Beweis (1+x)^n >= n^2x^2/4 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hallo,
Ich habe das Problem, zu beweisen dass: [mm] (1+x)^{n} \ge \bruch{n^{2}x^{2}}{4}, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \ge [/mm] 2
Ich beiß mir nun die Fingernägel weg, da ich es nicht hinkriege, durch Vollständige Induktion zu beweisen:
In n:
Induktions-Anfang n=2 (klar)
Induktions-Schritt
[mm] (1+x)^{n+1} \ge \bruch{(n+1)^{2}x^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}x^{2}}{4} [/mm] (1+x) [mm] \ge \bruch{(n^{2}+2n+1)x^2}{4} [/mm] , durch Induktions-Annahme
[mm] \bruch{n^{2}x^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}x^{3}}{4} \ge \bruch{n^{2}x^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{2nx^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{4}
[/mm]
[mm] n^{2}x^{3} \ge 2nx^{2} [/mm] + [mm] x^{2}
[/mm]
Dies stimmt aber nicht, für z.B. n=2 und x=1
Hab ich einen Fehler gemacht? Oder geht das einfach nicht?
Bitte um Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 11.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Fei
> In n:
> Induktions-Anfang n=2 (klar)
> Induktions-Schritt
>
> [mm](1+x)^{n+1} \ge \bruch{(n+1)^{2}x^{2}}{4}[/mm]
Das folgt doch nicht!
[mm](1+x)^{n} \ge \bruch{(n)^{2}x^{2}}{4}[/mm]
daraus: [mm](1+x)^{n+1} \ge \bruch{(n)^{2}x^{2}}{4}*(1+x)[/mm]
d.h. du hast das Ungleich falsch rum!
Ich hab nicht weiter gerechnet, ob du durchkommst. Ich würd es mit Binom versuchen.
Gruss leduart
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