Beweis e^x < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 So 29.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Man beweise: Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt
[mm] e^x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n [/mm] |
Hallo zusammen,
folgende Darstellung habe ich gefunden, doch mir ist noch nicht richtig klar warum es so ist:
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Beweis: log´(1) = 1, folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n log [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{log(1+\bruch{1}{n})}{\bruch{1}{n}} [/mm] = 1
Nun ist [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = exp(n log [mm] (1+\bruch{1}{n})), [/mm] also wegen Stetigkeit von exp
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = exp(1) = e q.e.d.
Kann mir jemand diese Schritte vielleicht etwas weniger abstrakt erklären und mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich das auf meine oben genannte Aufgabe anwenden kann?
Ich weiß das log´(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist. Vielleicht hilft das ja weiter...
Beste Grüße und vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 29.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Also ich kenne einen anderen Beweis dass e gleich dieser Term ist.
Also man bildet den Differenzenquotienten an der Stelle 0 mit Hilfe der h-Methode.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^h-e^0}{h-0} = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^h-1}{h} = 1[/mm]
Also wenn h gegen 0 geht geht der Term gegen 1.
Das könnte man ja nun umformen.
[mm]\bruch{e^h-1}{h} \approx 1 [/mm]
für sehr kleine h.
Also gilt auch:
[mm]e^h \approx h+1 [/mm]
ersetzt man h durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sodass man nicht sehr kleine h einsetzt sonder sehr große n.
also...
[mm]e^{ \bruch{1}{n}} \approx \bruch{1}{n} + 1[/mm]
und man kommt auf:
[mm]e \approx (1+ \bruch{1}{n})^n[/mm]
für sehr große n bzw. für n gegen unendlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 29.01.2006 | | Autor: | vicky |
> Also ich kenne einen anderen Beweis dass e gleich dieser
> Term ist.
> Also man bildet den Differenzenquotienten an der Stelle 0
> mit Hilfe der h-Methode.
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^h-e^0}{h-0} = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^h-1}{h} = 1[/mm]
>
> Also wenn h gegen 0 geht geht der Term gegen 1.
>
> Das könnte man ja nun umformen.
>
> [mm]\bruch{e^h-1}{h} \approx 1[/mm]
> für sehr kleine h.
>
> Also gilt auch:
> [mm]e^h \approx h+1[/mm]
>
> ersetzt man h durch [mm]\bruch{1}{n}[/mm] sodass man nicht sehr
> kleine h einsetzt sonder sehr große n.
> also...
> [mm]e^{ \bruch{1}{n}} \approx \bruch{1}{n} + 1[/mm]
>
Also könnte ich theoretisch hier h durch [mm] \bruch{x}{n} [/mm] ersetzen?
Und dann komme ich auf:
[mm] e^\bruch{x}{n} \approx \bruch{x}{n} [/mm] +1 somit
[mm] e^x \approx (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] ???
Gruß vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 So 29.01.2006 | | Autor: | bjochen |
Ich wüsste nichts was dagegen sprechen würde. 
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