Bestimmung günstige Ereignisse < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Einen schönen guten Abend liebe Mathefreunde ;)
Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und frage mich des Öfteren, ob es möglich ist, hier und da ein bisschen Zeit einzusparen. Folgende Aufgabenstellung:
Man stelle sich vor, dass man mit einem Becher 3x hintereinander würfelt. In diesem Becher sind 3 Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dreimaligem Würfeln, die Gesamtaugenzahl [mm]\le 18 [/mm] ist?
Gibt es eventuell aus der Kombinatorik eine Möglichkeit, die Möglichen Kombinationen einfach zu errechnen, ohne sie von "Hand" aufzuschreiben und abzuzählen? So nach dem Motto: Man habe 3 verschiedene Container mit den Farben rot, gelb und grün. Wieviele Anordnungsmöglichkeiten auf einem Zug gibt es? Hier kommt man ja sehr leicht mit 3! zum Ergebnis...
Ist es also bei so einer Aufgabenstellung möglich, auf das Ergebnis(#günstigen Elementarereignisse) zu kommen, über einen "einfachen" Rechenweg?
Beste Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
würfel mit 9 unabh. Würfeln auf einmal. jeder kann 1 bis 6 zeigen. reicht dir das an Vereinfachung? Die Gesamtmenge an möglichkeiten hast du damit sofort. jetzt nur noch die mit Summe <18,
Gruss leduart
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Danke für deine Antwort leduart ;)
Ich glaube, dass ich es noch nicht ganz verstanden habe.... ich schreib mal auf, was ich zusammen bekomme ^^
Also: bei 9 Würfeln kann jeder einzelne die Werte 1-6 annehmen. Ergo müssten es dann [mm]6^9[/mm] Gesamtmöglichkeiten sein, die Augenzahlen der Würfe zu kombinieren - richtig?
Wie baue ich aber nun ein, dass ich nur die Möglichkeiten beachte, bei denen die Augensumme [mm]\le18[/mm] beträgt?
Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 08.06.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo MarquiseDeSade,
es gibt tatsächlich eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten eine Summe mit n Würfeln zu erhalten.
Diese lautet:
$dice(s, x, [mm] n):=\summe_{k=0}^{(s-n)/x}(-1)^k*{n \choose k}*{s-x*k-1 \choose n-1}$
[/mm]
s-Summe
x-WürfelSeiten
n-Anzahl Würfe
Quelle: ![[]](/images/popup.gif) http://mathforum.org/library/drmath/view/52207.html
In deinem Fall [mm] $s\le18$:
[/mm]
[mm] \summe_{i=9}^{18}dice(i,6,9)=46640
[/mm]
mfg sigma
PS. Willst du mehr wissen, such mal nach "erzeugende Funktion"
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Hey sigma ;)
Vielen Dank für deine Mühe. Allerdings stoße ich jetzt an meine Grenzen, weil ich in der Welt der Mathematik nicht so heimisch bin XD
Folgendes Problem:
Du hast geschrieben...
> [mm]dice(s, x, n):=\summe_{k=0}^{(s-n)/x}(-1)^k*{n \choose k}*{s-x*k-1 \choose n-1}[/mm]
>
> s-Summe
> x-WürfelSeiten
> n-Anzahl Würfe
>
> In deinem Fall [mm]s\le18[/mm]:
>
> [mm]\summe_{i=9}^{18}dice(i,6,9)=46640[/mm]
Ich benutze den Casio fx-991ES und bin nicht fähig, diese tolle Formel zum Laufen zu bekommen ;)
Ich schreibe dir mal, wie laut "meinem Verständnis", die Formel auszuschauen hat:
$dice(s, x, [mm] n):=\summe_{k=0}^{1,5}(-1)^k*{9 \choose k}*{12*k-1 \choose 8}$ [/mm]
Ist das so in Ordnung? Oder habe ich hier schon falsche Werte?
Denn du setzt die Werte ins Summenzeichen anders ein:
[mm] $\summe_{i=9}^{18}$
[/mm]
Schon einmal vielen Dank im Voraus.
Gruß
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 08.06.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo MarquiseDeSade,
> [mm]dice(s, x, n):=\summe_{k=0}^{1,5}(-1)^k*{9 \choose k}*{12*k-1 \choose 8}[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung? Oder habe ich hier schon falsche
> Werte?
Im letzten Binomialkoeffizient ist bei s-x keine Klammer und die summe geht bis 1,33.
[mm]dice(18, 6, 9):=\summe_{k=0}^{1,33}(-1)^k*{9 \choose k}*{18-6*k-1 \choose 8}=22825[/mm]
> Denn du setzt die Werte ins Summenzeichen anders ein:
>
$ [mm] \summe_{i=9}^{18}dice(i,6,9)=46640 [/mm] = [mm] \summe_{i=9}^{18}\summe_{k=0}^{(i-6)/9}(-1)^k*{9 \choose k}*{i-6*k-1 \choose 8}$
[/mm]
Ja, ich berechne halt alle Fälle von Summe 9 bis summe 18. Ist eigentlich eine Doppelsumme
Aber ich würde mich nicht allein auf die Formel verlassen. Ersten glaube ich nicht das solche Aufgaben in einer Prüfung drankommen. Und Zweitens kann ja noch ein Fehler in der Formel sein.
mfg sigma
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