Bestimmtes Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5\pi}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{2 - cos(x) + sin(x)}
[/mm]
Verwenden Sie die Substitution u = [mm] tan(\bruch{x}{2}). [/mm] Der Integrand ist die Einschränkung einer [mm] 2\pi-periodischen [/mm] stetigen Funktion auf das Intervall [0, [mm] \bruch{5\pi}{2}]. [/mm] |
Die Stammfunktion zu berechnen habe ich hinbekommen und sie stimmt mit der Lösung in meinem Skript überein:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2 - cos(x) + sin(x)} dx}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] arctan(\bruch{3\wurzel{2}}{2}tan(\bruch{x}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] + C
Nun steht jetzt im Skript noch folgendes:
Nach dem Hauptsatz gibt es eine Stammfunktion F: R [mm] \to [/mm] R mit
F(x) = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] arctan(\bruch{3\wurzel{2}}{2}tan(\bruch{x}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2})
[/mm]
für alle x [mm] \in (-\pi,\pi). [/mm] Die Funktion f ist [mm] 2\pi [/mm] - periodisch. Die Funktion F ist stetig. Also gilt:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5\pi}{2}}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\pi | x < \pi} [/mm] F(x) - [mm] \limes_{x\rightarrow -\pi | x > -\pi} [/mm] F(x) + [mm] F(\bruch{\pi}{2}) [/mm] - F(0)
= [mm] \bruch{\wurzel{2}\pi}{2} [/mm] - [mm] (-\bruch{\wurzel{2}\pi}{2}) [/mm] + [mm] \wurzel{2}arctan(2\wurzel{2}) [/mm] - [mm] \wurzel{2}arctan(\bruch{\wurzel{2}}{2})
[/mm]
Die vorletzte Zeile verstehe ich aber nicht richtig. Warum kann man das Integral denn so aufteilen? Weil f ja 2 [mm] \pi [/mm] periodisch ist, wäre ja z.B. das äquivalent oder nicht:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] und
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5\pi}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi + \bruch{pi}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2\pi}^{2\pi + \bruch{pi}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2\pi}^{2\pi + \bruch{pi}{2}}{f(x) dx}
[/mm]
und wäre dann [mm] \integral_{2\pi}^{2\pi + \bruch{pi}{2}}{f(x) dx} [/mm] mit [mm] F(\bruch{\pi}{2}) [/mm] - F(0) damit äquivalent?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Sa 30.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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