Beweise von linearen Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei V = C([0; 1]) die Menge der stetigen Funktionen f : [0; 1] nach R. Prüfen
Sie, ob die folgenden Abbildungen (Phi) : V (nach) V lineare Abbildungen sind:
a) ((Phi)f)(x) = f(x)²
b) ((Phi)f)(x) = f(x²)
c)
(Phi)(f(x)) = { f(x) für x < 0
0 für x >= 0 }
Kann mir jemand bei der Lösung helfen?
Die Definition von linearen Abblidungen ist mir ja klar, aber ich bekomme hier irgendwie keinen Ansatz hin. Seh ich das richtig, dass ich 2 Abbildungen habe? Oder warum einmal f und einmal (Phi) ?
Wäre schön, wenn mir jemand die a lösen könnte, dann probier ich mich an den anderen selbst. Brauch eigentlich nur nen Ansatz!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 06.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stiffmaster
Willkommen im Matheraum 
ich sehe das so:
Du hast 2 Sachen: einmal einen Vektorraum $V$. Die Vektoren dieses Vektorraumes sind die stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1].
Anmerkung: weil die stetigen Funktionen alle Bedingungen erfüllen, die man an die Vektoren in einem Vektorraum stellt, können diese Funktionen $f$ eben tatsächlich wie Vektoren behandelt werden. Es gilt ja zum Beispiel: $a*(f(x)+g(x))=a*f(x)+a*g(x)$ für alle stetigen Funktionen im Intervall [0,1]. Ebenso kannst du auch die anderen Axiome des Vektorraumes überprüfen.
Auf diese Funktionen (also Vektoren) wird nun eine Funktion [mm] $\varphi$ [/mm] angewendet, welche als Argument eine solche Funktion $f$ hat und auch als Bild eine stetige Funktion im Intervall [0,1].
Jetzt ist diese Funktion (Abbildung) [mm] $\varphi$ [/mm] eben auf 3 unterschiedliche Arten definiert, und zu jeder sollst du prüfen, ob sie die Linearitätsbedingungen erfüllt. Du musst dich also fragen:
Stimmt es, dass [mm] $\varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g)$ [/mm] ist?
Und wenn ja, ist auch [mm] $\varphi(\lambda*f)=\lambda*\varphi(f)$?
[/mm]
Wenn beide Fragen mit einem klaren "ja" für alle $f$, $g$ und [mm] $\lambda$ [/mm] beantwortet werden können, dann ist [mm] $\varphi$ [/mm] linear, sonst nicht.
So, ich hoffe, das Ganze sei jetzt etwas klarer geworden.
Falls nicht, meldest du dich einfach wieder?
Mit lieben Grüssen
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Ich "plage" mich gerade mit der selben Aufgabe rum, komme aber trotz der Hilfe nicht wirklich weiter. Kann mir das mal jemand noch mal näher erklären.Wäre echt nett!
Grüße,
Der_Literat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Di 08.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
schauen wir uns doch mal die a) an:
Du musst zunächst überprüfen, ob für alle $f,g [mm] \in [/mm] V$ die Beziehung:
(*) [mm] $\Phi(f+g) [/mm] = [mm] \Phi(f) [/mm] + [mm] \Phi(g)$
[/mm]
gilt.
Nun ist [mm] $\Phi(f)$ [/mm] eine stetige Funktion auf $[0,1]$, die durch
[mm] $[\Phi(f)](x)=[f(x)]^2$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
definiert ist. Damit ist (*) gleichbedeutend zu der Frage, ob für alle $f,g [mm] \in [/mm] V$ und alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
[mm] $[(f+g)(x)]^2 [/mm] = [mm] [f(x)]^2 [/mm] + [mm] [g(x)^2]$
[/mm]
gilt.
Und, gilt dies? Oder gilt dies nicht?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Di 08.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Stiffmaster, Paulus, Der_Literat und Julius,
ihr die Ihr gerade die gleiche Aufgabe macht.
Erst mal nur an die Kollegen:
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Ich habe übrigens die Blatt 7 , Nr. 2 gelöst (a != 1 und a != -1).
Und ich habe ein Online-Tool geschrieben welches die Determinante ausrechnet und dabei die einzelnen Lösungsschritte mit ausgibt.
So far.
Zur Aufgabe 1 habe ich nur eine Lösung für 2 x 2 - Matrizen.
Ich wäre Euch sehr verbunden, wenn Ihr da mal was durchsickern lassen würden. Entweder als privat mail oder natürlich besser gut ausformuliert hier im Forum. Oder beides :)
Habt Ihr die 4 ? Hoffentlich reicht uns die Zeit damit wir mit der heute überhapt noch anfangen können.
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Ich hab die 3 a ) immer noch nicht kapiert. Vielleicht hat jemand Ideen wie man es noch für (ganz Dumme) schreiben kann.
