Bestimmung der Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Di 20.11.2007 | | Autor: | Storm |
| Aufgabe | T: X [mm] \to [/mm] Y linear.
[mm] X=l_1, Y=\IR, Tx=\summe_{n=1}^{\infty}c_n*x_n [/mm] für [mm] x=(x_n)_{n=1}^\infty \subset l_1 [/mm] und [mm] c=(c_n)_{n=1}^\infty \subset l_\infty.
[/mm]
In der Vorlesung wurde [mm] \parallel T\parallel\le\parallel c\parallel_\infty [/mm] gezeigt.
Zeigen Sie, dass die Abschätzungen scharf sind, d.h. Gleichheit für die Norm gilt. |
Hallo,
wie kann ich denn an obige Aufgabe "richtig" rangehen?
Meine bisherige Idee war folgende:
Sei [mm] e\in l_1 [/mm] mit e=(1,0,0,...) und [mm] c=(c_1,c_2,c_3,...) [/mm] mit [mm] c_1\ge c_2\ge c_3\ge [/mm] ... [mm] \Rightarrow \parallel T\parallel=\sup_{\parallel x\parallel_\infty=1}|Tx|\ge |Te|=|\summe_{n=1}^{\infty}c_n*e_n|=|c_1|=\sup_{i}|c_i|=\parallel c\parallel_\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel T\parallel=\parallel c\parallel_\infty
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe
Stefan
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Das ist viel zu speziell. Du sollst zeigen, dass [mm] $\parallel T\parallel =\parallel c\parallel_{\infty}$ [/mm] ist. Die Operatornorm ist definiert als [mm] $\sup \{\parallel Tx\parallel:\parallel x\parallel \leq 1\}$. [/mm] Bon. Wir muessen also versuchen eine Folge [mm] $(x_l)_{l\in\IN}\subset \ell^1$ [/mm] zu finden, fuer die [mm] $\parallel [/mm] T [mm] x_l\parallel\rightarrow \parallel c\parallel_{\infty}, l\rightarrow \infty$. [/mm] (Desewegen sagt man, dass die Ungleichung "scharf" ist. Natuerlich nicht im erotischen Sinne). Ich wuerde es so angehen: waehle eine Teilfolge [mm] $c_{k_l}$ [/mm] aus den Komponenten von [mm] $c\in \ell^{\infty}$ [/mm] so dass [mm] $|c_{k_l}|\rightarrow \parallel c\parallel_{\infty}$. [/mm] Diese Folge gibt es immer! Anhand dieser Folge ist es klar wie du [mm] $x_l$ [/mm] waehlen musst....Got it? 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Di 20.11.2007 | | Autor: | Storm |
Ich würde dann die [mm] x_l [/mm] so wählen, dass: [mm] \parallel x_l\parallel_1\to [/mm] 1 geht?
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Ich gebe dir jetzt diesen Tipp: [mm] $=\sum_{i=1}^\infty c_i\cdot (e_l)^i=c_l$, $e_l=(0,...,0,\underbrace{1}_{lte},0,....)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 20.11.2007 | | Autor: | Storm |
Ah :)
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
MfG
Stefan
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