Beweis vollständige Induktion < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:26 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | | http://www.uni-due.de/mathematik-didaktik/Probeklausur-7-PDF.pdf |
hi, also ich rechne gerade die a.2 der Probeklausur nach.
Könnte jemand den Beweis machen? Oder meinen Beweis später korrigieren? wäre lieb.
glg Knut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
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> http://www.uni-due.de/mathematik-didaktik/Probeklausur-7-PDF.pdf
> hi, also ich rechne gerade die a.2 der Probeklausur nach.
>
> Könnte jemand den Beweis machen? Oder meinen Beweis
> später korrigieren?
Ja, stell mal Deinen Beweis hier rein und ich sehe ihn mir an (falls mir nicht ein anderer zuvor kommt
FRED
> wäre lieb.
>
> glg Knut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
da gibts doch diesen Gleichheitssatz, ich will wissen, wie der aussieht
ich hab mir aufgeschrieben in meinen Unterlagen
[mm] ||x||^2 [/mm] = [mm] ||y||^2 [/mm] = <x,y> aber das kann ja nicht sein, wie lautet der richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Zunächst haben wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
$|<x,y>| [mm] \le [/mm] ||x||*||y||$.
Gleichheit gilt genau dann, wenn x und y linear abhängig sind.
Aber für Deine Aufgabe brauchst Du dies "Gleichheitsaussage " nicht
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
gibt es diesen Satz irgendwie, den ich mir aufgeschrieben habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> gibt es diesen Satz irgendwie, den ich mir aufgeschrieben
> habe?
Von welchem Sat sprichst Du ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
$ [mm] ||x||^2 [/mm] $ = $ [mm] ||y||^2 [/mm] $ = <x,y> aber das kann ja nicht sein, wie lautet der richtig? Also ich meine nicht die cauchy ungleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
erstmal die b)
also wenn gilt
1) x [mm] \perp [/mm] y-z heißt, dass <x,y-z> = 0
2) ||x|| = ||y-z|| heißt, dass [mm] \wurzel{x_{1}^2+ ... + x_{n}^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(y_{1}-z_{1})^2 ... + (y_{n} - z_{n})^2 }
[/mm]
und dann? ich tu mich mit solchen Beweisen immer schwer... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> erstmal die b)
>
> also wenn gilt
>
> 1) x [mm]\perp[/mm] y-z heißt, dass <x,y-z> = 0
> 2) ||x|| = ||y-z|| heißt, dass [mm]\wurzel{x_{1}^2+ ... + x_{n}^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{(y_{1}-z_{1})^2 ... + (y_{n} - z_{n})^2 }[/mm]
>
> und dann? ich tu mich mit solchen Beweisen immer schwer...
> :(
Aus x [mm]\perp[/mm] y-z folgt (Pythagoras !!):
[mm] $||x-y+z||^2= ||x+(z-y)||^2= ||x||^2+||z-y||^2$
[/mm]
Mit ||x|| = ||y-z|| ergibt sich:
[mm] $||x-y+z||^2=2*||x||^2$
[/mm]
Somit: $||x-y+z||= [mm] \wurzel{2}*||x||^2$
[/mm]
Edit: es lautet natürlich: $||x-y+z||= [mm] \wurzel{2}*||x||$
[/mm]
Jetzt Du
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
muss das Quadrat nicht weg hinter dem [mm] ||x||^2 [/mm] ? ich zieh doch die wurzel oder?
dann könnte ich in der Aufgaben-Ungleichung doch einfach ||x-y+z|| durch [mm] \wurzel{2} [/mm] * ||x|| ersetzen und hätte dann
[mm] \wurzel{2} [/mm] * ||x|| [mm] \le [/mm] 1,5 * ||x|| dann durch ||x|| und es steht dann [mm] \wurzel{2} \le [/mm] 1,5 q.e.d. oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> muss das Quadrat nicht weg hinter dem [mm]||x||^2[/mm] ? ich zieh
> doch die wurzel oder?
Ja, Du hast recht !
>
> dann könnte ich in der Aufgaben-Ungleichung doch einfach
> ||x-y+z|| durch [mm]\wurzel{2}[/mm] * ||x|| ersetzen und hätte
> dann
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] * ||x|| [mm]\le[/mm] 1,5 * ||x|| dann durch ||x|| und es
> steht dann [mm]\wurzel{2} \le[/mm] 1,5 q.e.d. oder?
In der Aufgabe steht doch "Beweisen oder widerlegen Sie ..."
