]s_{n+1}=c_1s_n+s_1c_n.[/mm]
>
> Weil [mm]s_1 \ne 0[/mm] ist folgt , dass auch [mm](c_n)[/mm] konvergiert
> einen Grenzwert [mm]b[/mm] hat und
>
> (1) [mm]a=c_1a+s_1b.[/mm]
>
> Mit dem Add. - Theorem für den Cosinus erhlten wir dann:
>
> (2) [mm]b=s_1b-c_1a.[/mm]
|||| Hier ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen, der letztlich der Sache keinen Abbruch tut:
||||
|||| [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] = [mm] cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta), [/mm] hier also
||||
|||| [mm]b=c_1b-s_1a[/mm] (2*)
||||
>
> Addieren wir beide Gleichungen, so bekommen wir
>
> (3) [mm]a+b= 2s_1b[/mm]
||||
|||| Jetzt (1)+(2*):
|||| a+b = [mm] c_1(a+b)+s_1(b-a)
[/mm]
|||| somit [mm] (a+b)(1-c_1)=s_1(b-a)
[/mm]
|||| multipliziert mit (b-a): [mm] (b^2-a^2)(1-c_1)=s_1(b-a)^2 [/mm] (3*)
||||
>
> und, durch Subtraktion
>
> (4) [mm]a-b=2c_1a.[/mm]
||||
|||| a-b = [mm] c_1(a-b)+s_1(a+b)
[/mm]
|||| somit [mm] (a-b)(1-c_1)=s_1(a+b)
[/mm]
|||| multipliziert mit (a+b): [mm] (a^2-b^2)(1-c_1)=s_1(a+b)^2 [/mm] (4*)
||||
|||| Vergleich von (3*) und (4*) liefert:
||||
|||| [mm] (b^2-a^2)(1-c_1)=s_1(b-a)^2 [/mm] (3*)
|||| [mm] (a^2-b^2)(1-c_1)=s_1(a+b)^2 [/mm] (4*)
||||
|||| Für [mm] |a|\ne [/mm] |b| sind die beiden Klammern auf der jeweils rechten Seite als Quadrate positiv, die rechten Seiten haben somit beide das gleiche
|||| Vorzeichen (von [mm] s_1\ne [/mm] 0). Auf der linken Seite sind die beiden ersten Klammern [mm] \ne [/mm] 0, haben aber verschiedene Vorzeichen, und da [mm] c_1\ne [/mm] 1 ist,
|||| stehen auf der linken Seite verschiedene Vorzeichen. Das widerspricht sich. Also ist b=a oder b=-a.
||||
|||| Dann sind aber die beiden linken Klammern [mm] (b^2-a^2) [/mm] und [mm] (a^2-b^2)=0, [/mm] und wegen [mm] (1-c_1) [/mm] und [mm] s_1 \ne [/mm] 0 dann auch b-a=0 und a+b=0,
|||| woraus sofort a=b=0 folgt.
||||
|||| Widerspruch wie gezeigt wegen [mm] a^2+b^2=1.
[/mm]
>
> Lösen wir (3) nach [mm]a[/mm] auf und setzen dies in (4) ein, so
> liefert dies
>
> [mm]s_1b-b=2c_1s_1b-c_1b.[/mm]
>
> Wäre [mm]b \ne 0[/mm], so würde folgen
>
> [mm]s_1-1=2c_1s_1-c_1,[/mm]
>
> also
>
> [mm]s_1+c_1=2c_1s_1+1=s_1^2+2c_1s_1+c_1^2= (s_1+c_1)^2.[/mm]
>
> Folglich wäre [mm]s_1+c_1=0[/mm] oder [mm]s_1+c_1=1.[/mm]
>
> Beides ist aber nicht der Fall.
>
> Fazit: [mm]b=0.[/mm] Aus (3) folgt dann [mm]a=0.[/mm]
>
> Wegen [mm]1=c_n^2+s_n^2[/mm] für alle [mm]n[/mm] folgt aber [mm]a^2+b^2=1,[/mm] ein
> Widerspruch.
>
> Damit ist [mm](a_n)[/mm] divergent.
>
>
> __________
>
> Einfacher ist der Weg durch die komplexen Zahlen. Wir
> beginnen wie oben: [mm]a[/mm] sei der Limes von [mm](s_n)[/mm] und folgern
> wie oben, dass auch [mm](c_n)[/mm] konvergiert zum Grenzwert [mm]b[/mm].
>
> Wir setzen [mm]k_n: = e^{in}.[/mm] Dann konvergiert [mm](k_n)[/mm] gegen
> [mm]a+ib[/mm].
>
> Ebenso: [mm]k_{n+1} \to a+ib.[/mm]
>
> Nun ist aber [mm]k_{n+1}=e^i k_n.[/mm]
>
> Somit ist [mm]a+ib=e^i(a+ib)[/mm].
>
> Es folgt [mm]a=0=b[/mm], als Widerspruch wie oben.
|
|
|
| |
|
Sorry ..... aber darf man heutzutage nicht mehr erwarten, dass LernKräft*Innen, welche in einen Kurs über Analysis kommen, wenigstens eine rudimentäre anschauliche Vorstellung von Grundfunktionen wie z.B. der Sinusfunktion haben ?
|
|
|
| |
|
> Sorry ..... aber darf man heutzutage nicht mehr erwarten,
> dass LernKräft*Innen, welche in einen Kurs über Analysis
> kommen, wenigstens eine rudimentäre anschauliche
> Vorstellung von Grundfunktionen wie z.B. der Sinusfunktion
> haben ?
Na ja, das ist hier vielleicht nicht so einfach abzuhandeln. Schließlich ist [mm] a_n [/mm] = [mm] sin(2\pi n+\pi/(2n) [/mm] monoton fallend...
|
|
|
| |
|
Ich versuche mal, deine Idee aufzugreifen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jede Halbwelle der Sinuskurve hat die Länge [mm] \pi [/mm] > 3. Daher findet man dazu passend 3 bis 4 natürliche Zahlen als Argumente zwischen den Nullstellen.
Wäre sin(n) monoton, müsste die Folge wegen der Beschränktheit konvergieren. Nach jeweils 3-4 positiven folgen wieder 3-4 negative Funktionswerte usw. Wegen der wechselnden Vorzeichen könnte die Folge also nur gegen 0 konvergieren. Dann müssten aber irgendwann alle n-Werte nahe den Nullstellen liegen, aber der nächste n-Wert wäre ca. 1 davon entfernt und der dazugehörige Funktionswert etwa [mm] \pm [/mm] 0,84. Also keine Konvergenz, keine Monotonie.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
