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Forum "Uni-Analysis" - Beweis zu stetigen Fkten
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Beweis zu stetigen Fkten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Di 20.06.2006
Autor: sclossa

Aufgabe
Beweis zu:
Jede in einem kompakten Intervall stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an.

Der Anfang vom Beweis ist mir klar.

Sei A:=sup{f(x), x [mm] \in [/mm] [a,b]}  [mm] \in \IR [/mm] {oo}
( A=oo fals f nicht nach oben beschränkt ist)
Dann existiert eine Folge Xn  [mm] \in [/mm] [a,b], n  [mm] \in [/mm] N mit
lim f(Xn) = A.
Da die Folge beschränkt ist besitzt sie nach Bolzana Weierstraß eine
konvergente Teilfolge (Xnk) mit
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] Xnk =: p [mm] \in [/mm] [a,b]
Mit der Stetigkeit folgt somit:
f(p) =  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f(Xnk) = A, insbesondere A [mm] \in \IR. [/mm]
Also ist f nach oben beschränkt und nimmt in p ihr Maximum an.

Ich kann alles nachvollziehen, nur das Schluss bereitet mir Probleme. Warum muss A [mm] \in \IR [/mm] sein???  Wie begründet man das? Kann mir jemand die vorletzte Zeile mal etwas erklären?

Danke Sclossa

        
Bezug
Beweis zu stetigen Fkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mi 21.06.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Sclossa,

> Beweis zu:
>  Jede in einem kompakten Intervall stetige Funktion ist
> beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an.
>  Der Anfang vom Beweis ist mir klar.
>  
> Sei A:=...
>  ( A=oo fals f nicht nach oben beschränkt ist)
>  Dann existiert eine Folge Xn  [mm]\in[/mm] [a,b], n  [mm]\in[/mm] N mit
>  lim f(Xn) = A.
>  Da die Folge beschränkt ist besitzt sie nach Bolzana
> Weierstraß eine
>  konvergente Teilfolge (Xnk) mit
>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] Xnk =: p [mm]\in[/mm] [a,b]
>  Mit der Stetigkeit folgt somit:
>  f(p) =  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] f(Xnk) = A,
> insbesondere A [mm]\in \IR.[/mm]
>  Also ist f nach oben beschränkt
> und nimmt in p ihr Maximum an.
>  
> Ich kann alles nachvollziehen, nur das Schluss bereitet mir
> Probleme. Warum muss A [mm]\in \IR[/mm] sein???  Wie begründet man
> das? Kann mir jemand die vorletzte Zeile mal etwas
> erklären?


Die Maximalfolge [mm] $x_{n_k}$ [/mm] konvergiert aufgrund von Bolzano-Weierstraß gegen einen punkt [mm] $p\in [/mm] [a,b]$. Da f auf $[a,b]$ stetig ist, muß es einen wohldefinierten funktionswert [mm] $f(p)\in \IR$ [/mm] geben, so dass [mm] $\lim_{x_{n_k}\to \infty}f(x_{n_k})=f(p)$ [/mm] gilt. das ist einfach die definition der stetigkeit.

Gruß
Matthias

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