Da [mm]\wurzel{2} \le[/mm] 1,5 ist, hast Du (hab ich) es bewiesen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
dank dir, das ist schwer für mich da muss ich wohl durch :) ist ja nur noch eine Klausur dann Examen im Sommer, die a) probier ich mal selbst :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
a) zz: Aus <x,y> = ||x|| folgt ||y|| [mm] \ge [/mm] 1
Beweis:
aus der Cauchy-Schwartzschen Ungleichung folgt: <x,y> [mm] \le [/mm] ||x|| * ||y||
Ersetze <x,y> mit ||x||: ||x|| [mm] \le [/mm] ||x|| * ||y|| durch ||x|| teilen, liefert:
1 [mm] \le [/mm] ||y|| q.e.d. und somit ist die Aussage bewiesen.
geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) zz: Aus <x,y> = ||x|| folgt ||y|| [mm]\ge[/mm] 1
>
> Beweis:
>
> aus der Cauchy-Schwartzschen Ungleichung folgt: <x,y> [mm]\le[/mm]
> ||x|| * ||y||
Der Mann heißt Schwarz und nicht Schwartz !
>
> Ersetze <x,y> mit ||x||: ||x|| [mm]\le[/mm] ||x|| * ||y||
> durch ||x|| teilen, liefert:
>
> 1 [mm]\le[/mm] ||y|| q.e.d. und somit ist die Aussage
> bewiesen.
>
> geht das so?
Ja , aber Du solltest <x,y> überall durch |<x,y>| ersetzen (Siehe Aufgabenstellung)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
oh okay :) der Herr Schwarz möge mir verzeihen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
http://de.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz
Einen Schwartz gibts auch (das ist abe nicht der von Cauchy-S.):
[mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_T._Schwartz
[/mm]
http://en.wikipedia.org/wiki/Dunford-Schwartz_theorem
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 17.02.2011 | | Autor: | svcds |
jetzt die 3b)
zz: | [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} \le \summe_{k=1}^{n} |a_{k}|
[/mm]
*Induktionsanfang für n = 1:
linke Seite: | [mm] \summe_{k=1}^{1} [/mm] | = |1|
rechte Seite: [mm] \summe_{k=1}^{1} |a_{k}| [/mm] = 1 wahr
*Induktionsschritt : von A(n) auf A(n+1)
| [mm] \summe_{k=1}^{n+1} a_{k} [/mm] | [mm] \le \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] | [mm] a_{k} [/mm] |
Abspalten:
| [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] | + |(n+1)| [mm] \le \summe_{k=1}^{n+1} |a_{k}|
[/mm]
dann
| [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] | + |(n+1)| [mm] \le \summe_{k=1}^{n} |a_{k}| [/mm] + |(n+1)|
dann kürzen
|n+1| [mm] \le [/mm] |n+1| wahr!
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Hallo svcds,
> jetzt die 3b)
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> zz: | [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k} \le \summe_{k=1}^{n} |a_{k}|[/mm]
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> *Induktionsanfang für n = 1:
>
> linke Seite: | [mm]\summe_{k=1}^{1}[/mm] | = |1|
> rechte Seite: [mm]\summe_{k=1}^{1} |a_{k}|[/mm] = 1 wahr
Unfug!
Für [mm]n=1[/mm] hast du linkerhand [mm]\left|\sum\limits_{k=1}^1a_k\right|=|a_1|[/mm]
Und rechterhand [mm]\sum\limits_{k=1}^1|a_k|=|a_1|[/mm]
Und [mm]|a_1|\le|a_1|[/mm] ist klar ...
Schreibe dir mal die Beh. für [mm]n=2[/mm] hin ...
Warum gilt die?
Das kannst du nachher im Induktionsschritt verwenden ...
>
> *Induktionsschritt : von A(n) auf A(n+1)
>
> | [mm]\summe_{k=1}^{n+1} a_{k}[/mm] | [mm]\le \summe_{k=1}^{n+1}[/mm] | [mm]a_{k}[/mm]
> |
Bitte sauberer!
Induktionsvor.:
Sei [mm]n\in\IN[/mm] und gelte [mm]\left|\sum\limits_{k=1}^na_k\right| \ \le \ \sum\limits_{k=1}^n|a_k|[/mm] (IV)
Schreibe mal aus, was da steht!
[mm]|a_1+a_2+a_2+\ldots+a_n| \ \le \ |a_1|+|a_2|+|a_3|+\ldots+|a_n|[/mm]
Nun nochmal den Induktionsschritt sauber machen.
Schreibe dir das aus, so wie ich es in der IV gemacht habe ...
Dann siehst du, wo der Hase lang läuft ...
> Abspalten:
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> | [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] | + |(n+1)| [mm]\le \summe_{k=1}^{n+1} |a_{k}|[/mm]
Woher kommt die linke Seite? Begr.?
Da steht doch zuerst mal [mm]\left|\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k\right|[/mm]
Das schreibe mal aus ...
>
> und weiter?
Das siehst du dann ...
Gruß
schachuzipus
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