Beweis mit Gaußklammern < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}=(n+1)*a_{n}+1
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] a_{n}=[(e-1)*n!] [/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit diesem Beweis.
Mein bisheriger Ansatz läuft über vollständige Induktion, hakt dann aber leider an einer bestimmten Stelle.
Vollständige Induktion über n:
Induktionsanfang:
"n=1":
[mm]a_{1}=1=[e-1][/mm]
Induktionsschritt:
Die Behauptung gelte für ein [mm] n\in\IN. [/mm] Dann gilt für n+1:
[mm]a_{n+1}=(n+1)*a_{n}+1 [/mm]
[mm]=(n+1)*[(e-1)n!]+1[/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!-n!]+1[/mm]
[mm]=(n+1)*([e*n!]-[n!])+1 [/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!]-(n+1)*n!+1[/mm]
[mm]=(n+1)*[e*n!]-(n+1)!+1[/mm]
Wenn man das, was zu zeigen ist, ebenfalls umstellt, erhält man:
[mm][(e-1)(n+1)!]=[e(n+1)!-(n+1)!][/mm]
[mm]=[e(n+1)!]-(n+1)![/mm]
Somit bleibt im Prinzip (nach Addieren von (n+1)! auf beiden Seiten der geforderten "Gleichung") noch zu zeigen:
[mm][e(n+1)!]=(n+1)*[e*n!]+1[/mm]
So, und an diesem Punkt komme ich nicht weiter, weil ich so meine Probleme mit der Gauß-Klammer habe.
Die ist ja definiert durch:
[mm][x]=max\{z\in\IZ|z<=x\}.[/mm]
Aber wie hilft mir das bei meinem Beweis weiter?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
LG
fairytale
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 27.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach Def ist doch [mm] a_2=2*1+1=3
[/mm]
aber [mm] a_2=[(e-1)*1!]=1
[/mm]
also kann die Behauptung nicht gelten
aber rechne selbst nach, vielleicht ist auch mir die Hitze zu gross
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 27.07.2012 | | Autor: | fairytale |
Ups, da ist mir wohl ein Tippfehler unterlaufen.
Es soll $ [mm] a_{n}=[(e-1)\cdot{}n!] [/mm] $ bewiesen werden... Dann klappt das auch mit $ [mm] a_{2} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Fr 27.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> [mm]a_{n+1}=[(e-1)*n!][/mm]
Das erste heißt wohl [m]a_n[/m], oder?
> So, und an diesem Punkt komme ich nicht weiter, weil ich so
> meine Probleme mit der Gauß-Klammer habe.
> Die ist ja definiert durch:
> [mm][x]=max\{z\in\IZ|z<=x\}.[/mm]
> Aber wie hilft mir das bei meinem Beweis weiter?
Definition einer Funktion halt ... Ich würde mit der Reihendarstellung von e arbeiten, d.h. [m]e=\sum_k\bruch{1}{k!}[/m] und damit beide Seiten deiner Gleichung berechnen.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 27.07.2012 | | Autor: | fairytale |
Danke, auf die Reihendarstellung bin ich nicht gekommen.
Jetzt müsste es funktionieren.
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