Beweis K-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 30.11.2009 | | Autor: | frato |
Hallo,
ich muss folgende Frage beantworten:
Sei K ein Körper. Zeigen Sie: Für beliebige m,n [mm] \varepsilon [/mm] N ist [mm] K^{m,n} [/mm] ein K-Vektorraum. Mit welchen Verknüpfungen?
Hierzu würde mich mal schnell interessieren, was [mm] K^{m,n} [/mm] bedeutet? Ist dass, das gleiche wie [mm] K^{mxn}.... [/mm] denn dann wäre es doch die Matrixaddition und Matrixmultiplikation mit einem Skalar oder? und es wäre leicht zu zeigen, dass das ein Vektorraum über K ist...
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 30.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo frato,
verdammte akademische Freiheit ... jeder kann seine eigene Nomenklatur und Bezeichnungsweise benutzen, keine Normen, keine Vereinheitlichung.
Deine Vermutung über [mm] K^{m,n} [/mm] teile ich, natürlich ohne Gewähr. Den Rest deiner Vermutung dann natürlich auch.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 30.11.2009 | | Autor: | frato |
ok vielen dank. ich geh jetzt auch einfach mal davon aus, dass es [mm] K^{mxn} [/mm] ist... was anderes fällt mir dazu nicht ein. hab [mm] K^{m,n} [/mm] noch nie gesehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Di 01.12.2009 | | Autor: | frato |
Habe die Aufgabe jetzt mal bearbeitet.
Reicht es wenn ich sage:
Die Rechenregeln für Matrizen ergeben die Ringaxiome, wobei das neutrale Element der Addition die Nullmatrix ist und das Einselement die Einheitsmatrix E.
Multiplikation mit Skalar
Sei [mm] A=(a_{ik})
[/mm]
[mm] \alpha*A :=(\alpha a_{ik}) [/mm] also die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
außerdem erfüllt die selbe Regel
[mm] (\alpha+\beta)*A =(\alpha a_{ik}) [/mm] + [mm] (\beta a_{ik})
[/mm]
[mm] \alpha(A+B)=(\alpha a_{ik}) [/mm] + [mm] (\beta a_{ik})
[/mm]
[mm] \alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A
[/mm]
und zuletzt
1*A=A
[mm] 1*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }=\pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} \\ 1*a_{21} & 1*a_{22} }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
Darf ich das so schreiben?
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> Habe die Aufgabe jetzt mal bearbeitet.
> Reicht es wenn ich sage:
>
> Die Rechenregeln für Matrizen ergeben die Ringaxiome,
> wobei das neutrale Element der Addition die Nullmatrix ist
> und das Einselement die Einheitsmatrix E.
Hallo,
das stimmt ja nicht.
Die mxn-Matrizen bilden doch keinen Ring:
für Ring brauchst Du eine Multiplikation, und die hast Du bei den nichtquadratischen Matrizen nicht, und folglich gibt es auch kein Einselement.
Das macht aber nichts.
Entscheidend ist: die mxn-Matrizen bilden zusammen mit der Addition eine Gruppe.
ich denke, das wurde bereits in der VL gezeigt, und Du kannst Dich darauf berufen. (Ansonsten: zeigen. Ist ja nicht schwer.)
> Multiplikation mit Skalar
Ja, mit dieser Multiplikation haben wir es zu tun, wenn wir über "Vektorraum" reden.
> Sei [mm]A=(a_{ik})[/mm]
> [mm]\alpha*A :=(\alpha a_{ik})[/mm] also die Multiplikation einer
> Matrix mit einem Skalar
Ja.
Und von dieser Multiplikation mußt Du nun vorrechnen, daß die Gesetze
I: [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * A) = [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * A
IIa: α * (A + B) = α * A + α * B
IIb: (α + β) * A = α * A + β * A,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K
III: 1 * A = A
für alle mxn-Matrizen A,B und für alle Körperelemente [mm] \alpha, \beta [/mm] gelten.
>
> [s]außerdem erfüllt die selbe Regel [/] Für die Multiplikation mit Skalaren gilt
> [mm](\alpha+\beta)*A =(\alpha a_{ik})[/mm] + [mm](\beta a_{ik})[/mm]
Das darfst Du nicht einfach so schreiben, Du mußt es vorrechnen:
Es ist [mm] (\alpha+\beta)*A=(\alpha+\beta)(a_i_k) [/mm] (nach Def. der Multiplikation mit Skalaren)
[mm] =(\alpha a_i_k +\beta a_i_k) [/mm] (Rechnen im Körper)
[mm] =(\alpha a_i_k )+(\beta a_i_k) [/mm] (Addition von Matrizen)
[mm] =\alpha (a_i_k )+\beta (a_i_k) [/mm] (Def. der Multiplikation mit Skalaren)
[mm] =\alpha A+\beta [/mm] A
Ebenso genau mußt Du
>
> [mm]\alpha(A+B)=(\alpha a_{ik})[/mm] + [mm](\beta a_{ik})[/mm]
> [mm]\alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A[/mm]
>
> und zuletzt
>
> 1*A=A
zeigen.
> [mm]1*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }=\pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} \\ 1*a_{21} & 1*a_{22} }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
Watt'n dat? Wir haben es mit mxn-Matrizen zu tun, und nicht mit 2x2-Matrizen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 02.12.2009 | | Autor: | frato |
Ah ich habs verstanden  ...Vielen Dank
und zu dieser Zeile:
> [mm] 1*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }=\pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} \\ 1*a_{21} & 1*a_{22} }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
Ich war heute Nacht einfach zu Faul das ganze noch in groß einzugeben.Sorry... Das wollte ich eigentlich noch dazuschreiben...
also in der Form
[mm] 1*\pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} & ... & 1*a_{1n} \\ 1*a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ 1*a_{m1} & 1*a_{m2} & ... & 1*a_{mn}} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}}
[/mm]
reicht es wenn ich das so schreibe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah ich habs verstanden ...Vielen Dank
>
> und zu dieser Zeile:
>
> > [mm]1*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }=\pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} \\ 1*a_{21} & 1*a_{22} }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
>
> Ich war heute Nacht einfach zu Faul das ganze noch in groß
> einzugeben.Sorry... Das wollte ich eigentlich noch
> dazuschreiben...
>
> also in der Form
>
> [mm]1*\pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1*a_{11} & 1*a_{12} & ... & 1*a_{1n} \\ 1*a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ 1*a_{m1} & 1*a_{m2} & ... & 1*a_{mn}}[/mm]
> = [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}}[/mm]
>
> reicht es wenn ich das so schreibe?
>
Mir würde es genügen
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 02.12.2009 | | Autor: | frato |
Ok. Vielen Dank !
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