Beweis Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 28.10.2007 | | Autor: | VerenaBl |
| Aufgabe | | In einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\delta [/mm] ,A,P)seien zwei Ereignisse A und B mit A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \delta [/mm] gegeben. Zu zeigen: P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A)P(B) [mm] -P(A^c)P(B^c) [/mm] |
Ich bin nun wie folgt vorgegangen und habe die Axiome als vorrausgesetzt genommen:
P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A)P(B) [mm] -P(A^c)P(B^c)
[/mm]
Es ist bekannt: P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) +P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A) + P(B) -1
[mm] \gdw [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A)P(B) - 1 + P(A) + P(B) - P(A)P(B) [mm] (\mapsto [/mm] "0" addiert)
und ab nun komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß wohl das gilt: P(A)=1- [mm] P(A^c)
[/mm]
Kann mir da jemand noch helfen? Muss das morgen abgeben. Wäre super lieb von euch. Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Mo 29.10.2007 | | Autor: | DirkG |
Die nötigen Gleichungen zum Beweis sind alle in deinem Beitrag enthalten, aber eine klare Logik des Beweises (was ist Voraussetzung, was ist äquivalente Umformung der Behauptung, ...) ist nicht zu erkennen, ist alles irgendwie durcheinander...
Ich schlage vor, du startest mit der rechten Seite der Behauptung, und formst die unter Einsatz von [mm] $A\cup [/mm] B = [mm] \delta$ [/mm] (in der Form von [mm] $P(A\cup [/mm] B) = 1$) dann um bis du zur linken Seite [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ kommst, also startend etwa so:
[mm] $$P(A)P(B)-P(A^c)P(B^c) [/mm] = P(A)P(B)-(1-P(A))(1-P(B)) = P(A)P(B)-(1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)) = P(A)+P(B)-1 = [mm] \cdots$$
[/mm]
Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mo 29.10.2007 | | Autor: | VerenaBl |
Danke für deine Antwort, aber ich komme damit einfach nicht weiter. Kannst du mir das nicht ausnahmsweise sagen,ich muss das nämlich gleich abgeben und ich sitze da die ganze Zeit vor und weiß nicht mehr was ich da versuchen soll bzw. machen soll :( Ich wäre dir wirklich dankbar
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Guten Morgen!
Ausnahmsweise kann ich Dir versichern, dass die komplette Lösung bereits dort steht. 
Schau Dir mal den letzten Term in der Umformungskette von Dirk an und dann nochmal Dein erstes Posting.
Liebe Grüße,
Lars
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Hi,
ja ich weiß wohl was du meinst, aber ich weiß nicht wie ich das hinter dem = schreiben soll. Ich hätte es nun wie folgt gemacht:
Da laut Vorlesung gilt:
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A)P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)P(B) -1
Da wir nun wissen das gilt: P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)P(B) -1 wissen wir nun auch folgendes:
[mm] P(A)P(B)-P(A^c)P(B^c) [/mm] = P(A)P(B)-(1-P(A))(1-P(B)) = P(A)P(B)-(1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)) = P(A)+P(B)-1 = P(A [mm] \cap [/mm] B)
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Ich kann das nur so, aber ich kann nicht gleich hinter dem = weiterschreiben oder weiterrechnen weil ich nicht weiß wie ich das da sonst aufschreiben soll.
Geht denn mein Lösungweg auch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mi 31.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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