Bijektive Abbildung im IR^3 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Kisten07 |
| Aufgabe | Im [mm] IR^{3} [/mm] bezeichne <v,w> das euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren v,w [mm] \in IR^{3} [/mm] und |v| die euklidische Länge eines Vektors v [mm] \in \IR{3}. [/mm] Weiter seien e1, e2, e3 [mm] \in \IR{3} [/mm] die kanonischen Einheitsvektoren. Es werde eine bijektive Abbildung [mm] f:\IR{3} \to \IR{3} [/mm] betrachtet mit der Eigenschaft <v,w> =0 [mm] \Rightarrow [/mm] <f(v), f(w)> =0
Die Bilder der Vektoren [mm] e_{i} [/mm] , i=1, 2, 3 seien die Vektoren [mm] w_{i}:=f(e_{i})
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Die Vektoren [mm] w_{i} [/mm] sind paarweise orthogonal
b) Es gilt [mm] |w_{1}|=|w_{2}|=|w_{3}|
[/mm]
(Hinweis: Zeigen Sie, dass ide Vektoren [mm] e_{i}+ e_{j} [/mm] und [mm] e_{i}- e_{j} i\not=j [/mm] orthogonal sind und betrachten Sie die Bilder dieser Vektoren unter der Abbildung f
c) für die darstellende Matrix B vcon f bezüglich der Basis [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] gilt
B= [mm] \alpha [/mm] * C
wobei [mm] \alpha \in \IR [/mm] , [mm] \alpha [/mm] > 0 und C eine orthogonale Matrix ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sowohl Teilaufgabe a, als auch b, konnte ich meiner Meinung nach lösen.
zu a)
da [mm] w_{i} [/mm] die Bilder von [mm] e_{i} [/mm] i=1,2,3 sind und [mm] [/mm] =0 folgt daraus aus der Angabe, dass auch [mm] [/mm] =0 und somit paarweise orthogonal sind.
Oder ist das zu simpel?
zu b)
Man kann ja schnell beweisen, dass [mm] e_{i}+ e_{j} [/mm] und [mm] e_{i}- e_{j} [/mm] für
i,j=1,2,3 immer paarweise orthogonal sind.
Daraus kann ich dann aus der Angabe ableiten, dass auch [mm] w_{i}+ w_{j} [/mm] und [mm] w_{i}- w_{j} [/mm] paarweise orthogonal sind, also das Skalarprodukt =0
Stell ich dann das Skalarprodukt auf [mm]
< \vektor{w_{i1}+w_{j1} \\ w_{i2}+w_{j2} \\ w_{i3}+w_{j3}} , \vektor{w_{i1}-w_{j1} \\ w_{i2}-w_{j2} \\ w_{i3}-w_{j3}}> =0 [/mm]
erhalte ich
[mm] (w_{i1})^{2}- (w_{j1})^{2}+(w_{i2})^{2} [/mm] - [mm] (w_{j2})^{2}+(w_{i3})^{2} [/mm] - [mm] (w_{j3})^{2} [/mm] =0
und durch Umformung und Anwendung der Definition der euklidischen Länge [mm] |v|=\wurze{(v_{1})^{2}+ (v_{2})^{2}+(v_{3})^{2}}
[/mm]
erhalte ich
[mm] |w_{i}|=|w_{j}| [/mm] i, j=1,2,3
zu c)
Bei der Teilaufgabe komm ich jedoch nicht weiter. Ich weiß, dass die Bilder der Basisvektoren als Spalten in der Darstellungsmatrix stehen, also hier [mm] w_{1},w_{2},w_{3}. [/mm]
Ich weiß auch aus a) dass diese paarweise orthogonal sind.
Meine Idee war, mit den Eigenschaften einer orthogonalen Matrix irgendwie an C ranzukommen, aber die Verwirklichung dieser Idee....?
Hat jemand einen Tipp, wie ich weiterkomme?
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Gruß!
Mit Deinen bisherige Lösungen bin ich einverstanden. 
Zur letzten Teilaufgabe: In Teil b) haben wir doch gesehen, dass die Längen der [mm] $w_i$ [/mm] gleich sind, nennen wir diese Länge mal [mm] $\alpha$. [/mm] Die darstellende Matrix $A$ Deiner Abbildung hat wie richtig bemerkt die [mm] $w_i$ [/mm] als Spalten. Werden diese mit dem Faktor [mm] $1/\alpha$ [/mm] normiert, also z.B. [mm] $v_i [/mm] = [mm] \frac{1}{\alpha} w_i$, [/mm] dann ergibt sich:
$A = [mm] \alpha \cdot [/mm] C$
und die Spalten in $C$ sind genau die [mm] $v_i$. [/mm] Die Matrix $C$ ist aber orthogonal, da die [mm] $v_i$ [/mm] natürlich immer noch paarweise orthogonal zueinander stehen und Länge 1 haben, also eine Orthonormalbasis bilden. Und orthogonale Abbildungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie eine Orthonormalbases (hier [mm] $e_1, e_2, e_3$) [/mm] auf eine Orthonormalbasis [mm] ($v_1, v_2, v_3$) [/mm] abbilden.
Alles klar?
Liebe Grüße,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 20.05.2008 | | Autor: | Kisten07 |
Super danke!
Hatte da irgendwie nen Hänger, aber war ja eigentlich garnicht so schwer, und das obwohl es ein Beweis war ;o)
Gruß
Kerstin
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