Oder schreibt mir mal privat, dann kannst du es mir vielleicht vis-a-vis erklären. Ich wohne übrigens in Rohrbach.
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Hallo Iulius!
Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
a.) ist keine lineare Abbildung, da
[mm] ((f+g)(x))^2 [/mm] = (f(x) + [mm] g(x))^2 [/mm] = [mm] f(x)^2 [/mm] + 2f(x)g(x) + [mm] g(x)^2 [/mm] ungleich [mm] f(x)^2 [/mm] + [mm] g(x)^2
[/mm]
b.) ist eine lineare Abbildung, da
(f+g) [mm] (x^2) [/mm] = [mm] f(x^2) [/mm] + [mm] g(x^2)
[/mm]
und: [mm] (\beta(f+g))(x^2) [/mm] = [mm] \beta [/mm] f(x) + [mm] \beta [/mm] g(x)
c.) ist keine lineare Abbildung für x kleiner gleich 0 und x größer gleich 1, da diese x ja nicht auf dem Intervall liegen und ist eine lineare Abbildung für x zwischen Null und eins, da
(f+g)(0) = f(0) + g(0) und ß(f+g)(0)=ßf(0)+ßg(0)
Ist das soweit auf dem richtigen Weg? Vielen lieben Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 08.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Der_Literat,
> Hallo Iulius!
>
> Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
>
> a.) ist keine lineare Abbildung, da
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
>
> [mm] ((f+g)(x))^2 [/mm] = (f(x) + [mm] g(x))^2 [/mm] = [mm] f(x)^2 [/mm] + 2f(x)g(x) +
> [mm] g(x)^2 [/mm] ungleich [mm] f(x)^2 [/mm] + [mm] g(x)^2
[/mm]
Ja, aber man muss/sollte es formal noch etwas sauberer aufschreiben. Seien [m]f,g \in C([0;1])[/m] und [m]x \in [0;1][/m] beliebig, aber fest, dann gilt:
[mm] $(\phi(f+g))(x)=((f+g)(x))^2=...$
[/mm]
Am Ende müßtest/solltest du dann schreiben:
Also gilt i.A. nicht: [m](\phi(f+g))(x)=(\phi(f))(x)+(\phi(g))(x)[/m]
Da du aber die Linearität widerlegen willst/kannst, würde ich den Weg über ein Gegenbeispiel bevorzugen, weil dies aussagekräftiger ist (und bei deinem Weg wird auch oft bemängelt/könnte man bemängeln: Was ist, wenn $f(x):=0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0;1]$? etc..)
Also: Sei $f(x):=1$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$. Dann ist $f [mm] \in [/mm] C([0;1])$. Wir definieren außerdem $g:=f$. Dann gilt (sogar für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$):
(I) [mm] $((f+g)(x))^2=4 \not= 2=1+1=(f(x))^2+(g(x))^2$, [/mm] und damit ist [m]\phi[/m] nicht linear (wie (I) dann zeigt, haben wir ja zwei Funktionen$f,g$ aus $C([0;1])$ gefunden, für die [mm] $(\phi(f+g))(x) [/mm] = [mm] (\phi(f))(x)+(\phi(g))(x)$ [/mm] sogar für alle [m]x \in [0,1][/m] nicht erfüllt ist!).
> b.) ist eine lineare Abbildung, da
>
> (f+g) [mm] (x^2) [/mm] = [mm] f(x^2) [/mm] + [mm] g(x^2)
[/mm]
>
> und: [mm] (\beta(f+g))(x^2) [/mm] = [mm] \beta [/mm] f(x) + [mm] \beta [/mm] g(x)
Ja, das ist richtig. Vielleicht solltest du aber auch noch zur Sicherheit das [m]\phi[/m] dazuschreiben, also beispielsweise so:
[m](\phi((f+g))(x)=(f+g)(x^2)=f(x^2)+g(x^2)=(\phi(f))(x)+(\phi(g))(x)[/m].
Rest analog...
Hier könnte man sich zusätzlich fragen:
Wenn $f$ stetig auf [0,1] ist, ist dann auch [mm] $(\phi(f))$ [/mm] stetig auf [0,1]? Die Antwort ist: Ja! Warum? (falls unklar, nachfragen!)
(Das wäre dann die Frage, ob [mm] $\phi$ [/mm] denn überhaupt wohldefiniert ist!)
> c.) ist keine lineare Abbildung für x kleiner gleich 0 und
> x größer gleich 1, da diese x ja nicht auf dem Intervall
> liegen und ist eine lineare Abbildung für x zwischen Null
> und eins, da
>
> (f+g)(0) = f(0) + g(0) und ß(f+g)(0)=ßf(0)+ßg(0)
Also, nach der Aufgabenstellung würde ich sagen, dass dich für $x<0$ und [m]x > 1[/m] (korrigiert um 20.50 Uhr) die Funktionswerte von $f$ gar nicht interessieren, sie sind für die Aufgabe total irrelevant (da V=C([0;1])).
