Beweisen oder Widerlege < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 19.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallo erst einmal,
es sind in der Aufgabe drei Vektoren gegeben:
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] , [mm] v_2=\vektor{4 \\ -2 \\ 2} [/mm] , [mm] v_3=\vektor{-7 \\ 11 \\ 4}
[/mm]
Nun soll ich beweisen oder widerlegen, dass U:= span{v1,v2,v3}= [mm] \IR^3
[/mm]
gilt.
Dazu haben wir folgendes gemacht:
a+4b=-7
a-2b=11
2a+2b=4
dann haben wir für a=5 und für b=-3 ermittelt und haben weiter folgendes gerechnet:
5*v1 - 3*v2 = v3
damit ist die Aussage widerlegt.
Kann man bei solch einer Aufgabe immer so vorgehen ?
Und was wäre, wenn a & b = 0 wäre?? Wäre die Aussage dann wahr?
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Hallo mml2011,
> Hallo erst einmal,
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> es sind in der Aufgabe drei Vektoren gegeben:
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> [mm]v_1=\vektor{1 \\
1 \\
2}[/mm] , [mm]v_2=\vektor{4 \\
-2 \\
2}[/mm] ,
> [mm]v_3=\vektor{-7 \\
11 \\
4}[/mm]
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> Nun soll ich beweisen oder widerlegen, dass U:=
> span{v1,v2,v3}= [mm]\IR^3[/mm]
>
> gilt.
>
> Dazu haben wir folgendes gemacht:
>
> a+4b=-7
> a-2b=11
> 2a+2b=4
Ist dir klar, was ihr da gemacht habt?
Es wird der dritte Vektor [mm]v_3[/mm] als Linearkombination der anderen beiden dargestellt, also wird angesetzt:
[mm]a\cdot{}v_1+b\cdot{}v_2=v_3[/mm]
Im weiteren findet man heraus, dass sich [mm]v_3[/mm] ale LK von [mm]v_1,v_2[/mm] darstellen lässt, die drei Vektoren sind also nicht linear unabhängig
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> dann haben wir für a=5 und für b=-3 ermittelt und haben
> weiter folgendes gerechnet:
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> 5*v1 - 3*v2 = v3
>
> damit ist die Aussage widerlegt.
>
> Kann man bei solch einer Aufgabe immer so vorgehen ?
> Und was wäre, wenn a & b = 0 wäre?? Wäre die Aussage
> dann wahr?
Wenn [mm]a=b=0[/mm] wäre, so müsste doch [mm]v_3=0[/mm] (Nullvektor sein)
[mm]0\cdot{}v_1+0\cdot{}v_2=0=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
Allgemein musst du für die Basiseigenschaften überprüfen, ob die Vektoren zum einen linear unabh. sind und ob sie zum anderen ein Erzeugendensystem bilden.
Hier genügt die Probe auf lineare Unabh. - die geht ja schon schief.
Allg. setzt man dafür aber eine LK des Nullvektors aus den gegebenen Vektoren an:
Also [mm]a\cdot{}v_1+b\cdot{}v_2+c\cdot{}v_3=0[/mm] (Nullvektor)
Hat das daraus resultierende LGS nur die triviale Lösung [mm]a=b=c=0[/mm] (das ist ja immer Lösung), dann sind die Vektoren [mm]v_1,..,v_3[/mm] linear unabh.
Gibt es aber eine nicht-triviale Lösung, also eine, in der nicht alle Koeffizienten [mm]a,b,c=0[/mm] sind, so sind die Vektoren [mm]v_1,..,v_3[/mm] linear abh.
Hier ist [mm]5\cdot{}v_1-3\cdot{}v_2=v_3[/mm], also [mm]\red{5}\cdot{}v_1\blue{-3}\cdot{}v_2\green{-1}\cdot{}v_3=0[/mm] (Nullvektor)
Also hast du mit [mm]\red{a=5}, \blue{b=-3}, \green{c=-1}[/mm] eine nicht-triviale Lösung der LK [mm]av_1+bv_2+cv_3=0[/mm] gefunden.
Damit sind die drei Vektoren linear abh. und können keine Basis des [mm]\IR^3[/mm] bilden, also [mm]U\neq\IR^3[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Di 19.07.2011 | | Autor: | mml2011 |
Danke für diese ausführliche Erklärung.
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