Auf [0;1] ist nach Definition aber [mm] $(\phi(f))(x)=0$ [/mm] (d.h. [mm] $(\phi(f))$ [/mm] ist der Nullvektor von [m]V=C([0;1])[/m], also die 0-Funktion auf [0;1]) und diese 0-Funktion ist linear (das rechnet man genauso nach, wie du es getan hast, nur hättest du besser irgendwo: "Für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt..." geschrieben).
Entschuldigung, da (bei dem Durchgestrichenen) habe ich nicht aufgepasst:
Deine Rechnung:
(f+g)(0) = f(0) + g(0) und ß(f+g)(0)=ßf(0)+ßg(0)
passt gar nicht...
Deswegen rechne ich noch einmal die erste Bedingung vor (für Aufgabenteil c):
Seien $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ und $f,g [mm] \in [/mm] V=C([0;1])$ beliebig, aber fest. Dann gilt:
1.) $f+g [mm] \in [/mm] C([0;1])$ (so etwas sollte man sich bei den anderen Aufgaben übrigens auch immer überlegen, analog für [mm] $\beta [/mm] f$...) (Warum gilt 1.) denn eigentlich? Kannst du es begründern? Sonst frage bitte nach!)
Aber nun zum wichtigeren:
2.) [mm] $(\phi(f+g))(x)=0...$ [/mm] (nach Definition von [mm] $\phi$ [/mm] und weil [m]f+g \in C([0;1])[/m] wegen 1.) gilt)
[mm] $...=0+0=(\phi(f))(x)+(\phi(g))(x)$ [/mm] (wieder nach Definition von [mm] $\phi$)
[/mm]
Genauso gehst du nun bei [mm] $(\phi(\beta [/mm] f))(x)$ vor...
Also ist die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] bei Aufgabenteil c) linear (Wohldefiniertheit ist (jetzt hoffentlich auch bei allen anderen Rechnungen ) klar!).
> Ist das soweit auf dem richtigen Weg?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
Ja, deine Ideen waren eigentlich alle korrekt. (Und deine Lösungen prinzipiell eigentlich auch.)
Bei Aufgabenteil c) ist deine Antwort, sagen wir mal, zumindest halb richtig .
Man muß ja auch beachten, von welchem Vektorraum man eine Teilmenge nimmt, die man auf die Unterraumbedingungen prüft. Aber das 'Prinzip'
scheinst du verstanden zu haben
nachträgliche Bemerkung:
> c.) ist keine lineare Abbildung für x kleiner gleich 0 und
> x größer gleich 1, da diese x ja nicht auf dem Intervall
> liegen und ist eine lineare Abbildung für x zwischen Null
So, wie du es formulierst, hieße das auch:
$0 [mm] \notin [/mm] [0;1]$ und $1 [mm] \notin [/mm] [0;1]$
Interessante Theorie
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Di 08.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
so, ich habe die Antwort nun ein paar mal durchkorrigiert (wow, 16 Revisionen waren es, glaube ich), weil ich manches einfach korrigieren musste/wollte und an anderen Stellen noch ein paar Hinweise setzen mußte (innerer Zwang ).
Was man sich auf jeden Fall hier überlegen sollte:
Sind $f,g [mm] \in [/mm] C([0;1])$, so gilt:
$f+g [mm] \in [/mm] C([0;1])$ und [mm] $\beta [/mm] f [mm] \in [/mm] C([0;1])$.
Ich finde, dass man derartiges (es gibt mindestens noch ein, zwei solcher Bemerkungen in meiner letzten Antwort) hier schon beachten sollte, denn man sollte sich ja auch immer fragen, ob die Aufgabenstellung sinnvoll ist (bzw. alles wohldefiniert ist).
Später, wenn man (glaubt ), sicher mit solchen Sachen umgehen kann (zu können), dann kann man einfach hinschreiben: "Alles wohldefiniert! Prüfen wir nun..."
(Gedanken dazu sollte man sich aber dennoch generell machen...)
Aber anfangs sollte man solche Dinge schon etwas genauer unter die Lupe nehmen und seine Ergebnisse dazu auch präsentieren, am besten in einer Vorbemerkung (damit man es nicht bei jeder Aufgabe nochmal machen muss).
Was mir in der Aufgabe generell fehlt, ist, dass kein konkreter Körper angegeben wird (woraus nehmen wir eigentlich immer unser [mm] $\beta$?). [/mm] Aber da nichts anderes dabei steht, vermutlich einfach aus [mm] $\IR$...
[/mm]
Viele Grüße
Marcel
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